2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　等式性质与不等式性质 (教师独具内容) 课程标准：掌握不等式的性质． 教学重点：1.能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决实际问题． 教学难点：用不等式的性质证明不等式． 核心素养：1.通过利用不等式的性质证明不等式，培养逻辑推理素养.2.通过比较大小及利用不等式求范围，提升数学运算素养． 知识点　等式与不等式的性质 等式的性质 不等式的性质 a＝b⇔b＝a a>b⇔b<a a＝b，b＝c⇒a＝c a>b，b>c⇒a>c a＝b⇔a±c＝b±c a>b⇔a＋c>b＋c a＝b⇒ac＝bc a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc a＝b，c≠0⇔＝ a>b，c>d⇒a＋c>b＋d — a>b>0，c>d>0⇒ac>bd — a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) [提醒]　两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d. [拓展]　常用的结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)b<0<a⇒>. (3)a>b>0，c>d>0⇒>. (4)若a>b>0，m>0，则>，<(b－m>0)，<，>(a－m>0)． 1．(利用不等式的性质比较大小)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 答案：C 2．(利用不等式的性质判断命题的真假)下列命题中的真命题是(　　) A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2 B．a<b⇒< C．a>b且c<d⇒a＋c>b＋d D．a>b⇒a2>b2 答案：A 3．(利用不等式的性质求取值范围)已知2<α<6，－2<β<1，若z＝α－β，则z的取值范围是________． 答案：{z|0<z<5} 题型一　利用不等式的性质判断命题的真假 例1　　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a<b，则ac2<bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 [解析]　解法一：当c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a>b>0，得ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； ⇒>，故C为假命题； ⇒ab<0.∵a>b，∴a>0，b<0，故D为真命题．故选D. 解法二(特殊值排除法)：取c＝0，则ac2＝bc2，故A为假命题；取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有<，故B为假命题；取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C为假命题．故选D. [答案]　D 【感悟提升】利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 (1)直接法：直接利用不等式的性质进行推理，看根据条件能否推出相应的不等式． (2)排除法：采用特殊值法进行排除时注意取值，一是满足题设条件；二是简单，便于验证计算． 【跟踪训练】 1．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若>，则ad>bc； (2)若a<b<0，则<； (3)设a，b为正实数，若a－<b－，则a<b. 解：(1)因为>，所以－>0，即>0， 所以或即ad>bc且cd>0，或ad<bc且cd<0，故(1)为假命题． (2)由a<b<0，得a<a－b<0， 所以<，故(2)为真命题． (3)因为a－<b－，且a>0，b>0，所以a2b－b<ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a<0⇒ab(a－b)＋(a－b)<0⇒(a－b)(ab＋1)<0，所以a－b<0，即a<b，故(3)为真命题． 题型二　利用不等式的性质证明不等式 例2　　若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. [证明]　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， ∴(a－c)2>(b－d)2>0， 两边同乘以， 得<. 又e<0，∴>. [结论探究]　本例条件不变的情况下，求证：<. 证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. ∵a>b>0，∴－ac>－bd>0， ∴0<－<－， 又e<0，∴－>－，∴<. 【感悟提升】利用不等式的性质证明不等式的实质及注意点 (1)实质：根据不等式的性质把不等式变形． (2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②利用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【跟踪训练】 2．设a>b>c，求证：＋＋>0. 证明：∵a>b>c，∴－c>－b， ∴a－c>a－b>0，∴>>0， ∴＋>0， 又b－c>0，∴>0， ∴＋＋>0. 题型三　利用不等式的性质求取值范围 例3　　已知1<a<4，2<b<8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． [解]　∵1<a<4，2<b<8，∴2<2a<8，6<3b<24. ∴8<2a＋3b<32. ∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. 故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2. [条件探究]　若本例的条件变为－3<a＋2b<2，－4<2a－b<－3，试求2a＋3b的取值范围． 解：设2a＋3b＝m(a＋2b)＋n(2a－b)， ∴解得 即2a＋3b＝(a＋2b)＋(2a－b)， ∵－3<a＋2b<2，∴－<(a＋2b)<， ∵－4<2a－b<－3， ∴－<(2a－b)<－， ∴－<(a＋2b)＋(2a－b)<， 即－<2a＋3b<. [结论探究]　若本例条件不变，求的取值范围． 解：∵2<b<8，∴<<. 又1<a<4，∴1×<a·<4×， 即<<2. 故的取值范围是<<2. 【感悟提升】利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)当题目中出现多个变量求取值范围时，注意变量之间是相互制约的，不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他整体的范围． (2)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (3)同向不等式的两边可以相加，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【跟踪训练】 3．(1)已知－1<x<2，0<y<3，求2x－y的取值范围． 解：因为－1<x<2，0<y<3，所以－2<2x<4，－3<－y<0，所以－5<2x－y<4. (2)已知－1<a＋b<5，－4<a－b<2，求2a－4b的取值范围． 解：设2a－4b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 则解得 即2a－4b＝3(a－b)－(a＋b)， 因为－1<a＋b<5，－4<a－b<2， 所以－5<－(a＋b)<1，－12<3(a－b)<6， 所以－17<2a－4b<7. 1．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2 C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax 答案：B 解析：∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2，∴x2>ax>a2. 2．设a，b，c，d∈R，则(　　) A．a>b，c＝d⇒ac<bd B.>⇒a>b C．a3>b3，ab>0⇒< D．a2>b2，ab>0⇒< 答案：C 解析：用排除法，A错误，显然当c＝d＝0时，结论不成立；B错误，当c<0时，结论不成立；D错误，当a＝－2，b＝－1时，结论不成立．故选C. 3．有外表相同、质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b 答案：A 解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c，∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.综上所述，d>b>a>c. 4．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围为________． 答案：－2<α－β<0 解析：由－1<β<1，得－1<－β<1.∵－1<α<1，∴－2<α－β<2，又α<β，∴－2<α－β<0. 5．已知a>b>c>0，A＝ab＋bc，B＝ac＋b2，C＝a2＋b2，则A，B，C的大小关系是________． 答案：C>A>B 解析：由a>b>c>0，得a2>ab，b2>bc，所以C＝a2＋b2>ab＋bc＝A，因为A－B＝(ab＋bc)－(ac＋b2)＝(a－b)·(b－c)>0，所以A>B，综上所述，C>A>B. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 利用不等式的性质判断命题的真假 利用不等式的性质判断不等关系——可加性、特殊值法 利用不等式的性质判断不等关系——可乘性 不等式的性质与充分、必要条件结合 利用不等式的性质，结合作差法比较大小 利用不等式的性质求取值范围——可加性 利用不等式的性质求取值范围——可加性、可乘性 利用不等式的性质求代数式的最值——可加性、可乘性 利用不等式的性质判断命题的真假 利用不等式的性质，结合作差法比较大小 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 利用不等式的性质求取值范围——可乘性 利用不等式的性质比较大小——可乘性 利用不等式的性质求取值范围——可加性、可乘性 利用不等式的性质求代数式的最值——可加性、可乘性 不等式性质的实际应用 利用不等式的性质判断命题的真假 利用不等式的性质比较大小 利用不等式的性质求代数式的最值——可加性、可乘性 不等式性质的综合问题 一、单项选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若a2>b2，则a>b C．若>，则a<b D．若<，则a>b 答案：A 解析：对于A，若ac2>bc2，则c≠0，故c2>0，则a>b，故A正确；对于B，若a＝－2，b＝1，满足a2>b2，但是a<b，故B错误；对于C，若>，则a>b，故C错误；对于D，若a＝－2，b＝1，满足<，但是a<b，故D错误．故选A. 2．若x>y，m>n，则下列不等式中正确的是(　　) A．x＋m>y＋n B.x－m>y－n C.> D．xm>yn 答案：A 解析：因为x>y，m>n，所以x＋m>y＋n，故A正确；当x＝2，y＝1，m＝2，n＝－1时，x－m<y－n，故B错误；当x＝2，y＝1，m＝2，n＝－1时，<，故C错误；当x＝1，y＝－1，m＝2，n＝－4时，xm<yn，故D错误．故选A. 3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．ab>bc B．ac>bc C．ab>ac D．a|b|>|b|c 答案：C 解析：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3a>a＋b＋c＝0，3c<a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.故选C. 4．若a，b∈R，则“a<b”是“a3－a2b<0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：当a<b时，取a＝0，则a3－a2b＝0，即充分性不成立；当a3－a2b<0时，有a2(a－b)<0，则a≠0，故a2>0，所以a－b<0，即a<b，即必要性成立．综上所述，“a<b”是“a3－a2b<0”的必要不充分条件．故选B. 5．已知a>b>0，则－与的大小关系是(　　) A.－> B.－< C.－＝ D．无法确定 答案：B 解析：因为a>b>0，所以ab>b2>0，所以>b，所以(－)2－()2＝a＋b－2－a＋b＝2b－2<0，所以－<.故选B. 6．若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是(　　) A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 答案：C 解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又1<a<3，∴－3<a－|b|<3. 7．已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则2x－3y的取值范围为(　　) A．3<2x－3y<10 B．0<2x－3y<10 C．3<2x－3y<8 D．0<2x－3y<8 答案：C 解析：设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y，∴解得∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)．∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴－2<－(x＋y)<，5<(x－y)<.∴3<－(x＋y)＋(x－y)<8，即3<2x－3y<8.故选C. 8．已知a，b，c均为正实数，且≥，≥，≥，那么＋＋的最大值为(　　) A．3 B．4 C．11 D．12 答案：B 解析：因为a，b，c均为正实数，所以由题可得0<≤3，0<≤4，0<≤5，即0<＋≤3，0<＋≤4，0<＋≤5，三式相加，得0<3≤12，所以0<＋＋≤4，所以＋＋的最大值为4.故选B. 二、多项选择题 9．下列说法一定正确的是(　　) A．若>，则a2026>b2026 B．若ab<0，>，则a>b C．若a>b，a＋c>b＋d，则c>d D．若a>b>0，则> 答案：BD 解析：对于A，取a＝0，b＝－1，可知a2026>b2026不成立，故A错误；对于B，由ab<0，>，得a>0>b，故B正确；对于C，取a＝3，b＝0，c＝1，d＝2，满足a>b，a＋c>b＋d，但c>d不成立，故C错误；对于D，∵a>b>0，∴－＝>0，∴>，故D正确．故选BD. 10．已知c<0<b<a，则(　　) A．ac＋b<bc＋a B．b3＋c2<a3＋c2 C.< D.> 答案：ABD 解析：对于A，∵c<0<b<a，∴ac<bc，又b<a，由不等式的性质，知ac＋b<bc＋a，故A正确；对于B，∵a>b>0，∴a3>b3，∴a3＋c2>b3＋c2，故B正确；对于C，∵－＝＝，∵c<0<b<a，∴c(b－a)>0，但是b＋c的正负号不确定，∴与的大小关系不确定，故C错误；对于D，∵a>b>0，∴>>0，∴>，又c<0，∴<，故D正确．故选ABD. 11．设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤≤9，则(　　) A．2≤|a|≤6 B．1≤|b|≤3 C．4≤a3b≤144 D．1≤ab3≤4 答案：AC 解析：将1≤ab≤4，4≤≤9，两式相乘，得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，故A正确；由题意，得≤≤，又1≤ab≤4，将两式相乘，得≤b2≤1，所以≤|b|≤1，故B错误；因为1≤a2b2≤16，4≤≤9，将两式相乘，得4≤a3b≤144，故C正确；因为1≤a2b2≤16，≤≤，将两式相乘，得≤ab3≤4，故D错误．故选AC. 三、填空题 12．若a>b>0，c<d<0，则________(填“<”“>”或“＝”)． 答案：< 解析：∵c<d<0，∴－c>－d>0，∴－>－>0.∵a>b>0，∴－>－>0，∴>，即－>－，∴<. 13．若8<x<10，2<y<4，则2x－y的取值范围是________，的取值范围是________． 答案：12<2x－y<18　2<<5 解析：因为8<x<10，所以16<2x<20，由2<y<4可得－4<－y<－2，所以12<2x－y<18.由2<y<4可得<<，因为8<x<10，所以2<<5. 14．已知1≤a－b≤2，3≤a＋b≤4，则ab的最大值为________． 答案： 解析：由不等式的性质，得1≤(a－b)2≤4，9≤(a＋b)2≤16，∴－4≤－(a－b)2≤－1，∴5≤(a＋b)2－(a－b)2≤15，∵(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，∴5≤4ab≤15，∴≤ab≤，当且仅当即a＝，b＝时，ab取得最大值. 15．某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是(　　) A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生 C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生 答案：C 解析：根据已知条件设理科女生有x1人，理科男生有x2人，文科女生有y1人，文科男生有y2人．根据题意可知x1＋x2>y1＋y2，x2＋y2<x1＋y1，根据不等式的性质有－(x2＋y2)>－(x1＋y1)，则(x1＋x2)－(x2＋y2)>(y1＋y2)－(x1＋y1)，即有x1>y2，所以理科女生多于文科男生，C正确；其他选项没有足够证据论证．故选C. 16．(多选)设a，b为正实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a2－b2＝1，则a－b<1 B．若－＝1，则a－b<1 C．|－|＝1，则|a－b|<1 D．|a|≤1，|b|≤1，则|a－b|≤|1－ab| 答案：AD 解析：对于A，因为a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0，若a－b≥1，则≥1⇒a＋b≤1，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立，所以A正确；对于B，取a＝5，b＝，则－＝1，但a－b＝5－>1，所以B不正确；对于C，取a＝4，b＝1，则|－|＝1，但|a－b|＝3>1，所以C不正确；对于D，(a－b)2－(1－ab)2＝a2＋b2－1－a2b2＝(a2－1)(1－b2)≤0，即|a－b|≤|1－ab|，所以D正确．故选AD. 17．某花店搞活动，6枝红玫瑰与3枝黄玫瑰的价格之和大于24元，而4枝红玫瑰与5枝黄玫瑰的价格之和小于22元，那么2枝红玫瑰的价格比3枝黄玫瑰的价格________(填“高”或“低”)． 答案：高 解析：设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别为x元、y元，由题意，得(*)，令2x－3y＝m(6x＋3y)＋n(4x＋5y)＝(6m＋4n)x＋(3m＋5n)y，则解得所以2x－3y＝(6x＋3y)－(4x＋5y)，由(*)，得(6x＋3y)>×24，－(4x＋5y)>－×22，所以(6x＋3y)－(4x＋5y)>×24－×22＝0，所以2x－3y>0，所以2x>3y.所以2枝红玫瑰的价格比3枝黄玫瑰的价格高． 18．(1)已知x>y>z>0，求证：>； (2)已知x，y为实数，且满足2≤xy2≤3，3≤≤4，求的最大值． 解：(1)证明：因为x>y，所以x－y>0，所以>0. 又因为y>z>0，所以>.① 因为y>z，所以－y<－z，所以x－y<x－z， 所以0<x－y<x－z，所以>>0. 又因为z>0，所以>.② 由①②，得>. (2)＝·， ∵3≤≤4，∴27≤≤64， ∵2≤xy2≤3，∴≤≤， 由不等式的性质，得9≤·≤32， 即的最大值为32， 当且仅当即时取到． 19．已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角三角形ABC中，根据(1)中的结论，证明：＋＋<2. 解：(1)若b>a>0，m>0，则<. 证明：－＝ ＝. 因为b>a，所以a－b<0， 又b>0，m>0，所以<0， 所以<. (2)证明：在锐角三角形ABC中A<B＋C，A>0， 由(1)，得<＝， 同理，<＝， <＝. 以上式子相加，得＋＋<2. 14 学科网（北京）股份有限公司 $