1.5.1 全称量词与存在量词-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 1.5.1　全称量词与存在量词 (教师独具内容) 课程标准：1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会用数学语言表示全称量词命题和存在量词命题，并能判断其真假． 教学重点：1.全称量词与存在量词的含义.2.含有量词的命题构成及全称量词命题和存在量词命题真假的判定． 教学难点：全称量词命题与存在量词命题真假的判定． 核心素养：通过用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相关内容，提升数学抽象素养和逻辑推理素养． 知识点一　全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． (3)符号表示 ①将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示． ②全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． [点拨]　(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题． (2)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来． 知识点二　存在量词与存在量词命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． (3)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)． [点拨]　(1)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题． (2)存在量词命题含有存在量词，有些存在量词命题中的存在量词是省略的，理解时需要把它补充出来． 1．(存在量词命题的识别)下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．∀x∈R，x2－4x＋4≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任一组对边都不相等 答案：B 2．(量词、存在量词的识别)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)． 答案：有些　存在 3．(全称量词命题的识别)“梯形有两边平行”是________命题(填“全称量词”或“存在量词”)． 答案：全称量词 4．(全称量词命题的真假判断)“三角形两边之和大于第三边”是________命题(填“真”或“假”)． 答案：真 题型一　全称量词命题与存在量词命题的识别 例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)凸多边形的外角和等于360°； (3)有的一次函数的图象经过原点； (4)有一个实数x，x不能取倒数． [解]　(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0. (2)是全称量词命题，表示为∀凸多边形，其外角和等于360°. (3)是存在量词命题，表示为∃一次函数，其图象经过原点． (4)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x不能取倒数． 【感悟提升】判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 【跟踪训练】 1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)圆内接四边形的对角互补； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 解：(1)是全称量词命题，表示为∀圆内接四边形，其对角互补． (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2. (3)是存在量词命题，表示为∃平行四边形，其对角线不互相垂直． (4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 题型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例2　　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有x<x； (4)存在一个实数x，使得>1. [解]　(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题． (1)在平面直角坐标系中，有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数0，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (3)存在x1＝－5，x2＝－3，x1<x2，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题． (4)易知≤1，所以该命题是假命题． 【感悟提升】全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧 (1)全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题∀x∈M，p(x)是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能找到集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可． (2)存在量词命题的真假判断 要判定一个存在量词命题∃x∈M，p(x)是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． 【跟踪训练】 2．判断下列命题的真假： (1)任何实数都有平方根； (2)存在有理数x，使x2－2＝0； (3)∀x∈R，x2－x＋1>0； (4)∃x∈Z，3x＋4＝5. 解：(1)因为负数没有平方根，所以该命题为假命题． (2)因为方程x2－2＝0没有有理根， 所以该命题为假命题． (3)因为x2－x＋1＝＋>0恒成立， 所以该命题为真命题． (4)因为3x＋4＝5不存在整数解，所以该命题为假命题． 题型三　含有量词的命题的应用 例3　(1)已知命题“∃－3≤x≤2，5a＋x－2＝0”为真命题，则实数a的取值范围是________． [解析]　由5a＋x－2＝0，得5a－2＝－x，∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3，∴－2≤5a－2≤3，即0≤a≤1.故实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}． [答案]　{a|0≤a≤1} (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2a－1≤x≤a＋1}，且B≠∅. ①若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求a的取值范围； ②若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求a的取值范围． [解]　①由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A， 又B≠∅，所以解得－1≤a≤2， 所以a的取值范围为{a|－1≤a≤2}． ②由于命题q为真命题，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以2a－1≤a＋1，即a≤2， 所以a＋1≤3，所以解得－4≤a≤2， 所以a的取值范围为{a|－4≤a≤2}． 【感悟提升】利用含量词的命题的真假求参数范围的方法 (1)含参数的全称量词命题为真时，常将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，列不等式(组)求解即可． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，若方程为一元二次方程，则可借助根的判别式来求解． 【跟踪训练】 3．(1)已知命题p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：由题意可得，当p为真命题时，方程x2＋3x＋a＝0有实根，所以Δ＝32－4a≥0，解得a≤，故实数a的取值范围是. (2)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“∀x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是________． 答案：{m|m>－1} 解析：当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是{m|m>－1}． 1．下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是180°. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：①③是全称量词命题，②是存在量词命题． 2．下列全称量词命题为真命题的是(　　) A．面积相等的两个三角形全等 B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．两个无理数的和仍为无理数 D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案：B 解析：面积相等的两个三角形不一定全等，故A是假命题；因为∀x∈R，x2≥0，所以∀x∈R，x2＋1≥1，故B是真命题；为无理数，－也为无理数，但＋(－)＝0是有理数，故C是假命题；整数20能被5整除，但其末位数字是0，故D是假命题． 3．下列存在量词命题中，是假命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．有的三角形没有外接圆 D．有些三角形中三条边相等 答案：C 解析：对于A，x＝－1满足题意，是真命题；对于B，x＝6满足题意，是真命题；C是假命题，因为所有的三角形都有外接圆；D是真命题，因为等边三角形的三条边都相等．故选C. 4．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是________(填“全称量词”或“存在量词”)命题，用符号表示为________． 答案：存在量词　∃x，y∈R，x＋y>1 解析：命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是存在量词命题，用符号表示为“∃x，y∈R，x＋y>1”． 5．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________． 答案：{a|a≤1} 解析：由p为真命题，知a≤x.又1≤x≤3，因此a≤1. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 全称量词命题的判断 存在量词命题的判断 全称量词命题的表述 存在量词命题的表述 全称量词命题及真假的判断 存在量词命题及真假的判断 由全称量词命题的真假性求参数范围 由存在量词命题的真假性求参数范围 含有量词 命题的真 假判断　 含有量词 命题的真 假判断　 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 由全称量词命题的真假性求参数范围；探求充分不必要条件 全称量词命题 的表述 存在量词命题的判断及表述 由存在量词命题的真假性求参数范围 含有量词的命题与充要条件结合 含有量词命题的真假判断 由含有量词命题的真假性求参数范围 全称量词命题、存在量词命题及真假的判断 含有量 词命题 的应用 一、单项选择题 1．下列命题为全称量词命题的是(　　) A．存在实数x，使得x2＋2<0 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意四边形的内角和都是360° 答案：D 解析：A，B，C均为存在量词命题，D为全称量词命题．故选D. 2．下列命题中为存在量词命题的是(　　) A．所有的整数都是有理数 B．每一个平行四边形都是中心对称图形 C．有些三角形是等腰三角形 D．正方形都是菱形 答案：C 解析：A，B，D为全称量词命题，C中含有存在量词“有些”，故为存在量词命题． 3．命题“实数的平方不小于零”可以表示为(　　) A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2≥0 C．∀x∈R，x2>0 D．∃x∈R，x2>0 答案：A 解析：因为“实数的平方不小于零”是全称量词命题，且“不小于”为“≥”，所以该命题可以表示为“∀x∈R，x2≥0”．故选A. 4．下列命题与“∃x∈R，x2＋1<0”表述一致的是(　　) A．只有一个实数x，使得x2＋1<0 B．不存在实数x，使得x2＋1<0 C．所有实数x，都有x2＋1≥0 D．至少有一个实数x，使得x2＋1<0 答案：D 解析：与“∃x∈R，x2＋1<0”表述一致的是“至少有一个实数x，使得x2＋1<0”．故选D. 5．下列命题中是全称量词命题且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x＋1>0 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．所有菱形的四条边都相等 D．∀x>0，是无理数 答案：C 解析：A是全称量词命题，但不是真命题，故A不满足题意；B是真命题，但不是全称量词命题，故B不满足题意；C是全称量词命题，也是真命题，故C满足题意；D是全称量词命题，但不是真命题，故D不满足题意．故选C. 6．下列存在量词命题中是假命题的是(　　) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的自然数是偶数 D．存在一个实数与其相反数的和为0 答案：B 解析：因为存在x＝0∈Q，使2x－x3＝0成立，故A是真命题；因为x2＋x＋1＝＋>0对x∈R恒成立，故B是假命题；因为2是自然数也是偶数，故C是真命题；因为1的相反数为－1，1＋(－1)＝0，故D是真命题．故选B. 7．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a≠0.若p为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a>－1} B．{a|a<－1} C．{a|a≥－1} D．{a|a≤－1} 答案：B 解析：依题意，∀x∈R，x2＋2x－a≠0恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 8．已知命题p：存在实数2≤x≤4，使得2x＋5－m<0，若命题p为真命题，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|m>9} B．{m|m>13} C．{m|m>10} D．{m|m<－12} 答案：A 解析：若命题p为真命题，则存在实数2≤x≤4，使得m>2x＋5，令y＝2x＋5，2≤x≤4，则m>ymin＝9，所以m>9.故选A. 二、多项选择题 9．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，则(　　) A．∃x∈A，x∈B B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∉B D．∀x∈B，x∈A 答案：AD 解析：因为集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，所以B是A的真子集，所以∃x∈A，x∈B，且∀x∈B，x∈A.故选AD. 10．下列命题中是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x2－3x＋4>0 B．∀x∈{1，－1，0}，5x＋4>0 C．∃x∈N，≤x D．∃x∈N＋，使x为29的约数 答案：ACD 解析：对于A，因为2x2－3x＋4＝2－＋4＝2＋>0，故A是真命题；对于B，因为当x＝－1时，5x＋4<0，故B是假命题；对于C，令x＝4，则＝2≤4，故C是真命题；对于D，因为1和29都是29的约数，故D是真命题．故选ACD. 11．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a≥3 B．a≥4 C．a≥5 D．a≥6 答案：CD 解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，因为x∈A＝{x|1≤x≤2}，又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4a≥5，a≥5⇒a≥4，同理，a≥4a≥6，a≥6⇒a≥4.故选CD. 三、填空题 12．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”，用“∃”或“∀”符号表示为________． 答案：∀x∈R，x2＋2x＋1≥0 解析：含有全称量词“任意一个”，用符号“∀”表示，“不小于零”就是“≥0”，因此命题用符号表示为“∀x∈R，x2＋2x＋1≥0”． 13．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是________________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为____________________． 答案：存在量词命题　∃x，y∈R，x＋y>1 解析：命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是存在量词命题，用符号表示为“∃x，y∈R，x＋y>1”． 14．若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________． 答案：{m|m≤5} 解析：因为存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m是真命题，所以m≤xmax＝5. 15．已知a>0，则“x0满足关于x的方程ax＝b”的充要条件是(　　) A．∃x∈R，ax2－bx≥ax－bx0 B．∃x∈R，ax2－bx≤ax－bx0 C．∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0 D．∀x∈R，ax2－bx≤ax－bx0 答案：C 解析：由于a>0，令函数y＝ax2－bx＝a·－，故此函数的图象开口向上，且当x＝时，函数取得最小值，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝，故∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0.故选C. 16．(多选)给出下列全称量词命题与存在量词命题，其中真命题是(　　) A．设A，B为两个集合，若A⊆B，则对任意x∈A，都有x∈B B．设A，B为两个集合，若AB，则存在x∈A，使得x∉B C．∀x∈{y|y是无理数}，x2是有理数 D．∀x∈{y|y是无理数}，x4是无理数 答案：AB 解析：对于A，集合A，B满足A⊆B，则由集合包含关系的定义知，对任意x∈A，都有x∈B，A是真命题；对于B，集合A，B满足AB，则由集合真包含关系的定义知，存在x∈A，使得x∉B，B是真命题；对于C，显然π∈{y|y是无理数}，π2也是无理数，C是假命题；对于D，显然∈{y|y是无理数}，()4＝4却是有理数，D是假命题．故选AB. 17．已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋k＋2＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(k－1)x＋k2－3≠0.若p是真命题，q是假命题，则实数k的取值范围为________． 答案：{k|k≤－1} 解析：若命题p为真命题，即关于x的方程x2－2x＋k＋2＝0有实根，则Δ1＝4－4(k＋2)≥0，解得k≤－1.若命题q为假命题，则方程x2－2(k－1)x＋k2－3＝0有实根，则Δ2＝4(k－1)2－4(k2－3)≥0，解得k≤2.因为p是真命题，q是假命题，所以实数k的取值范围为{k|k≤－1}． 18．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)有理数都是实数； (2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)直角三角形中的两个锐角之和为90°； (4)∃x∈R，x2＋1＝0. 解：(1)命题中省略了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的有理数都是实数”，是全称量词命题，且为真命题． (2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题． (3)命题中省略了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的直角三角形中的两个锐角之和为90°”，是全称量词命题，且为真命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是存在量词命题，因为方程x2＝－1在R上无解，所以命题为假命题． 19．已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围． 解：因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}， 所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}， 又因为∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2， 即y1的最小值大于等于y2的最小值， 即0≥－4－m， 所以m≥－4， 即实数m的取值范围为{m|m≥－4}． 13 学科网（北京）股份有限公司 $