2.1 第1课时 不等关系与不等式-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

该高中数学导学案聚焦“不等关系与不等式”，核心知识点包括用不等式(组)表示不等关系、作差法比较大小及重要不等式。课堂导入通过梳理等式性质自然过渡到不等式概念，结合“文字语言与符号语言转换”表格搭建桥梁，例题从限重、投资方案等实际问题切入，形成从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 资料特色在于以实际问题为载体，通过用不等式表示现实不等关系、比较大小的实际应用等题型，培养数学抽象和用数学语言表达现实世界的能力。作差法步骤清晰（作差-变形-定号-结论），变形方法多样（配方、因式分解），结合分层习题设计，提升数学运算素养，便于学生自主学习和教师评估教学效果。

数学 必修 第一册 RJA 第1课时　不等关系与不等式 (教师独具内容) 课程标准：1.梳理等式的性质.2.理解不等式的概念． 教学重点：1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两个实数的大小． 教学难点：不等关系的实际应用． 核心素养：通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小，发展数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　不等关系与不等式 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式． [点拨]　不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不少于，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 知识点二　实数大小比较的基本事实 (1)a>b⇔a－b>0． (2)a＝b⇔a－b＝0. (3)a<b⇔a－b<0. [点拨]　要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 知识点三　重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 1．(用不等式表示不等关系)大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总质量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 答案：C 2．(作差法比较大小)m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系为________． 答案：m≥n 题型一　用不等式(组)表示不等关系 例1　　(1)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　) A．80＋20n≥300 B．80＋20n≤300 C．80＋20(n－1)≤300 D．80＋20(n－1)≥300 [解析]　∵经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，方案A为一次性投资300万，方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万，∴80＋20(n－1)≥300.故选D. [答案]　D (2)某钢铁厂要把长度为4000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？ [解]　设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意： ①截得两种钢管的总长度不超过4000 mm； ②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍； ③截得两种钢管的数量都为自然数． 所以可以用下面的不等式组来表示： 【感悟提升】用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 注意：列不等式(组)时要正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 【跟踪训练】 1．(1)中国“神舟二十号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s，表示为________． 答案：7.9≤v<11.2 解析：“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为7.9≤v<11.2. (2)某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)． 解：设购买A型汽车x辆，B型汽车y辆， 则 题型二　作差法比较大小、证明不等式 例2　　(1)已知x∈R，比较x2＋3与3x的大小． [解]　∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝＋≥>0，∴x2＋3>3x. (2)已知a，b，c∈R，证明：5a2＋b2＋c2≥2ab＋4a＋2c－2. [证明]　∵5a2＋b2＋c2－(2ab＋4a＋2c－2)＝4a2－4a＋1＋a2－2ab＋b2＋c2－2c＋1＝(2a－1)2＋(a－b)2＋(c－1)2≥0， ∴5a2＋b2＋c2≥2ab＋4a＋2c－2， 当且仅当a＝b＝，且c＝1时，等号成立． 【感悟提升】 1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)步骤：作差→变形→定号→结论． (2)变形方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2．作差法是证明不等式的一种常用方法，一般要将不等式转化为两个式子差的形式，再通过恰当的等价变形来确定差的符号，从而证明原不等式成立． 【跟踪训练】 2．(1)已知x，y∈R，比较x2＋4y2＋1与2(x＋2y－1)的大小． 解：∵x2＋4y2＋1－2(x＋2y－1)＝(x2－2x＋1)＋(4y2－4y＋1)＋1＝(x－1)2＋(2y－1)2＋1>0， ∴x2＋4y2＋1>2(x＋2y－1)． (2)已知a>0，b>0，证明：a3＋b3≥a2b＋ab2. 证明：∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)， 又a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2. 题型三　比较大小在实际问题中的应用 例3　　某单位包车参加活动．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． [解]　设该单位的人数为n(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元． 由题意，得y1＝x＋x(n－1)＝x＋nx，y2＝nx. 因为y1－y2 ＝x＋nx－nx ＝x－nx ＝x， 当n＝5时，y1＝y2； 当n>5时，y1<y2； 当n<5时，y1>y2. 所以，当单位的人数为5时，两车队收费相同；大于5时，甲车队收费更优惠；小于5时，乙车队收费更优惠． 【感悟提升】现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将要解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题． 【跟踪训练】 3．甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲饭馆的老板每次购进100千克大米，而乙饭馆的老板每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？ 解：设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a>0，b>0，a≠b)， 则甲饭馆的老板两次购买大米的平均价格(元/千克)是＝， 乙饭馆的老板两次购买大米的平均价格(元/千克)是＝＝. 因为－＝＝>0， 所以>. 所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算． 1．实数x大于，用不等式表示为(　　) A．x< B．x≤ C．x> D．x≥ 答案：C 解析：“大于”对应符号“>”．故选C. 2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应该满足的不等式为(　　) A．4×2x≥100 B．4×2x≤100 C．4×2x>100 D．4×2x<100 答案：C 解析：当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100. 3．设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有(　　) A．P≥Q B．P>Q C．P<Q D．P≤Q 答案：A 解析：∵P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，∴P≥Q. 4．已知a，b∈R，且ab≠0，则ab－a2________b2(填“<”“>”或“＝”)． 答案：< 解析：两式作差，得ab－a2－b2＝－－b2<0，所以ab－a2<b2. 5．一个盒子中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，用不等式(组)将题中的不等关系表示出来为________． 答案： 解析：据题意可得 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 用不等式表示数学问题中的不等关系 用不等式表示不等关系 用不等式组表示生活中的不等关系 用不等式表示生活中的不等关系 作差法比较大小——配方法 作差法比较大小——因式法 作差法比较大小——配方法 比较大小在实际问题中的应用 用不等式表示不等关系 作差法比较大小——配方法 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 作差法比较大小——配方法 用含绝对值的不等式表示生活中的不等关系　 作差法比较大小——分式型 用不等式表示生活中的不等关系 作差法比较大小——因式法、配方法、分式型 用不等式表示生活中的不等关系 作差法比较大小——配方法 比较大小在实际问题中的应用 作差法比较大小——因式法、配方法 一、单项选择题 1．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为(　　) A．a＋b<0 B．a＋b>0 C．a＋b≤0 D．a＋b≥0 答案：C 解析：a与b的和是非正数，即a＋b≤0. 2．下列说法正确的是(　　) A．某人的月收入x元不高于2000元可表示为“x<2000” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y” C．变量x不小于a可表示为“x≥a” D．变量y不超过a可表示为“y≥a” 答案：C 解析：对于A，x应满足x≤2000，故A错误；对于B，x，y应满足x<y，故B错误；对于C，x与a的关系可表示为“x≥a”，故C正确；对于D，y与a的关系可表示为“y≤a”，故D错误． 3．某校对高一美术生划定录取分数线，要求专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：“不低于”对应符号“≥”，“高于”对应符号“>”，“超过”对应符号“>”．故选D. 4．一个工厂原来每天可以加工x件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多560件，且30天加工的商品将超过75000件，这一关系可用不等式表示为(　　) A．30x＋560>75000 B．30(x＋560)>75000 C．30x＋560≥75000 D．30(x＋560)≥75000 答案：B 解析：由题意，得现在工厂每天加工的商品为(x＋560)件，则该工厂30天加工的商品为30(x＋560)件，所以题中关系可用不等式表示为30(x＋560)>75000.故选B. 5．若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 答案：A 解析：因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1.故选A. 6．已知a1>1，a2>1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．M≥N 答案：B 解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，∵a1<1，a2<1，∴a1－1<0，a2－1<0，∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.故选B. 7．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是(　　) A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D．P≤Q 答案：A 解析：P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，又a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，∴P>Q.故选A. 8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步．如果两人步行速度、跑步速度均相同，则下列说法正确的是(　　) A．甲先到达教室 B．乙先到达教室 C．甲、乙同时到达教室 D．无法确定谁先到达教室 答案：B 解析：设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝＋＝＋，乙用时t2＝，t1－t2＝＋－＝s ＝·s＝>0，∴甲用时多，∴乙先到达教室．故选B. 二、多项选择题 9．下面列出的几种不等关系中，正确的是(　　) A．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2>0” B．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b>c，b＋c>a且a＋c>b” C．若某天的温度为t，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃” D．完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20000元，设木工x人，瓦工y人，则上述问题用数学表达式可表示为400x＋500y≤20000 答案：BCD 解析：对于A，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，所以A错误；对于B，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，所以B正确；对于C，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”，所以C正确；对于D，请木工需支付400x元，请瓦工需支付500y元，可得共需支付工资(400x＋500y)元，又工人工资预算不超过20000元，故400x＋500y≤20000，所以D正确．故选BCD. 10．下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋3>2a B．x2＋y2>xy C．b2＋4>4b D．12ab≤4a2＋9b2 答案：AD 解析：∵a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，∴a2＋3>2a，故A恒成立；∵x2＋y2－xy＝＋y2≥0，∴x2＋y2≥xy，故B不恒成立；∵b2＋4－4b＝(b－2)2≥0，∴b2＋4≥4b，故C不恒成立；∵4a2＋9b2－12ab＝(2a－3b)2≥0，∴12ab≤4a2＋9b2，故D恒成立．故选AD. 11．已知a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，则下列结论正确的是(　　) A．b≥c B．c≥b C．a>c D．c>a 答案：AD 解析：∵b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴b≥c.由题意得方程组解得∴c－a＝a2－a＋1＝＋>0，∴c>a.故选AD. 三、填空题 12．某商品的包装上标有质量(500±1)克，若用x表示商品的质量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的质量为________． 答案：|x－500|≤1 解析：∵某商品的包装上标有质量(500±1)克，若用x表示商品的质量，则－1≤x－500≤1，∴|x－500|≤1. 13．若x∈R，则与的大小关系为________． 答案：≤ 解析：∵－＝＝≤0，∴≤. 14．如图所示，现有两种广告牌，其中图1是由两个相似的等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为________． 答案：(a2＋b2)>ab 解析：由题图可知，题图1广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图2广告牌的面积S2＝ab，且S1>S2，即(a2＋b2)>ab. 15．(多选)下列不等式正确的是(　　) A．(x－1)2>x(x－2) B.＋≥ C．a2＋b2≥2(a－b－1) D．4x2＋8y2≥8xy 答案：ACD 解析：对于A，(x－1)2－x(x－2)＝x2－2x＋1－x2＋2x＝1>0，∴(x－1)2>x(x－2)，故A正确；对于B，＋－＝，a2b2>0，但a2＋b2－1的符号不能确定，故B不一定正确；对于C，a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C正确；对于D，∵4x2＋8y2－8xy＝(2x)2－8xy＋(2y)2＝(2x－2y)2≥0，∴4x2＋8y2≥8xy，故D正确．故选ACD. 16．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2200 km，写出不等式为____________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________． 答案：8(x＋19)>2200　9<<10 解析：由题意知，汽车原来每天行驶x km，8天内它的行程超过2200 km，则8(x＋19)>2200.若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即9<<10. 17．若a∈R，p＝a2－a＋1，q＝，则p与q的大小关系为________． 答案：p≥q 解析：p－q＝a2－a＋1－＝＝，由于＋≥>0，a2＋1>0，a2≥0，故p－q≥0，即p≥q，当且仅当a＝0时，等号成立． 18．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平称物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ(λ≠1)，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，试分析顾客购得的黄金质量是小于10克，等于10克，还是大于10克？为什么？ 解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b， 则＝λ(λ≠1)，所以a＝λb， 设先称得的黄金的实际质量为m1，后称得的黄金的实际质量为m2， 由杠杆的平衡原理，得 bm1＝a×5，am2＝b×5， 解得m1＝，m2＝， 则m1＋m2＝＋. 因为(m1＋m2)－10＝＋－10＝＝＝， 因为λ>0，且λ≠1，所以>0， 即m1＋m2>10， 所以顾客购得的黄金质量大于10克． 19．已知0<a<b，且a＋b＝1，求证： (1)a2＋b2<b； (2)2ab<. 证明：(1)因为0<a<b且a＋b＝1， 所以0<a<<b， 则a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0， 所以a2＋b2<b. (2)因为a＋b＝1，所以b＝1－a， 所以2ab－＝2a(1－a)－ ＝－2a2＋2a－ ＝－2＝－2<0， 所以2ab<. 13 学科网（北京）股份有限公司 $