3.1.1 第1课时 函数的概念(一)-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 3.1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念(一) (教师独具内容) 课程标准：1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 教学重点：1.理解函数的定义.2.会求一些简单函数的定义域． 教学难点：1.对应关系f的正确理解，函数符号y＝f(x)的理解.2.抽象函数的定义域． 核心素养：1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养.2.借助函数定义域的求解，提升数学运算素养.3.借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养． 知识点　函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} [点拨]　(1)集合A，B是非空实数集，值域C⊆B. (2)函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (3)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定就是解析式． (4)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 1．(函数的概念)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是(　　) ①y是x的函数；②x是y的函数；③对于不同的x，y也不同；④f(a)表示当x＝a时，f(x)的函数值是一个常数． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 答案：A 2．(函数关系的判断)下列表示的是y关于x的函数的是(　　) A．y＝x2 B．y2＝x C．|y|＝ D．|y|＝|x| 答案：A 3．(函数的定义域)函数y＝的定义域是(　　) A．{x|x≥－1} B．{x|－1≤x<0} C．{x|x>－1} D．{x|－1<x<0} 答案：C 4．(求函数值)若f(x)＝，则f(2)＝________． 答案： 题型一　函数关系的判断 例1　(1)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　) [解析]　由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知D中图象表示y是x的函数． [答案]　D (2)下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝；②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y：x2＋4y2＝25；④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2；⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤ [解析]　①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③在对应关系f下，A中的数0在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数；④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．故选D. [答案]　D 【感悟提升】 1．根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若直线l与图形始终只有一个交点，则是函数；若在定义域内存在直线l与图形没有交点或有多个交点，则不是函数． 2．判断一个对应关系是否为函数的方法 【跟踪训练】 1．(1)图中①②③④四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数的有________． 答案：②③ 解析：由图形判断对应关系是否为函数的方法，可知当－1≤a≤1时，只有图形②③与直线x＝a仅有一个交点，故可以表示y是x的函数的有②③. (2)判断下列对应关系是否为函数： ①x→，x≠0，x∈R； ②x→y，其中|y|＝x，x∈R，y∈R. 解：①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应． ②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零实数x对应两个y的值，不符合函数的概念． 题型二　求函数的定义域 例2　求下列函数的定义域： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝(x－1)0＋. [解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}． (2)函数有意义，当且仅当解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}． 【感悟提升】求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)中含有x0的形式，则要求x≠0. (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． 【跟踪训练】 2．求下列函数的定义域： (1)y＝＋；(2)y＝； (3)y＝(1－2x)0. 解：(1)要使函数有意义，则即 所以x＝1，所以函数的定义域为{x|x＝1}． (2)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，有意义， 所以函数的定义域是{x|x≠±1}． (3)由题意，得1－2x≠0，即x≠， 所以函数的定义域为. 题型三　求函数值 例3　已知函数f(x)＝，g(x)＝3x2＋1. (1)求f(1)，g(1)，f(g(1))的值； (2)求f(a－1)，g(a＋1)，f(g(a＋1))． [解]　(1)f(1)＝＝，g(1)＝3×12＋1＝4， f(g(1))＝f(4)＝＝. (2)f(a－1)＝＝， g(a＋1)＝3(a＋1)2＋1＝3a2＋6a＋4， f(g(a＋1))＝f(3a2＋6a＋4)＝. 【感悟提升】函数求值的方法及关注点 (1)方法 ①已知f(x)求f(a)时，只需用a替换f(x)中的x，即得f(a)的值； ②已知f(x)与g(x)求f(g(a))的值时，应遵循由里往外的原则． (2)关注点：用来替换f(x)中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 【跟踪训练】 3．(1)已知函数f(x)＝3x－2，则f＝________． 答案：－1 解析：由f(x)＝3x－2，得f＝3×－2＝，则f＝f＝3×－2＝－1. (2)若函数f(x)＝2x＋1，且f(2m－1)＝7，则m＝________． 答案：2 解析：由f(x)＝2x＋1，得f(2m－1)＝2(2m－1)＋1＝4m－1＝7，解得m＝2. 题型四　创建函数关系的问题情境 例4　试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝来描述． [解]　把y＝看作反比例函数，那么它的定义域为{x|x≠0}，值域是B＝{y|y≠0}，对应关系把定义域中任意一个数x，对应到B中唯一确定的数. 如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|x>0}，那么可以构建如下情境： 某工厂现有原材料300 t，平均每天用去x t，这批原材料能用y天，则y＝，其中x的取值范围是A＝{x|0<x≤300}，y的取值范围是B＝{y|y≥1}，对应关系f把每天的使用量x，对应到唯一确定的使用天数y＝(答案不唯一)． 【感悟提升】根据函数关系构建问题情境的策略 (1)分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应关系． (2)从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时，可适当限制x的取值范围． (3)既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系． 【跟踪训练】 4．构建一个问题情境，使其中变量关系能用解析式y＝5x2来描述，其中x>0. 解：构建情境如下：长方形的长、宽之比为5∶1，设宽为x，面积为y，那么y＝5x·x＝5x2. 其中x的取值范围是{x|x>0}，y的取值范围是{y|y>0}，对应关系f把每一个长方形的宽x，对应到唯一确定的面积5x2(答案不唯一)． 1．下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(　　) 答案：A 解析：因为垂直于x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点，故选A. 2．函数y＝＋的定义域为(　　) A．{x|－2≤x≤3} B．{x|－2≤x<1，或1<x≤3} C．{x|x≤－2，或x≥3} D．{x|－2<x<1，或1<x<3} 答案：B 解析：由题意得解得－2≤x<1或1<x≤3.故选B. 3．(多选)下列对应关系式中是从A到B(x∈A，y∈B)的函数的是(　　) A．A＝R，B＝R，f：x2＋y2＝1 B．A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，f：y＝|x|＋1 C．A＝R，B＝R，f：y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：y＝2x－1 答案：BD 解析：对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然当x＝0时，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C，2∈A，此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，符合函数的定义．故选BD. 4．已知f(x)＝x2＋1，则f(f(－1))＝________． 答案：5 解析：因为f(－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝22＋1＝5. 5．已知函数f(x)＝x2＋x－1，则f(2)＝________；若f(a)＝5，则a＝________． 答案：5　2或－3 解析：f(2)＝22＋2－1＝5.∵f(a)＝a2＋a－1＝5，∴a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 函数关系的判断　 函数关系的判断 复合函数求函数值 求函数定义域 函数概念的理解 求函数值 求实际问题中函数的定义域 已知函数值求参数 函数的三要素 函数概念的理解 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 函数的概念、解析式、函数值及值域 求函数值 根据函数的概念写出解析式 由函数值求参数 由函数的概念 求参数 由函数值求参数　 由抽象函数求函数值 创建函数关系的问题情境 由函数解析式解决求值与证明问题 一、单项选择题 1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开平方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积 答案：A 解析：对于B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对于C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于D，集合A不是数集，不符合函数的定义．故选A. 2．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|－1≤y≤1}，则下列图象中，能表示从集合A到集合B的一个函数的是(　　) 答案：C 解析：对于A，图象对应的定义域不包含x＝0，A不符合题意；对于B，图象存在一个x有两个y与之对应，不表示函数图象，B不符合题意；对于C，图象对应的定义域为A＝{x|－1≤x≤1}，且每个x都有唯一的y与之对应，值域为B＝{y|－1≤y≤1}，C符合题意；对于D，当x＝0时，有两个y与之对应，不表示函数图象，D不符合题意．故选C. 3．已知函数f(x)＝－7，则f(6)＝(　　) A．－2 B．－3 C．－4 D．－5 答案：C 解析：依题意，f(6)＝－7＝－4.故选C. 4．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．{x|x＞2} B．{x|x＞－2} C．{x|－2＜x＜0，或x＞0} D．{x|－2≤x＜0，或x＞0} 答案：C 解析：要使函数f(x)＝有意义，则解得x>－2且x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x＞－2，且x≠0}，即{x|－2<x<0，或x>0}．故选C. 5．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．f＝－ B．f＝ C．f＝－f(a) D．f＝f(a) 答案：C 解析：因为f(x)＝，所以f＝＝＝－＝－f(a)．故选C. 6．已知f(x)＝x2－3x＋2，g(x)＝－x＋3，则f(g(2))＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 答案：A 解析：∵g(2)＝－2＋3＝1，∴f(g(2))＝f(1)＝12－3×1＋2＝0. 7．已知等腰三角形ABC的底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为(　　) A．R B．{x|x>0} C．{x|0<x<5} D. 答案：D 解析：∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x>0，∴x<5.又两边之和大于第三边，∴2x>10－2x，∴x>，∴此函数的定义域为. 8．已知函数f(x)＝2x－4，若f(2a2－1)＝10，则a的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．±4 答案：C 解析：函数f(x)＝2x－4，由f(2a2－1)＝10，得2(2a2－1)－4＝10，则a2＝4，解得a＝±2.故选C. 二、多项选择题 9．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系，能够构成以A为定义域，B为值域的函数的是(　　) A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝|4－2x| D．y＝x＋5 答案：ABC 解析：对于A，y＝2x，当定义域为A＝{x|0≤x≤2}时，显然其值域为B＝{y|0≤y≤4}，故A满足条件；显然B，C同样也满足条件；对于D，y＝x＋5，若其定义域为A＝{x|0≤x≤2}，则其值域为{y|5≤y≤7}，故D不满足条件．故选ABC. 10．下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x 答案：ABD 解析：可以验证A，B，D中的函数都满足f(2x)＝2f(x)；对于C，f(x)＝x＋1，∵f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2x＋2，∴f(2x)≠2f(x)，即f(x)＝x＋1不满足f(2x)＝2f(x)．故选ABD. 11．我们常拿背诵圆周率π(π＝3．14159265358979323846264338327950288…)来衡量某人的记忆水平，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n)，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(n)，n∈N*是一个函数 B．当n＝6时，f(n)＝3.14159 C．f(4)＝f(8) D．f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 答案：ACD 解析：由题意可知，圆周率π小数点后第n位数字f(n)是唯一确定的，即任取一个正整数n，都有唯一确定的f(n)与之对应，因此y＝f(n)，n∈N*是一个函数，故A正确；当n＝6时，f(n)＝2，故B错误；f(4)＝f(8)＝5，故C正确；f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D正确．故选ACD. 三、填空题 12．已知函数f(x)＝，则f(f(2))＝________． 答案：2 解析：由已知，得f(2)＝＝3，所以f(f(2))＝f(3)＝＝2. 13．给定集合A＝{－1，1，2}，B＝{1，2，3，4}，若y＝f(x)是从集合A到集合B的函数，请写出一个符合条件的函数y＝f(x)的解析式：________． 答案：f(x)＝x＋2，x∈A(答案不唯一) 解析：由函数的定义得f(x)＝x＋2，x∈A(答案不唯一)． 14．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(2)＝f(6)＝0，则f(1)＝________． 答案：5 解析：由题意，得解得则f(x)＝x2－8x＋12，则f(1)＝1－8＋12＝5. 15．已知集合A＝{1，2，k}，B＝{4，7，10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y＝3x＋1，则k的值为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案：C 解析：根据对应关系y＝3x＋1，3×1＋1＝4，3×2＋1＝7，得3×k＋1＝10，所以k＝3. 16．已知函数f(x)＝ax2－1(a≠0)，且f(f(1))＝－1，则a的值为________． 答案：1 解析：因为f(x)＝ax2－1，所以f(1)＝a－1，f(f(1))＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，所以a(a－1)2＝0，又因为a≠0，所以a－1＝0，所以a＝1. 17．设函数y＝f(x)对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(4)＝2，则f()＝________． 答案： 解析：因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝，得f(2)＝f()＋f()＝2f()，令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)＝4f()，又f(4)＝2，所以f()＝. 18．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式f(x)＝10(1＋x)2描述． 解：若对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|x>0}，则可以构建如下情境： 某地区“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2024年约有10万人次，设观赏人数年平均增长率为x，预计2026年观赏人数为y，那么y＝10(1＋x)2.其中，x的取值范围是{x|0<x<1}，y的取值范围是{y|10<y<40}．对应关系f把每一个增长率x都对应到唯一确定的观赏人数10(1＋x)2. 19．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)，f，f(3)，f的值； (2)你能发现f(x)与f之间有什么关系吗？请证明你的发现； (3)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2026)＋f＋f＋…＋f的值． 解：(1)∵f(x)＝， ∴f(2)＝＝，f＝＝， f(3)＝＝，f＝＝. (2)由(1)中求得的结果，可猜想f(x)＋f＝1. 证明如下：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1. (3)由(2)知，f(x)＋f＝1， ∴f(2)＋f＝1， f(3)＋f＝1， f(4)＋f＝1， … f(2026)＋f＝1. ∴f(2)＋f(3)＋…＋f(2026)＋f＋f＋…＋f＝f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2026)＋f＝2025. 13 学科网（北京）股份有限公司 $