1.3 第2课时 补集-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

该高中数学导学案聚焦补集教学，涵盖全集与补集的概念、性质及综合运算，衔接交集、并集知识形成完整集合运算体系，通过概念分层解析、性质系统梳理和梯度例题搭建学习支架。 资料通过Venn图、数轴等直观工具辅助理解抽象概念，题型涵盖基础运算、混合运算及参数求解，梯度训练兼顾不同层次需求，有效培养学生的数学运算素养、几何直观和逻辑推理能力，提升学习效率与自主探究能力。

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　补集 (教师独具内容) 课程标准：1.在具体情境中，了解全集的含义.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.3.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 教学重点：1.补集的概念.2.交集、并集、补集的综合运算． 教学难点：1.对补集的理解及补集思想的应用.2.子集、并集、交集、补集的综合应用． 核心素养：通过补集的运算，培养数学运算素养． 知识点一　全集 (1)概念：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：通常记作U． 知识点二　补集 [点拨]　∁UA包含三层含义：(1)A⊆U；(2)∁UA是一个集合，且(∁UA)⊆U；(3)∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． [拓展]　补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U. (2)A∩(∁UA)＝∅. (3)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A. (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 1．(已知补集求原集合)已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝(　　) A．{0} B．{1} C．∅ D．{0，1} 答案：D 2．(已知补集求全集)设全集为U，M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则U＝(　　) A．{0，2，4，6} B．{0，2，4} C．{6} D．∅ 答案：A 3．(利用数轴求补集)设全集U＝{x|0<x<10}，集合A＝{x|2<x<5}，则∁UA＝________． 答案：{x|0<x≤2，或5≤x<10} 4．(集合的综合运算)设集合U＝{1，2，3，4，5}，M＝{2，3}，N＝{4}，则∁U(M∪N)＝________． 答案：{1，5} 5．(已知补集求参数)设U＝R，A＝{x|a≤x<b}，∁UA＝{x|x<4，或x≥8}，则a＝________，b＝________． 答案：4　8 题型一　集合的补集运算 例1　　(1)设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则∁UA＝________． [解析]　由题意，知U＝{0，1，2，3，4}，又A＝{2，4}，所以∁UA＝{0，1，3}． [答案]　{0，1，3} (2)已知全集为R，集合A＝{x|x<1，或x≥5}，则∁RA＝________． [解析]　在数轴上画出集合A，由数轴，得∁RA＝{x|1≤x<5}． [答案]　{x|1≤x<5} (3)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________． [解析]　因为集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}．又∁UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}． [答案]　{2，3，5，7} 【感悟提升】求集合的补集的方法 【跟踪训练】 1．(1)(新课标Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则∁UA中的元素个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 答案：C 解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，所以∁UA＝{2，4，6，7，8}，则∁UA中的元素个数为5.故选C. (2)若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求∁SA. ①S＝R；②S＝{x|x≤2}；③S＝{x|－4≤x≤1}． 解：①把集合A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1，或x≥1}． ②把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1，或1≤x≤2}． ③把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|－4≤x<－1，或x＝1}． 题型二　交集、并集、补集的混合运算 例2　　(1)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B. [解]　解法一：因为∁UA＝{1，2，6，7，8}，∁UB＝{1，2，3，5，6}， 所以(∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}，A∩(∁UB)＝{3，5}，(∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}． 解法二：画出Venn图，如图所示，由图可得(∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}，A∩(∁UB)＝{3，5}，(∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}． (2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. [解]　把集合A，B在数轴上表示如下： 由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}． 因为∁RA＝{x|x<3，或x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}． 【感悟提升】集合混合运算的一般思路 (1)明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式． (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算． (3)注意对运算结果进行检验． 【跟踪训练】 2．(1)(全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 答案：A 解析：由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪∁UM＝{x|x>－1}，B错误；M∩N＝{x|－1<x<1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1，或x≥1}，C错误；∁UN＝{x|x≤－1，或x≥2}，则M∪∁UN＝{x|x<1，或x≥2}，D错误．故选A. (2)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是________． 答案：{2，3，7，8} 解析：由于全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，故M∪P＝{1，3，4，5，6}，M∩P＝{3}，则∁U(M∪P)＝{2，7，8}，故Venn图中阴影部分表示的集合为[∁U(M∪P)]∪(M∩P)＝{2，3，7，8}． 题型三　与补集相关的参数的求解 例3　　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． [解]　由已知，得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以实数m的取值范围是{m|m≥2}． [条件探究1]　本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则实数m的取值范围又如何？ 解：由已知，得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B≠∅， 所以－m>－2，解得m<2. 所以实数m的取值范围是{m|m<2}． [条件探究2]　本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则实数m的取值范围又如何？ 解：由已知，得A＝{x|x≥－m}， ∁UB＝{x|x≤－2，或x≥4}． 又(∁UB)∪A＝R， 所以－m≤－2，解得m≥2. 所以实数m的取值范围是{m|m≥2}． 【感悟提升】由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，可利用补集的定义并结合集合知识求解． (2)如果所给集合是无限集，一般利用数轴分析法求解． 【跟踪训练】 3．(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，m}，且∁UA＝{1，3，5}，则m的值为________． 答案：4 解析：由已知全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UA＝{1，3，5}，所以A＝{2，4}，又因为A＝{2，m}，所以m＝4. (2)已知全集U＝R，A＝{x∈R|x2－3x＋b＝0}，B＝{x∈R|(x－2)(x2＋3x－4)＝0}，且(∁UB)∩A＝∅，求实数b的取值范围． 解：由题意，B＝{－4，1，2}，且A⊆B. ①若A＝∅，则Δ＝9－4b<0，得b>； ②若A≠∅，则方程x2－3x＋b＝0有实根，设实根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1＋x2＝3. 又A⊆B，所以A＝{1，2}， 所以由根与系数的关系得b＝1×2＝2. 综上，实数b的取值范围是. 1．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N＝(　　) A．M B．N C．I D．∅ 答案：A 解析：如图，因为N∩(∁IM)＝∅，且M，N不相等，所以NM，所以M∪N＝M. 2．(全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 答案：D 解析：因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D. 3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T＝(　　) A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1} 答案：C 解析：因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}，又T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}． 4．如果U＝{x|x是自然数}，A＝{x|x是正奇数}，B＝{x|x是5的倍数}，则B∩(∁UA)＝________________． 答案：{x∈N|x是10的倍数} 解析：由题意，得∁UA＝{x|x是非负偶数}，又B＝{x|x是5的倍数}，所以B∩(∁UA)中的元素应为10的倍数且大于等于0，故B∩(∁UA)＝{x∈N|x是10的倍数}． 5．已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，|a－7|}，∁UA＝{5}，则a的值为________． 答案：4 解析：由A∪(∁UA)＝U，知所以a＝4. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 补集运算 交集、补集混合运算 并集、补集混合运算 利用补集运算求参数的值 Venn图表示并集、交集、补集 并集、补集混合运算 利用并集、补集运算求参数范围 并集、交集、补集的混合运算 Venn图表示并集、交集、补集 并集、交集、补集的混合运算 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 并集、交集、补集的混合运算；空集的概念及应用 已知补集求原集合的真子集个数 交集、补集混合运算；数轴法表示集合 利用补集运算、集合间的关系求参数范围 利用交集、补集运算求参数范围 Venn图在交集、补集混合运算中的应用 并集、交集、补集的混合运算 数轴法求并集、交集、补集的混合运算 补集的综合应用 一、单项选择题 1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x∈Z|1<x<5}，则∁UA＝(　　) A．∅ B．{1，2，5} C．{1，5} D．{1，4，5} 答案：C 解析：因为集合A＝{x∈Z|1<x<5}＝{2，3，4}，全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁UA＝{1，5}．故选C. 2．已知全集U＝{x∈N＋|x≤5}，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，5}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．∅ B.{1} C．{1，2} D.{2，3} 答案：B 解析：由题意可知，U＝{x∈N＋|x≤5}＝{1，2，3，4，5}，所以∁UB＝{1，4}，所以A∩(∁UB)＝{1}．故选B. 3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1} 答案：D 解析：由题意可知，A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}． 4．设全集U＝{1，2，3，4}且A＝{x∈U|x2－5x＋m＝0}，若∁UA＝{2，3}，则实数m＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析：因为∁UA＝{2，3}，U＝{1，2，3，4}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系，得m＝1×4＝4.故选D. 5．如图，I是全集，M，P，S是I的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　) A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S C．(M∩P)∩(∁IS) D．(M∩P)∪(∁IS) 答案：C 解析：由题图可知，阴影部分所表示的集合包含于M∩P，同时又包含于∁IS，故图中阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁IS)．故选C. 6．已知集合A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则∁Z(A∪B)＝(　　) A．{x|x＝4k，k∈Z} B．{x|x＝4k＋2，k∈Z} C．{x|x＝2k，k∈Z} D．{x|x＝2k＋1，k∈Z} 答案：C 解析：因为A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，所以A∪B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，所以∁Z(A∪B)＝{x|x＝2k，k∈Z}．故选C. 7．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤1} B．{a|a＜1} C．{a|a≥2} D．{a|a＞2} 答案：C 解析：因为B＝{x|1＜x＜2}，所以∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，又A＝{x|x＜a}，且A∪(∁RB)＝R，所以a≥2.故选C. 8．已知全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅ 答案：A 解析：因为全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以∁UB＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(∁UB)＝{3}．故选A. 二、多项选择题 9．如图，已知U是全集，A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为(　　) A．(∁UA)∩B B．∁U(A∩B) C．∁B(A∩B) D．∁(A∪B)(A∩B) 答案：AC 解析：根据图示可知，阴影部分表示的元素属于集合B，但不属于集合A，即在阴影部分区域内任取一个元素x，则x满足x∉A，且x∈B，即x∈∁UA且x∈B，因此阴影部分可表示为(∁UA)∩B，即A正确；因为x∈B且x∉A∩B，所以阴影部分还可表示为∁B(A∩B)，即C正确；易知阴影部分表示的集合是∁U(A∩B)和∁(A∪B)(A∩B)的真子集，即B，D错误．故选AC. 10．已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|－2≤x≤2}，则下列关系式正确的是(　　) A．A∩B＝∅ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3} C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1，或x>2} D．A∩(∁RB)＝{x|2<x≤3} 答案：BD 解析：∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|－2≤x≤2，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；∵∁RB＝{x|x<－2，或x>2}，∴A∪(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2，或x>2}＝{x|x<－2，或x>－1}，故C不正确；A∩(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2，或x>2}＝{x|2<x≤3}，故D正确．故选BD. 11．当U为全集时，下列说法中正确的是(　　) A．若A∩B＝∅，则(∁UA)∪(∁UB)＝U B．若A∩B＝∅，则A＝∅或B＝∅ C．若A∪B＝U，则(∁UA)∩(∁UB)＝∅ D．若A∪B＝∅，则A＝B＝∅ 答案：ACD 解析：若A∩B＝∅，则(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝∁U∅＝U，故A正确；若A∩B＝∅，例如A＝{1，2}，B＝{3，4}，A∩B＝∅，但A≠∅，且B≠∅，故B错误；若A∪B＝U，则(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝∁UU＝∅，故C正确；若A∪B＝∅，则A，B均为∅，故D正确．故选ACD. 三、填空题 12．若全集U＝{0，1，2，3}，且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有________个． 答案：7 解析：由题意，知A＝{0，1，3}，故集合A的真子集有23－1＝7个． 13．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－3，或x≥2}，B＝{x|－1<x<5}，则集合C＝{x|－1<x<2}＝________(用A，B或其补集表示)． 答案：B∩(∁UA) 解析：如图所示，由图可知C⊆∁UA，且C⊆B，所以C＝B∩(∁UA)． 14．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B⊆∁RA，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：由题意，得∁RA＝{x|x≥－1}．①若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA；②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a<a＋3，解得－≤a<3.综上，实数a的取值范围为. 15．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则实数k的取值范围是(　　) A．{k|k<0，或k>3} B．{k|2<k<3} C．{k|0<k<3} D．{k|－1<k<3} 答案：C 解析：∵A＝{x|x≤1，或x≥3}，∴∁UA＝{x|1<x<3}．若B∩(∁UA)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁UA)≠∅，则0<k<3. 16．(多选)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁US)∩T＝{4}，(∁US)∩(∁UT)＝{1，5}，则有(　　) A．3∈S B．3∈T C．3∈∁US D．3∈∁UT 答案：AD 解析：因为S∩T＝{2}，所以2∈S，且2∈T，又(∁US)∩T＝{4}，所以4∉S，4∈T，又(∁US)∩(∁UT)＝{1，5}，所以∁U(S∪T)＝{1，5}，所以1，5∉S∪T，如图所示，若3∈T，则3∈(∁US)∩T，与(∁US)∩T＝{4}矛盾，所以3∈S，3∈∁UT.故选AD. 17．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，则A∪B＝________． 答案：{2，3，4} 解析：因为(∁UA)∩B＝{2}，所以2∈B，且2∉A，因为(∁UB)∩A＝{4}，所以4∈A，且4∉B，分别代入，得42＋4p＋12＝0，22－5×2＋q＝0，所以p＝－7，q＝6.所以A＝{3，4}，B＝{2，3}．所以A∪B＝{2，3，4}． 18．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}． (1)求A∩B，A∪B； (2)求(A)∪B，A∩(B)，(A∪B)． 解：将U，A，B在数轴上表示，如图所示． (1)∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}， ∴A∩B＝{x|－2<x≤2}， A∪B＝{x|－3≤x<3}． (2)∵U＝{x|x≤4}， ∴A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， B＝{x|x<－3，或2<x≤4}． ∴(A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(B)＝{x|2<x<3}， (A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}． 19．已知全集U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，集合A＝{x|0≤x<2，x∈P}，B＝{x|－a<x≤1，x∈P}(－1<a<1)． (1)若P＝R，求∁UA中的最大元素m与∁UB中的最小元素n的差m－n； (2)若P＝Z，求∁AB与∁UA中所有元素之和及∁U(∁AB)． 解：(1)因为P＝R，所以∁UA＝{x|－1≤x<0，或x＝2}，∁UB＝{x|－1≤x≤－a，或1<x≤2}， 所以m＝2，n＝－1， 所以m－n＝2－(－1)＝3. (2)因为P＝Z，所以U＝{x|－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1，0，1，2}，A＝{x|0≤x<2，x∈Z}＝{0，1}， 若0<a<1，则－1<－a<0，B＝{x|－a<x≤1，x∈Z}＝{0，1}，所以∁AB＝∅， 又∁UA＝{－1，2}， 所以∁AB与∁UA中所有元素之和为－1＋2＝1； 若－1<a≤0，则0≤－a<1，B＝{x|－a<x≤1，x∈Z}＝{1}，所以∁AB＝{0}， 又∁UA＝{－1，2}， 所以∁AB与∁UA中所有元素之和为0－1＋2＝1. 因为∁AB＝{0}或∁AB＝∅， 所以∁U(∁AB)＝{－1，1，2}，或∁U(∁AB)＝∁U∅＝U＝{－1，0，1，2}． 2 学科网（北京）股份有限公司 $