2.2 第1课时 基本不等式-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 第1课时　基本不等式 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握基本不等式≤(a，b>0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式解决最值问题． 教学难点：基本不等式条件的创设． 核心素养：1.通过基本不等式的证明，培养逻辑推理素养.2.借助基本不等式解决最值问题，提升数学运算素养． 知识点一　基本不等式 如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立．通常称这个不等式为基本不等式．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． [拓展]　 1．由基本不等式变形得到的常见结论 (1)ab≤≤(a，b∈R)． (2)≤≤(a，b均为正实数)． (3)＋≥2(a，b同号)． (4)(a＋b)≥4(a，b同号)． (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 2．基本不等式的推广 一般地，若a1，a2，a3是正实数，则有≥，当且仅当a1＝a2＝a3时，等号成立． 知识点二　基本不等式与最大(小)值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若xy＝P(P为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2．(简记：积定和有最小值) (2)若x＋y＝S(S为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值．(简记：和定积有最大值) [点拨]　利用基本不等式求最值的三个关键点：一正、二定、三相等． (1)一正：各项必须为正； (2)二定：各项之和或各项之积为定值； (3)三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． 1．(和定求积的最大值)设x，y均为正数，且x＋4y＝4，则xy的最大值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．16 答案：A 2．(基本不等式成立的条件)＋≥2成立的条件是________． 答案：a与b同号 3．(配凑法求最值)若x<1，则x＋的最大值为________． 答案：－1 4．(常数代换法求最值)若a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值为________． 答案：2 题型一　对基本不等式的理解 例1　　给出下面三个推导过程： ①因为a>0，b>0，所以＋≥2＝2； ②因为a>0，所以a2－1＋≥2＝2； ③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ [解析]　①因为a>0，b>0，所以>0，>0，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；②因为当a>0时，a2－1不一定为正，所以②的推导过程错误；③由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将＋看作一个整体提出负号后，－，－均为正数，符合基本不等式成立的条件，故③的推导过程正确． [答案]　D 【感悟提升】基本不等式≥(a>0，b>0)的两个关注点 (1)不等式成立的条件：a，b都是正实数． (2)“当且仅当”的含义 ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b. 【跟踪训练】 1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x>1，则x＋>2＝2； ②若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4； ③若x，y∈R，则＝|x|＋≥2. 答案：①② 解析：③中当x，y异号时，不成立． 题型二　利用基本不等式比较大小 例2　　已知a>0，b>0，且a≠b，则，，，中最小的是________． [解析]　解法一：∵＝≤＝≤，又2ab≤a2＋b2，∴(a＋b)2≤2(a2＋b2)，∴≤，∴≤.综上所述，≤≤≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．又a≠b，∴<<<，∴最小． 解法二(特殊值法)：令a＝4，b＝2，则＝3，＝2，＝，＝，∴最小． [答案]　 【感悟提升】利用基本不等式比较大小的关注点 (1)利用基本不等式比较大小时，应创设基本不等式的使用条件． (2)明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． (3)灵活运用基本不等式及其变形形式． 【跟踪训练】 2．已知0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是________． 答案：a＋b 解析：因为0<a<1，0<b<1，a≠b，所以a2＋b2>2ab，a＋b>2.所以最大的只能是a2＋b2与a＋b其中之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0<a<1，0<b<1，所以a－1<0，b－1<0，所以a2＋b2<a＋b，所以a＋b最大． 题型三　配凑法求最值 例3　　(1)若x>2，则＋x的最小值为________． [解析]　因为x>2，所以x－2>0，＋x＝＋x－2＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立，所以＋x的最小值为4. [答案]　4 (2)已知0<x<，则x(1－2x)的最大值为________． [解析]　因为0<x<，所以1－2x>0，x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立，所以x(1－2x)的最大值为. [答案]　 (3)已知x>1，则的最小值为________． [解析]　因为x>1，所以x－1>0，则＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．故的最小值为2＋2. [答案]　2＋2 (4)已知x>－1，则的最大值为________． [解析]　因为x>－1，所以x＋1>0，则＝＝＝＝，因为x＋1>0，所以x＋1＋＋1≥2＋1，所以≤＝，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，等号成立．故的最大值为. [答案]　 【感悟提升】配凑法求最值的策略 (1)配凑时注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转化． (2)代数式的变形以配凑出和或积为常数为目的． (3)拆项、添项时注意检验利用基本不等式的前提． 【跟踪训练】 3．(1)已知x<，则4x－2＋的最大值为________． 答案：1 解析：因为x<，所以4x－5<0，则5－4x>0，所以4x－2＋＝4x－5＋＋3.因为5－4x＋≥2＝2，所以4x－5＋≤－2，所以4x－5＋＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故当x＝1时，4x－2＋取得最大值1. (2)已知x>－1，则的最小值为________． 答案：16 解析：因为x>－1，所以x＋1>0，所以＝＝x＋11＋＝x＋1＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立．故的最小值为16. (3)正数m，n满足m＋n＝5，则＋的最大值为________． 答案：4 解析：因为(＋)2＝m＋n＋3＋2·＝8＋2·≤8＋()2＋()2＝8＋m＋n＋3＝16，当且仅当＝，即m＝3，n＝2时，等号成立，又因为＋>0，所以＋≤4，当且仅当m＝3，n＝2时，等号成立．故＋的最大值为4. 题型四　常数代换法、消元法求最值 例4　　(1)已知x>0，y>0，且满足＋＝1，求x＋2y的最小值． [解]　∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y) ＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当即时，等号成立， 故当x＝12，y＝3时，x＋2y取得最小值18. (2)已知a>－1，且ab－2a＋b＝5，求(a＋2)(b＋1)的最小值． [解]　因为a>－1，所以a＋1>0， 由ab－2a＋b＝5，得b＝， 则(a＋2)(b＋1) ＝(a＋2)＝ ＝ ＝3(a＋1)＋＋6 ≥2＋6＝12， 当且仅当3(a＋1)＝，即a＝0时，等号成立， 所以(a＋2)(b＋1)的最小值为12. 【感悟提升】 1．常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 2．消元法求最值的策略 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 【跟踪训练】 4．(1)已知a>0，b>0，a＋3b＝，求＋的最小值． 解：＋＝2(a＋3b) ＝2× ＝2× ≥2×＝， 当且仅当即时，等号成立． 所以＋的最小值为. (2)已知a>0，b>0，且＋＝1，求＋的最小值． 解：因为＋＝1，则＝1－＝， 所以＝，所以＋＝＋. 因为a>0，b>0，所以＋≥4， 当且仅当＝，即b＝2a＝4时，等号成立． 所以＋的最小值是4. 1．若a，b为正实数，且a＋b＝2，则ab的最大值为(　　) A. B．1 C．2 D．2 答案：B 解析：因为a，b为正实数，且a＋b＝2≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以ab≤1.故选B. 2．已知x>1，则的最小值为(　　) A．1＋ B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．故选C. 3．(多选)已知正数a，b，则下列说法正确的是(　　) A.＋的最小值为2 B．(a＋b)≥4 C.≥2 D.> 答案：BC 解析：对于A，＋≥2，当且仅当＝1时，等号成立，而>，故等号不成立，A不正确；对于B，(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，故B正确；对于C，≥＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，故C正确；对于D，≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故D不正确．故选BC. 4．已知a>b>c，则与的大小关系是________． 答案：≤ 解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.∴≤＝，当且仅当a＋c＝2b时，等号成立． 5．已知x，y都是正数．若3x＋2y＝12，则xy的最大值为________；若x＋2y＝3，则＋的最小值为________． 答案：6　1＋ 解析：∵3x＋2y＝12，∴xy＝·3x·2y≤×＝6，当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立，∴xy的最大值为6.∵x＋2y＝3，∴1＝＋，∴＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋，当且仅当＝，即x＝3－3，y＝3－时，等号成立，∴＋的最小值为1＋. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 直接法求最值 配凑法求最值 配凑法求最值 配凑法求最值 利用几何图形证明代数不等式 配凑法求最值 配凑法、常数代换法求最值 消元法求最值 对基本不等式的理解 直接法、常数代换法求最值 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 消元法、常数代换法求最值 常数代换法求最值 常数代换法求最值 直接法求最值；解一元二次不等式 常数代换法求最值 消元法、直接法求最值 换元法求最值；二次函数求最值 配凑法求最值 常数代换法、消元法求最值；利用基本不等式比较大小 一、单项选择题 1．设x>0，则3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．－3 C．3－2 D．－1 答案：C 解析：∵x>0，∴3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．故选C. 2．已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是(　　) A．1 B．4 C．7 D.3＋ 答案：C 解析：∵x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，∴x＋y＝(x－2)＋(y－1)＋3≥2＋3＝7，当且仅当时，等号成立．故选C. 3．若0<x<，则x的最大值为(　　) A．1 B. C. D. 答案：C 解析：因为0<x<，所以1－4x2>0，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立．故选C. 4．已知x>1，则的最小值为(　　) A.＋1 B．2＋1 C．3＋1 D．4＋1 答案：D 解析：＝＝2(x－1)＋＋1，因为x>1，所以x－1>0，>0，由基本不等式，得2(x－1)＋＋1≥2＋1＝4＋1，当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时，等号成立．故选D. 5．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) B.≥(a>0，b>0) C.>(a>0，b>0) D.≥(a>0，b>0) 答案：D 解析：OF＝，OC＝，所以CF＝＝，由OF≤CF，得≤.故选D. 6．设x>0，则x＋－的最小值为(　　) A．0 B. C．1 D. 答案：A 解析：因为x>0，所以x＋>0，所以x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立，所以x＋－的最小值为0. 7．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为(　　) A．2 B. C. D.5 答案：B 解析：∵x＋y＝1，∴x＋(1＋y)＝2，则2＝[x＋(1＋y)]＝＋＋5≥2＋5＝9，∴＋≥，当且仅当即时，等号成立，∴＋的最小值为.故选B. 8．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：因为x2＋2xy－3＝0，所以y＝，所以2x＋y＝2x＋＝＝＋≥2＝3，当且仅当＝，即x＝1时，等号成立．故选C. 二、多项选择题 9．下列说法中正确的是(　　) A．因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2 B．因为x∈R，所以>1 C．因为a<0，所以＋a≥2＝4 D．因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2＝－2 答案：AD 解析：对于A，因为a，b为正实数，所以>0，>0，故＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，故A正确；对于B，因为x∈R，x2≥0，所以x2＋1≥1，则0<≤1，故B错误；对于C，当a<0时，＋a<0，故C错误；对于D，因为xy<0，所以－>0，－>0，所以＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－＝－，即x＝－y时，等号成立，故D正确．故选AD. 10．设正实数x，y满足2x＋y＝1，则(　　) A．xy的最大值是 B.＋的最小值是9 C．4x2＋y2的最小值是 D.＋的最小值是2 答案：BC 解析：对于A，∵1＝2x＋y≥2，∴xy≤，当且仅当即x＝，y＝时，等号成立，故A错误；对于B，＋＝(2x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即x＝y＝时，等号成立，故B正确；对于C，由A项分析可得xy≤，又2x＋y＝1，∴4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝1－4xy≥1－4×＝，当且仅当x＝，y＝时，等号成立，故C正确；对于D，(＋)2＝2x＋y＋2·≤1＋2×＝2，∴＋≤，当且仅当x＝，y＝时，等号成立，故D错误．故选BC. 11．已知a>0，b>0，a＋b2＝1，则(　　) A.＋b< B．a＋2b>1 C．b≤ D.＋≥9 答案：BCD 解析：由a>0，b>0，a＋b2＝1，得a＝1－b2>0，所以0<a<1，0<b<1.对于A，因为b＝，所以＋b＝＋≤2＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，故A错误；对于B，因为a＝1－b2，所以a＋2b＝1－b2＋2b＝－(b－1)2＋2，又0<b<1，所以1<－(b－1)2＋2<2，即1<a＋2b<2，故B正确；对于C，因为b＝，所以b＝·≤＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，故C正确；对于D，因为＋＝(a＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即时，等号成立，故D正确．故选BCD. 三、填空题 12．已知正数x，y满足x＋y＝1，则当x＝________时，取得最小值________． 答案：　3 解析：因为正数x，y满足x＋y＝1，所以＝＋＝＋＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当x＝y＝时，等号成立．故当x＝时，取得最小值3. 13．设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________． 答案：4 解析：∵x>0，y>0，x＋2y＝5， ∴＝＝＝2＋≥2＝4，当且仅当或时，等号成立． 14．已知a，b为正实数，且＋＝2，则a2＋b2的最小值为________；若(a－b)2≥4(ab)3，则ab＝________． 答案：1　1 解析：因为a，b为正实数，且＋＝2，所以2＝＋≥2，即ab≥.因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1，所以a2＋b2的最小值为1.因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2≥4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3，因为a，b为正实数，所以(ab)2－2ab＋1≤0，即(ab－1)2≤0，所以ab＝1. 15．已知x＋y＝1，y>0，x≠0，则＋的值不可能是(　　) A. B. C．1 D. 答案：A 解析：因为x＋y＝1，则x＋y＋1＝2，则＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1，当且仅当y＋1＝2|x|时，等号成立．当x>0时，＋≥；当x<0时，＋≥，所以＋的值可能是，1，.故选A. 16．(多选)已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝6，则(　　) A．2a＋b的最小值为4 B．ab的最大值为2 C．a＋b的最小值为3 D.＋的最小值为 答案：ABD 解析：由ab＋2a＋b＝6，得b＝＝－2，所以2a＋b＝2a＋－2＝2(a＋1)＋－4≥2－4＝4，当且仅当2(a＋1)＝，即a＝1时，等号成立，此时2a＋b取得最小值4，A正确；由ab＋2a＋b＝6，得ab＝6－(2a＋b)，又2a＋b的最小值为4，所以ab的最大值为6－4＝2，B正确；a＋b＝a＋－2＝a＋1＋－3≥4－3，当且仅当a＋1＝，即a＝2－1时，等号成立，C错误；＋≥2＝2＝，当且仅当a＋1＝b＋2时，等号成立，此时＋取得最小值，D正确．故选ABD. 17．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为________． 答案：2 解析：＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当x＝2y时，等号成立，此时z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2，故x＋2y－z的最大值为2. 18．(1)若x<3，求2x＋1＋的最大值； (2)已知x>0，求的最大值． 解：(1)因为x<3，所以3－x>0. 又2x＋1＋＝2(x－3)＋＋7 ＝－＋7， 由基本不等式可得 2(3－x)＋≥2＝2， 当且仅当2(3－x)＝，即x＝3－时，等号成立， 于是－≤－2，－＋7≤7－2， 故2x＋1＋的最大值为7－2. (2)＝. 因为x>0，所以x＋≥2＝2， 所以0<≤＝1， 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立． 故的最大值为1. 19．(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab.求ab与a＋2b的最小值； (2)已知a>b>0，试比较b(a－b)与的大小，并求a2＋的最小值． 解：(1)因为2a＋b＝ab，所以＋＝1. 因为a>0，b>0，所以1＝＋≥2， 当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时，等号成立， 所以ab≥8，即ab的最小值为8. 因为a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝3时，等号成立， 所以a＋2b的最小值为9. (2)因为a>b>0，所以a－b>0， 所以b(a－b)≤＝， 当且仅当b＝a－b，即2b＝a时，等号成立， 所以b(a－b)≤. 因为0<b(a－b)≤，当且仅当2b＝a时，等号成立， 所以≥，所以≥， 所以a2＋≥a2＋≥2＝20， 当且仅当a2＝且2b＝a，即时，等号成立． 综上所述，当a＝，b＝时，a2＋取得最小值20. 17 学科网（北京）股份有限公司 $