2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

该高中数学导学案聚焦一元二次不等式的解法，从实际情境抽象概念，衔接二次函数与方程知识，构建三个“二次”的联系作为学习支架，帮助学生理解解集与函数图象的关系，为后续学习奠定基础。 通过表格对比三个“二次”关系培养直观想象，分题型例题训练数学运算，分层练习适配不同水平，结合跟踪训练和课后检测，助力学生形成逻辑推理能力，便于教师评估学习效果。

数学 必修 第一册 RJA 第1课时　一元二次不等式的解法 (教师独具内容) 课程标准：1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 教学重点：1.三个“二次”之间的关系.2.一元二次不等式的解法． 教学难点：三个“二次”之间的关系． 核心素养：1.通过了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培养直观想象素养.2.通过解一元二次不等式，培养数学运算素养． 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 知识点二　二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． [提醒]　零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ [点拨]　(1)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集是空集． 1．(二次函数的零点)二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案：C 2．(三个“二次”之间的关系)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|x<－2，或x>－1}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　) A. B. C. D．{x|x<－2，或x>1} 答案：C 3．(不含参数的一元二次不等式的求解)不等式3＋5x－2x2≤0的解集为________． 答案： 4．(含参数的一元二次不等式的求解)关于x的不等式x2－x＋a＋<0(a>0)的解集为________． 答案： 题型一　一元二次不等式的解法 例1　　解下列不等式： (1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0； (3)－2x2＋x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0. [解]　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2， ∴不等式2x2－3x－2>0的解集为. （2）∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2， ∴不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}. （3）原不等式可化为2x2－x＋3>0， ∵Δ<0，方程2x2－x＋3＝0无解， ∴不等式－2x2＋x－3<0的解集为R. （4）原不等式可化为3x2－5x＋2<0， ∵Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1， ∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为. 【感悟提升】解不含参数的一元二次不等式的步骤 【跟踪训练】 1．求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6. 解：(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0， ∵x2－5x－6＝0的两根是x1＝－1，x2＝6， ∴不等式x2－5x>6的解集为{x|x<－1，或x>6}． (2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0， ∵方程(2x－1)2＝0的根为x＝， ∴不等式4x2－4x＋1≤0的解集为. (3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0. ∵x2－7x＋6＝0的两根是x1＝1，x2＝6， ∴不等式－x2＋7x>6的解集为{x|1<x<6}． 题型二　含参数的一元二次不等式的解法 例2　　解下列关于x的不等式(a∈R)： (1)2x2＋ax＋2>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. [解]　(1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R； ②当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)，所以原不等式的解集为. ③当Δ＝0，即a＝4或－4时，方程2x2＋ax＋2＝0有两个相等的实数根， 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}， 当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}． (2)若a＝0，原不等式为－x＋1<0，解得x>1； 若a<0，原不等式可化为(x－1)>0，解得x<或x>1； 若a>0，原不等式可化为(x－1)<0，(*) 其解的情况应由与1的大小关系决定，故 ①当a＝1时，由(*)式可得x∈∅， ②当a>1时，由(*)式可得<x<1， ③当0<a<1时，由(*)式可得1<x<. 综上所述，当a<0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为. 【感悟提升】解含参数的一元二次不等式的步骤 【跟踪训练】 2．(1)解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2. 由a2－a＝a(a－1)可知， ①当a<0或a>1时，a2>a， 解原不等式得x>a2或x<a； ②当0<a<1时，a2<a， 解原不等式得x>a或x<a2； ③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0； ④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1. 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2，或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}． (2)解关于x的不等式ax2－(4a＋1)x＋4>0. 解：当a＝0时，不等式化为－x＋4>0，解得x<4； 当a≠0时，ax2－(4a＋1)x＋4>0可化为a(x－4)>0. 当a>0时，若>4，则0<a<， 原不等式的解集为； 若＝4，则a＝，原不等式的解集为{x|x≠4}； 若<4，则a>，原不等式的解集为； 当a<0时，<4，由a(x－4)>0， 得(x－4)<0，原不等式的解集为. 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<4}；当0<a<时，原不等式的解集为；当a＝时，原不等式的解集为{x|x≠4}；当a>时，原不等式的解集为；当a<0时，原不等式的解集为. 题型三　三个“二次”之间的关系 例3　　若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． [解]　由ax2＋bx＋c≥0的解集是，知a<0. 又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－＝，＝－， ∴b＝－a，c＝－a， ∴所求不等式变为x2＋x＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0. 又a<0， ∴2x2＋5x－3<0，解得－3<x<， ∴所求不等式的解集为. 　若本例中的已知条件不变，如何求不等式cx2－bx＋a<0的解集？ 解：由例3，知a<0，b＝－a，c＝－a， ∴所求不等式变为x2－x＋a<0， 即2ax2－5ax－3a>0. 又a<0， ∴2x2－5x－3<0，解得－<x<3， ∴所求不等式的解集为. 【感悟提升】已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 【跟踪训练】 3．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为. (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 解：(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为，， 由根与系数的关系，得 解得a＝－6，c＝－1. (2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1， 所以原不等式的解集为. 1．设x∈R，则“x>0”是“x2＋x>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由x2＋x>0，得x>0或x<－1，所以“x>0”是“x2＋x>0”的充分不必要条件．故选A. 2．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－4≤x≤7} B．{x|－4≤x<－2，或3<x≤7} C．{x|－2<x≤7} D．{x|－4≤x<－3，或2<x≤7} 答案：B 解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2，或x>3}，∴M∩N＝{x|－4≤x<－2，或3<x≤7}． 3．(多选)下列不等式中解集为R的是(　　) A．－x2＋2x＋1<0 B．－x2＋2x－≤0 C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0 答案：BC 解析：对于A，当x＝1时，不等式不成立，∴A不符合题意；对于B，∵－x2＋2x－≤0，∴x2－2x＋≥0，∵Δ＝4－4<0，∴B符合题意；对于C，∵Δ＝36－4×1×10＝－4＜0，∴C符合题意；对于D，当x＝0时，不等式不成立，∴D不符合题意．故选BC. 4．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)<0的解集为________． 答案： 解析：因为a<0，所以原不等式等价于(x＋1)>0，方程(x＋1)＝0的两根为－1，－，显然－1<0<－，所以原不等式的解集为. 5．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则不等式cx2－bx＋a>0的解集为________． 答案： 解析：由题意知即代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0，又a<0，所以6x2＋5x＋1<0，解得－<x<－，所以所求不等式的解集为 . 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 不含参数的一元二次不等式的求解 已知一元二次不等式的解集求参数值 含参数的一元二次不等式的求解 一元二次不等式与充分、必要条件的结合 含绝对值的一元二次不等式的求解 已知一元二次不等式的解集求参数值 一元二次不等式与二次函数的关系及应用 一元二次方程根的分布问题 一元二次不等式的求解 含参数的一元二次不等式的求解 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 三个“二次”之间的关系 不含参数的一元二次不等式的求解 一元二次不等式与一元二次方程的关系 利用三个“二次”之间的关系求参数范围 新定义背景下不含参数的一元二次不等式的求解 一元二次不等式与一元二次方程的关系；一元二次方程根的分布问题 已知一元二次不等式的解集求参数范围 不含参数的一元二次不等式的求解；三个“二次”之间的关系 分类讨论思想求解含参数的一元二次不等式的解集 一、单项选择题 1．不等式(x－1)2<x＋5的解集为(　　) A．{x|1<x<4} B．{x|－1<x<4} C．{x|－4<x<1} D．{x|－1<x<3} 答案：B 解析：不等式(x－1)2<x＋5可化为x2－3x－4<0，即(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，所以原不等式的解集为{x|－1<x<4}． 2．若不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，则b＋2c－1的值为(　　) A．2 B．－1 C．0 D．1 答案：A 解析：由不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，得－2和1是方程－x2＋bx＋c＝0的解，由根与系数的关系，知解得所以b＋2c－1＝－1＋2×2－1＝2. 3．若0<t<1，则不等式x2－＋1<0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：不等式x2－＋1<0可化为(x－t)<0，∵0<t<1，∴t<，∴原不等式的解集为. 4．关于x的一元二次不等式x2＋x＋m<0有实数解的一个必要不充分条件是(　　) A．m<0 B．m≤ C．m<－ D．m< 答案：B 解析：若关于x的一元二次不等式x2＋x＋m<0有实数解，则Δ＝1－4m>0，解得m<.是的真子集．故选B. 5．不等式－x2－|x|＋6>0的解集为(　　) A．{x|－3<x<2} B．{x|－2<x<2} C．{x|x<－2，或x>3} D．{x|x<－3，或x>2} 答案：B 解析：原不等式可化为|x|2＋|x|－6<0，即－3<|x|<2，解得－2<x<2.故选B. 6．甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为{x|1<x<6}；乙写错了常数c，得到的解集为{x|1<x<4}．那么原不等式的解集为(　　) A．{x|－1<x<6} B．{x|－6<x<1} C．{x|－3<x<－2} D．{x|2<x<3} 答案：D 解析：由题意知，甲的常数c正确，由根与系数的关系可知1×6＝c，故c＝6；乙的常数b正确，由根与系数的关系可知1＋4＝－b，故b＝－5.所以原不等式为x2－5x＋6<0，即(x－2)(x－3)<0，解得2<x<3，所以原不等式的解集为{x|2<x<3}．故选D. 7．已知y＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且不等式y<0的解集是{y|α<y<β}(α<β)，则α，β，a，b的大小关系是(　　) A．a<α<β<b B．a<α<b<β C．α<a<b<β D．α<a<β<b 答案：A 解析：设y1＝(x－a)(x－b)，则函数y1＝(x－a)(x－b)的图象向上平移2个单位长度得到y＝(x－a)(x－b)＋2的图象，由图易知a<α<β<b.故选A. 8．若关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实数根，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|0<m<2} B. C. D．{m|m≤2} 答案：C 解析：当m＝0时，方程为2x＋2＝0，有一个负实数根．当m≠0时，mx2＋2x＋2＝0为一元二次方程，关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实数根，设两根为x1，x2，当Δ＝4－8m＝0，即m＝时，方程为x2＋2x＋2＝0，解得x＝－2，满足题意；当即m<，且m≠0时，若只有一个负实数根，则x1x2＝<0，得m<0，若有两个负实数根，则得0<m<.综上所述，实数m的取值范围是.故选C. 二、多项选择题 9．下列说法错误的是(　　) A．ax2>0(a>0)的解集为R B．不等式x2＋x＋1<0的解集为∅ C．如果ax2＋bx＋c＝0中a<0，Δ＝0，则ax2＋bx＋c≥0的解集是 D．x2＋3x－4>0的解集和不等式组的解集相同 答案：ACD 解析：对于A，ax2>0(a>0)的解集为{x|x≠0}，故A错误；对于B，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以x2＋x＋1<0的解集为∅，故B正确；对于C，若a<0，Δ＝0，则ax2＋bx＋c≥0的解集为，故C错误；对于D，x2＋3x－4>0的解集为{x|x<－4，或x>1}，不等式组的解集为{x|x>1}，故D错误．故选ACD. 10．解关于x的不等式ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是(　　) A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4} B．当a>0时，不等式的解集为 C．当a＝－时，不等式的解集为R D．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2<x<4} 答案：ABD 解析：不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}，故A正确；当a>0时，不等式的解集为，故B正确；当a＝－时，不等式为x2－4x＋8<0，Δ＝(－4)2－4××8＝0，不等式的解集为∅，故C错误；当a＝－1时，不等式为x2－6x＋8<0，不等式的解集为{x|2<x<4}，故D正确．故选ABD. 11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|1＜x＜2}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．b＋c>0 C．关于x的不等式ax2＋cx＋b<0的解集为{x|－3＜x＜1} D．若c3＋bc＋a≤0，则a＋b＋2c的最大值为1 答案：ACD 解析：因为关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|1＜x＜2}，所以整理，得则b＋c＝－a<0，A正确，B错误；由ax2＋cx＋b＝ax2＋2ax－3a＝a(x2＋2x－3)<0，解得－3<x<1，C正确；c3＋bc＋a＝8a3－6a2＋a≤0，即8a2－6a＋1≤0，解得≤a≤，则a＋b＋2c＝2a≤1，D正确．故选ACD. 三、填空题 12．不等式2≤x2－2x<8的解集是________． 答案：{x|－2<x≤1－，或1＋≤x<4} 解析：原不等式等价于⇒∴原不等式的解集为{x|－2<x≤1－，或1＋≤x<4}． 13．设方程x2＋bx＋c＝0的两根是x1，x2，若不等式x2－bx＋c<0的解集是{x|－3<x<2}，则x＋x的值是________． 答案：19 解析：由不等式x2－bx＋c<0的解集是{x|－3<x<2}可知，x2－bx＋c＝0的两根为－3，2，所以－3＋2＝b，－3×2＝c，所以b＝－1，c＝－6，所以x2＋bx＋c＝x2－x－6＝0，解得x1＝3，x2＝－2，所以x＋x＝27－8＝19. 14．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围是________． 答案： 解析：设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}，所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1<a<2；若A≠∅，则 即所以2≤a≤.综上，a的取值范围是. 15．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为(　　) A. B. C．{x|2<x<8} D．{x|2≤x<8} 答案：D 解析：由题意解得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以[x]的取值为2，3，4，5，6，7，则2≤x<8，故不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为{x|2≤x<8}．故选D. 16．(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2，x1<x2}，则下列结论中正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3 C．x2－x1>4 D．－1<x1<x2<3 答案：ABC 解析：∵关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2，x1<x2}，∴a<0，x1，x2是一元二次方程ax2－2ax＋1－3a＝0的两根，∴x1＋x2＝2，x1x2＝＝－3<－3，x2－x1＝＝＝2>4.由x2－x1>4和x1＋x2＝2可得x1<－1<3<x2.故选ABC. 17．若a>1，且不等式x2－x＋4<0的解集中有且仅有四个整数，则a的取值范围是________． 答案：{a|4<a≤5} 解析：由x2－x＋4<0，可得(x－a)<0，由题意，当1<a<2，即a<时，原不等式的解集为.若满足解集中有且仅有四个整数，则解集为{2，3，4，5}，则5<≤6，此时≤a<，与1<a<2矛盾；当a＝2，即a＝时，原不等式的解集为∅，不符合题意；当a>2，即a>2>时，原不等式的解集为；若满足解集中有且仅有四个整数，则解集可能为{2，3，4，5}或{1，2，3，4}，当整数解为2，3，4，5时，则5<a≤6，且1≤<2，无解，当整数解为1，2，3，4时，0<<1，且4<a≤5，解得4<a≤5.综上所述，a的取值范围是{a|4＜a≤5}． 18．已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B. (1)求A∩B； (2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋bx＋3<0的解集． 解：(1)由x2＋x－6<0，得－3<x<2， ∴A＝{x|－3<x<2}． 由x2－2x－3<0，得－1<x<3， ∴B＝{x|－1<x<3}， ∴A∩B＝{x|－1<x<2}． (2)由已知，得解得 ∴－x2－2x＋3<0，即x2＋2x－3>0， 解得x<－3或x>1. ∴不等式ax2＋bx＋3<0的解集为{x|x<－3，或x>1}． 19．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集． 解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0， 则，3－2a分别为方程(2x－a－1)(x＋2a－3)＝0的两根． 由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0， 所以a<－1或a>. 若a<－1，则3－2a－＝(－a＋1)>5， 所以3－2a>， 此时原不等式的解集是； 若a>，由3－2a－＝(－a＋1)<－， 所以3－2a<， 此时原不等式的解集是. 综上，实数a的取值范围为. 当a<－1时，原不等式的解集为；当a>时，原不等式的解集为. 17 学科网（北京）股份有限公司 $