3.2.2 第2课时 奇偶性的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　奇偶性的应用 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响，并能用以比较大小、求最值和解不等式． 教学重点：1.利用奇偶性与单调性比较大小.2.利用奇偶性与单调性解不等式． 教学难点：奇偶性与其他性质的综合应用． 核心素养：通过奇偶性的应用，提升逻辑推理素养、数学抽象素养和数学运算素养． 知识点　函数奇偶性与单调性、最值的关系 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性相同． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M． 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N． 以上a，b符号相同． 1．(利用奇偶性与单调性比较大小)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0(x1≠x2)，则下列判断正确的是(　　) A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3) C．f(3)<f(1)<f(－2) D．f(－2)<f(1)<f(3) 答案：A 2．(利用奇偶性与单调性解不等式)已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(0，1) D．[－1，1) 答案：A 3．(利用奇偶性求函数解析式)函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则f(x)＝____________________． 答案： 题型一　利用奇偶性求函数解析式 角度1　求对称区间上的解析式 例1　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式． [解]　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0， 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)＝x(x＋2)． 故f(x)＝ 角度2　构造方程组求解析式 例2　　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． [解]　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝，① 用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝. 【感悟提升】 1．求对称区间上解析式的注意事项 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性推导出所求区间上的解析式． 2．构造方程组求解析式的策略 已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换成－x，构造方程组求解． 【跟踪训练】 1．(1)已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________． 答案：x(x＋1) 解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以当x>0时，f(x)＝x(x＋1)． (2)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝________． 答案：x2＋1 解析：由题意得f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，且f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1　①，用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1，即f(x)－g(x)＝x2－3x＋1　②，联立①②，解得f(x)＝x2＋1. 题型二　利用奇偶性与单调性比较大小 例3　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调递减，比较f(－5)与f(3)的大小． [解]　因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(－5)＝f(5)， 因为f(x)在[2，6]上单调递减， 所以f(5)<f(3)，所以f(－5)<f(3)． 【感悟提升】利用奇偶性与单调性比较大小的方法 (1)若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． 【跟踪训练】 2．设偶函数f(x)的定义域为R，若在区间[0，＋∞)上，函数f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系为________(用“>”填写)． 答案：f(π)>f(－3)>f(－2) 解析：由偶函数的单调性知，若函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则函数值越小．∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)． 题型三　利用奇偶性与单调性解不等式 例4　　设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，则实数m的取值范围为________． [解析]　因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．所以不等式f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|)．又f(x)在区间[0，2]上单调递减，所以解得－1≤m<，即实数m的取值范围为. [答案]　 【感悟提升】利用奇偶性与单调性解不等式的方法 (1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式． (2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解． 注意：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域． 【跟踪训练】 3．已知奇函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围为________． 答案：[1，3] 解析：∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，即x的取值范围为[1，3]． 1．奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则(　　) A．f(2)>0>f(4) B．f(2)<0<f(4) C．f(2)>f(4)>0 D．f(2)<f(4)<0 答案：A 解析：由题意可知，函数y＝f(x)的图象如图，可知f(2)>0>f(4)．故选A. 2．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1<0且x1＋x2>0，则(　　) A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2) C．f(－x1)<f(－x2) D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定 答案：A 解析：由题意可知x2>－x1>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x2)<f(－x1)．又f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)，所以f(－x2)<f(－x1)． 3．(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x＋a－2，则(　　) A．a＝2 B．f(2)＝2 C．f(x)是R上的增函数 D．f(－3)＝－12 答案：ACD 解析：f(x)是R上的奇函数，故f(0)＝a－2＝0，得a＝2，故A正确；f(2)＝4＋2＝6，故B错误；当x≥0时，f(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，故f(x)是R上的增函数，故C正确；f(－3)＝－f(3)＝－9－3＝－12，故D正确．故选ACD. 4．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝2x＋3，则当x>0时，f(x)＝________． 答案：－2x＋3 解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－2x＋3，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－2x＋3. 5．设函数f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：由题意知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，a2＋a＋1＝＋>0，且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<.所以实数a的取值范围为. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 奇偶性与单调性的应用——判断符合条件的函数 奇偶性的应用——求对称区间上函数的解析式 奇偶性与单调性的应用——判断符合条件的图象 奇偶性、单调性、最值的综合应用 判断函数的奇偶性及单调性 奇偶函数图象对称性的应用——求方程的根 利用奇偶性与单调性解不等式 利用奇偶性与单调性比较大小 利用奇偶性与函数图象求单调区间 函数的图象与奇偶性、单调性的综合应用 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 函数奇偶性与单调性的综合应用 奇偶性的应用——求对称区间上函数的解析式 奇偶函数图象对称性的应用——求函数值域 奇偶性的应用——构造方程组求解析式 新定义背景下奇偶性与单调性的综合应用 利用奇偶性与单调性解不等式 利用奇偶性与单调性求参数值(范围) 利用奇偶性求函数解析式；利用奇偶性与单调性解不等式 抽象函数奇偶性的判断；利用奇偶性与单调性解不等式 一、单项选择题 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝x5＋1 C．y＝ D．y＝x3 答案：D 解析：y＝x2是偶函数，故A不符合题意；y＝x5＋1是非奇非偶函数，故B不符合题意；y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，故C不符合题意；y＝x3既是奇函数又是增函数，故D符合题意．故选D. 2．设f(x)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3＋1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝(　　) A．x3＋1 B．x3－1 C．－x3＋1 D．－x3－1 答案：B 解析：当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，得f(－x)＝－x3＋1，∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x3－1. 3．若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)的图象大致为(　　) 答案：D 解析：因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，A，B中的图象关于y轴对称而不关于原点对称，排除A，B；C中的图象在(0，＋∞)上单调递减，排除C.故选D. 4．若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上(　　) A．单调递增，且有最大值－5 B．单调递增，且有最小值－5 C．单调递减，且有最大值－5 D．单调递减，且有最小值－5 答案：A 解析：因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[－7，－3]上单调递增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5. 5．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－∞，－1) B．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1) C．f(x)是偶函数，单调递增区间是(1，＋∞) D．f(x)是偶函数，单调递增区间是(－∞，－1) 答案：B 解析：f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－x|－x|＋2x＝－(x|x|－2x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(x)＝x|x|－2x＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，f(x)的单调递减区间是(－1，1)．故选B. 6．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有9个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　) A．0 B．3 C．6 D．9 答案：A 解析：因为函数f(x)的图象关于y轴对称，且其图象与x轴有9个交点，所以f(0)＝0且其余四对交点关于原点对称，所以方程f(x)＝0的所有实根之和是0. 7．设f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则不等式f(x)<0的解集是(　　) A．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3) C．(－∞，－3)∪(0，3) D．(－3，0)∪(0，＋∞) 答案：B 解析：∵f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)＝f(－x)，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，∵f(－3)＝0，∴f(3)＝f(－3)＝0，∴不等式f(x)<0的解集是(－3，0)∪(0，3)．故选B. 8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)的大小关系为(　　) A．f(0)>f(－2)>f(1) B．f(－2)>f(0)>f(1) C．f(0)>f(1)>f(－2) D．f(1)>f(0)>f(－2) 答案：C 解析：当m＝1时，f(x)＝6x＋2不是偶函数，不符合题意；当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．故选C. 二、多项选择题 9．函数f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，且在[－2，0]上的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A．[－2，2] B．[－2，－1] C．[0，1] D．[1，2] 答案：BC 解析：由题中图象可知f(x)在[－2，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减．因为函数f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以函数f(x)的单调递增区间是[－2，－1]和[0，1]．故选BC. 10．关于函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象过原点 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在(1，＋∞)上单调递减 D．f(x)是定义域上的增函数 答案：AC 解析：函数f(x)＝＝＝1＋，f(0)＝0，A正确；f(x)的图象关于点(1，1)对称，B错误；f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，整个定义域上不具有单调性，故C正确，D错误．故选AC. 11．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(x)是单调函数，f(1)＝，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(0)＝0 C．f(－1)<f(－2) D．f(x2－x＋2)>f(1) 答案：ABD 解析：因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数，从而f(0)＝0，所以A，B正确；因为f(x)是单调函数，且0＝f(0)<f(1)＝，所以f(x)是R上的增函数，故f(－2)<f(－1)，所以C错误；由于x2－x＋2－1＝x2－x＋1＝＋>0，且f(x)是R上的增函数，故f(x2－x＋2)>f(1)，所以D正确．故选ABD. 三、填空题 12．若函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝________． 答案：x＋1 解析：若x<0，则－x>0，故g(－x)＝－x－1，而g(x)＝－g(－x)＝x＋1，所以f(x)＝x＋1. 13．已知函数f(x)是定义在[－3，0)∪(0，3]上的奇函数，当0<x≤3时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是______________． 答案：[－3，－1)∪(1，3] 解析：当0<x≤3时，函数f(x)单调递增，由图象知1<f(x)≤3，当－3≤x<0时，0<－x≤3，且1<f(－x)≤3，∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴1<－f(x)≤3，即－3≤f(x)<－1，∴f(x)的值域是[－3，－1)∪(1，3]． 14．设f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，并且f(x)－g(x)＝x2－x，则f(x)的解析式是________． 答案：f(x)＝－x 解析：因为f(x)－g(x)＝x2－x　①，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)＝x2＋x　②.由①②解得f(x)＝－x. 15．(多选)若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，都有－x在定义域上，且恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f(x1)＞f(x2)，则称函数f(x)为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝－2x C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝ 答案：BD 解析：对于定义域上的任意x，都有－x在定义域上，且恒有f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)是奇函数．对于定义域上的任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f(x1)＞f(x2)，则函数f(x)为减函数，所以满足既是奇函数又是减函数的函数为“理想函数”．对于A，f(x)＝是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件；对于B，f(x)＝－2x是奇函数，在定义域上是减函数，满足条件；对于C，f(x)＝－x2是偶函数，不满足条件；对于D，作出函数f(x)的图象如图，由图象知函数f(x)既是奇函数又是减函数，满足条件．故选BD. 16．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(3)＝0，则不等式>0的解集为________． 答案：(－3，0)∪(3，＋∞) 解析：因为f(x)为奇函数，f(3)＝0，所以f(x)＝－f(－x)，f(－3)＝0，＝f(x)>0.因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在(－∞，0)上为增函数．当x>0时，f(x)>0＝f(3)，所以x>3；当x<0时，f(x)>0＝f(－3)，所以－3<x<0.所以原不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞)． 17．已知函数f(x)＝是奇函数，且在上单调递减，则实数a＝________，实数m的取值范围为________． 答案：1　 解析：函数f(x)为奇函数，则满足f(－x)＝－f(x)，所以f(－1)＝－f(1)．又f(1)＝1－a，f(－1)＝－1＋1＝0，则1－a＝0，得a＝1，此时f(x)＝当x≥0时，抛物线y＝x2－x的对称轴为直线x＝，则函数f(x)的图象如图所示．则函数f(x)的单调递减区间为，因为函数f(x)在上单调递减，所以解得－≤m≤0，即实数m的取值范围是. 18．已知函数f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x(x＋1)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调性； (3)求关于m的不等式f(1－m)＋f(1－m2)≥0的解集． 解：(1)根据题意，函数f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，则f(0)＝0，当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝x(－x＋1)＝－x(x－1)， 又f(x)为奇函数， 则f(x)＝－f(－x)＝x(x－1)， 则f(x)＝ (2)作出函数f(x)的图象如图所示． 结合函数图象可知f(x)在[－1，1]上单调递减． (3)因为f(x)是[－1，1]上的奇函数，且在[－1，1]上单调递减， 所以f(1－m)＋f(1－m2)≥0⇒f(1－m)≥－f(1－m2)⇒f(1－m)≥f(m2－1)⇒ 解得1≤m≤， 即原不等式的解集为[1，]． 19．已知函数f(x)对于任意实数x，y∈R恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x<0时，f(x)<0，又f(－1)＝－1. (1)判断f(x)的奇偶性并证明； (2)求f(x)在区间[－2，2]上的最大值； (3)解关于x的不等式：f(x2)－2f(x)<f(ax)－f(2a)． 解：(1)f(x)为奇函数．证明如下： 令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)⇒f(0)＝0， 令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)， 故f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (2)令x1>x2， 则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)， 而x2－x1<0，所以f(x2)－f(x1)<0， 所以f(x)在R上单调递增， 则f(x)在区间[－2，2]上的最大值为f(2)＝2f(1)＝－2f(－1)＝2. (3)由f(x2)－2f(x)<f(ax)－f(2a)，得f(x2)－f(2x)<f(ax)＋f(－2a)， 所以f(x2－2x)<f(ax－2a)， 因为f(x)为增函数， 所以x2－2x<ax－2a，即x2－(a＋2)x＋2a＝(x－2)(x－a)<0， 当a<2时，原不等式的解集为(a，2)； 当a＝2时，原不等式的解集为∅； 当a>2时，原不等式的解集为(2，a)． 14 学科网（北京）股份有限公司 $