1.4.1 充分条件与必要条件-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 1.4.1　充分条件与必要条件 (教师独具内容) 课程标准：1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 教学重点：1.掌握充分条件、必要条件的概念.2.理解充分条件、必要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充分性、必要性． 教学难点：充分性与必要性的判断． 核心素养：1.通过充分性、必要性的判断，提升逻辑推理素养.2.借助充分条件、必要条件的应用，提升数学运算素养． 知识点一　命题的概念及结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 知识点二　充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． [点拨]　(1)“p是q的充分条件”的理解：以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着p只能推出结论q或结论q只能由p推出． (2)“p是q的必要条件”的理解：若有q，则必须有p；而具备了p，不一定有q. 1．(必要条件的判断)已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案：必要 2．(充分条件的判断)“a>0，b>0”是“ab>0”的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案：充分 3．(利用充分条件求参数的取值范围)若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________． 答案：{a|a≤1} 题型一　充分条件的判断 例1　　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若x>1，则x2>1； (3)若A⊆B，则A∩B＝A； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC. [解]　(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (2)由x>1可以推出x2>1. 因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)由A⊆B可以推出A∩B＝A. 因为p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知， 若∠A>∠B，则BC>AC. 因此p⇒q，所以p是q的充分条件． 【感悟提升】充分条件的三种判断方法 (1)定义法 第一步：确定谁是条件，谁是结论； 第二步：尝试由条件推结论； 第三步：若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件． (2)命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． (3)集合转化法 设p，q对应的集合分别为A，B，若A⊆B，则p是q的充分条件． 【跟踪训练】 1．给出下列三组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：这个四边形的对角线相等； (3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0. 试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件？ 解：(1)因为相似的三角形不一定全等， 所以pq， 所以p不是q的充分条件． (2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (3)因为由x＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0， 即p⇒q， 所以p是q的充分条件． 题型二　必要条件的判断 例2　　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (2)若x＝1，则x－1＝； (3)若a是自然数，则a是正整数． [解]　(1)直角三角形不一定是等腰三角形， 因此pq，所以q不是p的必要条件． (2)当x＝1时，x－1＝＝0， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)因为0是自然数，但不是正整数， 所以pq，所以q不是p的必要条件． 【感悟提升】必要条件的三种判断方法 (1)定义法 第一步：确定谁是条件，谁是结论； 第二步：尝试由条件推结论； 第三步：若条件能推出结论，则结论为条件的必要条件，否则结论就不是条件的必要条件． (2)命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． (3)集合转化法 设p，q对应的集合分别为A，B，若A⊆B，则q是p的必要条件． 【跟踪训练】 2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若－2≤x≤5，则－1≤x≤5； (2)若△ABC为等边三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)若a－3b＝0，则＝3. 解：(1)当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以pq，所以q不是p的必要条件． (2)因为等边三角形一定是等腰三角形， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)当a＝b＝0时，a－3b＝0成立， 但是＝3不成立，所以pq， 所以q不是p的必要条件． 题型三　利用充分条件、必要条件求参数的取值范围 例3　已知p：关于x的不等式<x<，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． [解]　记A＝，B＝{x|0<x<3}， 若p是q的充分条件，则A⊆B. 注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，分两种情况讨论： ①若A＝∅，则≥，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意； ②若A≠∅，则<，解得m>0， 要使A⊆B，应有 综上，实数m的取值范围是{m|m≤3}． 【感悟提升】利用充分条件或必要条件求参数的取值范围的思路 (1)将p，q等价转化，并记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (2)根据充分条件或必要条件与集合间的关系，将问题转化为集合A，B之间的包含关系． (3)建立关于参数的不等式(组)进行求解． 【跟踪训练】 3．已知集合M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，p：x∈M，q：x∈N.若q是p的必要条件，求a的取值范围． 解：因为q是p的必要条件，所以M⊆N. 于是解得－2≤a≤7. 故a的取值范围为{a|－2≤a≤7}． 1．已知p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案：B 解析：因为(a＋b)(a－b)＝0a＝b，所以pq.又因为a＝b⇒(a＋b)(a－b)＝0，即q⇒p，所以p是q的必要条件． 2．设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是(　　) A．x＋y＝2 B．x＋y>2 C．x2＋y2>2 D．xy>1 答案：B 解析：对于A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立．故选B. 3．(多选)对于任意的实数a，b，c，下列命题中为假命题的是(　　) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 答案：ACD 解析：因为a>bac>bc，所以A为假命题；因为ac<bca<b，所以C为假命题；因为a＝b⇒ac＝bc，ac＝bca＝b，所以B为真命题，D为假命题．故选ACD. 4．已知m是实常数，若α：－1≤x≤3，β：m－1≤x≤2m＋5，且α是β的充分条件，则实数m的取值范围是________________． 答案：{m|－1≤m≤0} 解析：因为α是β的充分条件，所以α对应x的取值集合是β对应x的取值集合的子集，α对应x的取值集合是{x|－1≤x≤3}，β对应x的取值集合是{x|m－1≤x≤2m＋5}，所以解得－1≤m≤0.所以实数m的取值范围是{m|－1≤m≤0}． 5．下列各题中，p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？为什么？ (1)p：|a|＝|b|，q：a＝b； (2)p：内错角相等，q：两直线平行； (3)p：整数a能被4整除，q：a的个位数字为偶数． 解：(1)因为|a|＝|b|a＝b， 所以p不是q的充分条件， 又因为a＝b⇒|a|＝|b|， 所以p是q的必要条件． (2)因为p⇒q，所以p是q的充分条件， 又因为q⇒p，所以p是q的必要条件． (3)若整数a能被4整除，则a为偶数，所以a的个位数字为偶数，即p⇒q，所以p是q的充分条件．因为qp，所以p不是q的必要条件． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 充分条件、必要条件的判断 探求 必要 条件 由充分条件求参数范围 必要条 件的判 断　　 充分条件、 必要条件 的判断　 由必要条件求参数范围 充分条件、必要条件的判断 探求 充分 条件 探求 充分 条件 充分条件、必要条件的判断 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 由必要条件求参数值 充分条件、必要条件的判断 充分条件、必要条件的判断 由必要条件求参数范围 充分条件、必要条件的传递性 充分条件、必要条件的判断与新定义结合 充分条件、必要条件的判断 由充分条件、必要条件求参数范围 充分条件、必要条件的证明与探索 一、单项选择题 1．“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案：A 解析：因为a和b都是奇数⇒a＋b是偶数，a＋b是偶数a和b都是奇数，所以“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的充分条件，但不是必要条件．故选A. 2．a<0，b<0的一个必要条件是(　　) A．a＋b<0 B．a－b>0 C.>1 D.<－1 答案：A 解析：a<0，b<0⇒a＋b<0.故选A. 3．若不等式－a<x<a的一个充分条件为0<x<1，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|0<a≤1} B．{a|0<a<1} C．{a|a≥1} D．{a|a>1} 答案：C 解析：由题意可得，{x|0<x<1}⊆{x|－a<x<a}，所以－a≤0且a≥1，解得a≥1.故选C. 4．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是(　　) A．若x＝1，则x2＝1 B．若ac＝bc，则a＝b C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 答案：A 解析：对于A，若x＝1，则x2＝1，故x2＝1是x＝1的必要条件，故A符合题意；对于B，若ac＝bc，c＝0时，不能得到a＝b，故B不符合题意；对于C，取m＝1，n＝，满足mn为无理数，m为有理数，故C不符合题意；对于D，四边形的对角线互相垂直，这个四边形不一定是菱形，故D不符合题意．故选A. 5．已知a∈N＋，则“a＝3”是“a与8的最小公倍数是24”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案：A 解析：若正整数a与8的最小公倍数是24，则a的可能取值为3，6，12，24，故“a＝3”是“a与8的最小公倍数是24”的充分条件，但不是必要条件．故选A. 6．设p：－1≤x<2，q：x<a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是(　　) A．{a|a≥2} B．{a|a≤－1，或a≥2} C．{a|a≤－1} D．{a|－1≤a<2} 答案：A 解析：由q是p的必要条件，得{x|－1≤x<2}⊆{x|x<a}，所以a≥2.故选A. 7．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 答案：B 解析：x∈A⇒x∈C，但x∈Cx∈A，故选B. 8．下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　) A．a>1 B．a>0 C．a<－1 D．a<1 答案：C 解析：因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，设两根分别为x1，x2，所以即解得a<0.选项中只有a<－1⇒a<0.故选C. 二、多项选择题 9．使x>4成立的一个充分条件是(　　) A．x>5 B．x>6 C．x>2 D．x<2 答案：AB 解析：根据充分条件的定义可知x>5⇒x>4，x>6⇒x>4，故A，B符合题意；x>2不能推出x>4，x<2更不能推出x>4，故C，D不符合题意．故选AB. 10．下列命题中为真命题的是(　　) A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件 B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件 C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件 D．“x>3”是“x2>4”的充分条件 答案：ACD 解析：m是有理数⇒m是实数，故A正确；x∈Ax∈A∩B，故B不正确；x＝3⇒x2－2x－3＝0，故C正确；x>3⇒x2>4，故D正确．故选ACD. 11．已知p：{x|x2＋x－6＝0}，q：{x|mx＋1＝0}，且p是q的必要条件，则m的值可以是(　　) A. B. C．－ D．0 答案：BCD 解析：设A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，B＝{x|mx＋1＝0}，因为p是q的必要条件，所以B⊆A.当B＝∅时，由mx＋1＝0无解，可得m＝0，符合题意；当B≠∅时，B＝{2}或B＝{－3}，当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－，当B＝{－3}时，由－3m＋1＝0，得m＝.综上所述，m的取值为0，－，.故选BCD. 三、填空题 12．已知△ABC，△A1B1C1，“这两个三角形的对应角相等”是“△ABC≌△A1B1C1”的________条件(填“充分”或“必要”)． 答案：必要 解析：这两个三角形的对应角相等△ABC≌△A1B1C1，反之，△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.所以“这两个三角形的对应角相等”是“△ABC≌△A1B1C1”的必要条件． 13．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件(填“充分”或“必要”)． 答案：充分 解析：若m＝2，则A＝{1，4}，A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则m2＝4，解得m＝2或m＝－2，所以m＝2⇒A∩B＝{4}，而A∩B＝{4}m＝2.故“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分条件． 14．已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}，p：x∈A，q：x∈B，且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为________． 答案： 解析：由已知可得A＝＝，B＝{x|x≥－2m}．因为q是p的必要条件，所以p⇒q，所以A⊆B，所以－2m≤－，所以m≥，即实数m的取值范围是. 15．如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案：A 解析：如图所示，显然丙⇒乙⇒甲，但乙丙，所以甲丙，所以丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 16．设m，n∈R，当mn≥0时，m⊗n＝m＋n；当mn<0时，m⊗n＝|m＋n|.例如－6⊗4＝2，则“a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0”是“a⊗b＝－1”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案：A 解析：当a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0时，ab＝0，由mn≥0时，m⊗n＝m＋n知，a⊗b＝－1＋0＝－1，当a⊗b＝－1时，根据定义可知ab≥0，所以a＋b＝－1，故只要满足ab≥0且a＋b＝－1即可，显然不止a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0这种情况，比如a＝b＝－，a＝－，b＝－等也满足，所以“a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0”是“a⊗b＝－1”的充分条件，但不是必要条件．故选A. 17．若p：－2<a<0，0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，则p是q的________条件(填“充分”或“必要”)． 答案：必要 解析：若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，且0<x1<x2<1，则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.于是0<－a<2，0<b<1，即－2<a<0，0<b<1，故q⇒p.所以p是q的必要条件，但不是q的充分条件． 18．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围． 解：(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B， 所以解得a≥， 所以a的取值范围为. (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件， 所以B⊆A， ①当B＝∅时，满足B⊆A，此时2－a>1＋2a，得a<； ②当B≠∅时，解得≤a≤1. 综上，a的取值范围为{a|a≤1}． 19．已知a，b是实数，求证：a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论． 解：因为a2－b2＝1， 所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1. 即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件． a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件．证明如下： 若a4－b4－2b2＝1， 则a4－(b4＋2b2＋1)＝0，a4－(b2＋1)2＝0， (a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0. 又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0， 即a2－b2＝1. 所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件． 13 学科网（北京）股份有限公司 $