1.3 第1课时 并集与交集-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 第1课时　并集与交集 (教师独具内容) 课程标准：1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 教学重点：1.并集与交集的含义.2.求两个集合的并集与交集． 教学难点：1.正确理解“或”和“且”的含义.2.并集与交集的运算性质及综合应用． 核心素养：1.借助Venn图，培养直观想象素养.2.通过并集与交集的运算，提升数学运算素养． 知识点一　并集 [点拨]　(1)符号语言“x∈A或x∈B”包含三种情况：“x∈A但x∉B”“x∈B但x∉A”“x∈A且x∈B”，如下图所示： (2)A∪B仍是一个集合．对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． [想一想]　集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？ 提示：不一定，集合A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和． 知识点二　交集 [点拨]　(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素． (2)A∩B仍是一个集合，若两个集合没有公共元素，则二者的交集为∅. 知识点三　并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝A A∩A＝A A∪∅＝A A∩∅＝∅ [拓展]　 1．并集的运算性质 (1)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，A⊆A∪B，B⊆A∪B. (2)A⊆B⇔A∪B＝B；A∪B＝∅⇔A＝B＝∅. 2．交集的运算性质 (1)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，A∩B⊆A，A∩B⊆B. (2)A⊆B⇔A∩B＝A；A∩B＝A∪B⇔A＝B. (3)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)． 3．集合中元素个数的确定方法 我们把含有限个元素的集合A叫做有限集．用card(A)来表示有限集合A中元素的个数．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 1．(定义法求并集)设集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝(　　) A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2} 答案：D 2．(并集、交集的运算)下列关系：Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 3．(数形结合法求并集)若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝________． 答案：{x|x>－3} 4．(已知交集求参数)设集合A＝{7，a}，B＝{－1}，A∩B＝B，则a＝________． 答案：－1 题型一　集合的并集运算 例1　　(1)已知集合A＝{x|x2＝3x}，B＝{－1，1，2，3}，则A∪B＝(　　) A．{3} B.{－1，0，1，2} C．{－1，0，1，2，3} D.{－1，1，2，3} [解析]　∵A＝{x|x2＝3x}＝{0，3}，B＝{－1，1，2，3}，∴A∪B＝{－1，0，1，2，3}．故选C. [答案]　C (2)已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2<x≤5}，则A∪B＝(　　) A．{x|2<x<3} B．{x|－1≤x≤5} C．{x|－1<x<5} D．{x|－1<x≤5} [解析]　在数轴上表示集合A，B，如图所示．结合数轴分析可知，A∪B＝{x|－1≤x≤5}． [答案]　B 【感悟提升】求集合并集的两种方法 (1)定义法：若集合中元素的个数是有限的，可以直接利用并集的定义求解． (2)数形结合法：若集合是无限连续的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到． 【跟踪训练】 1．(1)设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．8 答案：C 解析：因为A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}．故选C. (2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5，或x>5}，则M∪N＝________． 答案：{x|x<－5，或x>－3} 解析：结合数轴分析可知，M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}． 题型二　集合的交集运算 例2　　(1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} [解析]　A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．由x2＋x－6＝0，得x＝－3或x＝2，所以B＝{－3，2}，阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}． [答案]　A (2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4} [解析]　在数轴上表示出集合A和B，如图所示．由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}． [答案]　A 【感悟提升】求集合交集的两种方法 (1)定义法：对于元素个数有限的集合，一般用交集的定义挑出两个集合的所有公共元素即可． (2)数形结合法：对于无限连续的数集，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 【跟踪训练】 2．(1)设集合M＝{x|－2<x<6}，N＝{0，2，4，6}，则M∩N的子集个数为(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 答案：D 解析：依题意，M∩N＝{0，2，4}，共3个元素，所以M∩N的子集个数为23＝8.故选D. (2)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝(　　) A．{x|x>－1} B．{x|x<2} C．{x|－1<x<2} D．∅ 答案：C 解析：在数轴上表示出集合A，B，如图所示，故A∩B＝{x|－1<x<2}． (3)(新课标Ⅱ卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1} 答案：D 解析：因为B＝{x|x3＝x}＝{0，－1，1}，所以A∩B＝{0，1}．故选D. 题型三　已知集合的交集、并集求参数 例3　　(1)已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，若M∩N＝{3}，求实数a的值． [解]　∵M∩N＝{3}，∴3∈M， ∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0， 解得a＝－1或4. 当a＝－1时，集合N中的元素不满足互异性，舍去； 当a＝4时，M＝{1，2，3}，N＝{－1，3，4}，符合题意． ∴a＝4. (2)已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若A∪B＝B，求实数m的取值范围． [解]　因为A∪B＝B，所以A⊆B， 所以解得－4≤m≤－， 故实数m的取值范围为. [条件探究1]　若将本例(2)的条件“A∪B＝B”改为“A∩B＝∅”，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|m≤－9，或m≥1} 解析：因为A∩B＝∅，所以2m＋1≥m＋7或或所以m≥6或m≤－9或1≤m<6. 故实数m的取值范围为{m|m≤－9，或m≥1}． [条件探究2]　若将本例(2)的条件“A∪B＝B”改为“A∩B＝B”，求实数m的取值范围． 解：因为A∩B＝B，所以B⊆A. 当B＝∅时，2m＋1≥m＋7， 所以m≥6，满足A∩B＝B； 当B≠∅时，有无解． 综上，实数m的取值范围是{m|m≥6}． 【感悟提升】已知集合的运算结果求参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集的范围问题． (3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围． 注意：(1)求解后要对结果进行检验，以满足集合中元素的特性，尤其是互异性． (2)对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，要注意考虑空集的情况． 【跟踪训练】 3．设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2－2x－3＝0}． (1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值； (2)若A∩B≠∅且A∩C＝∅，求实数a的值． 解：(1)由题可得B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}， 由A∩B＝A∪B，得A＝B. 所以2，3是方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根， 所以解得a＝5. (2)因为B＝{2，3}，C＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}． 因为A∩B≠∅，A∩C＝∅，所以2∈A， 所以4－2a＋a2－19＝0，即a2－2a－15＝0， 解得a＝5或a＝－3. 当a＝5时，A＝{2，3}，则A∩C≠∅，不符合题意； 当a＝－3时，A＝{－5，2}，则A∩B＝{2}且A∩C＝∅， 故a＝－3符合题意． 综上，实数a的值为－3. 1．(天津高考)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{1} 答案：B 解析：因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3，4}．故选B. 2．已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{0，1} B．{0} C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，2，3} 答案：D 解析：由Venn图可知阴影部分表示的集合是M∪P.因为M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，所以M∪P＝{－1，0，1，2，3}．故选D. 3．设集合A＝{0，1，2，5}，B＝{1，3，4}，C＝{x|1≤x≤4}，则(A∩C)∪B＝(　　) A．{1} B．{1，3} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} 答案：D 解析：∵A∩C＝{1，2}，∴(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．故选D. 4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________． 答案：{(3，1)} 解析：由题意，知A∩B＝{(x，y)|x＋y＝4，且x－y＝2}＝，解得故A∩B＝{(3，1)}． 5．已知集合A＝{x|x<－2，或x>3}，B＝{x|a－2x≥0}． (1)当a＝6时，A∩B＝________； (2)当A∪B＝R时，实数a的取值范围为________． 答案：(1){x|x<－2}　(2){a|a≥6} 解析：(1)当a＝6时，B＝{x|x≤3}，所以A∩B＝{x|x<－2}． (2)B＝，因为A∪B＝R，所以≥3，解得a≥6. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 求并集 求交集 求并集 求交集 并集的概念及简单应用 已知交集求参数值 已知并集求参数范围 并集、交集的运算及应用 Venn图表示集合的交集 求并集、交集；元素与集合的关系 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★ ★★ 对点 并集、交集的运算及应用 已知交集求并集 已知并集求参数值 数轴法解决已知交集求参数范围问题 求并集、交集；集合间关系的判断 Venn图在实际中的应用 与集合并集有关的新定义问题 已知并集、交集求参数值 已知交集求参数值及并集 一、单项选择题 1．已知集合M＝{0，1}，N＝{1，2，3}，则M∪N＝(　　) A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3} 答案：D 解析：由题意，得M∪N＝{0，1，2，3}．故选D. 2．设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4} 答案：B 解析：由题设可得A∩B＝{2，3}．故选B. 3．已知集合M＝{x|－1<x≤2}，N＝{x|x<－2，或x>2}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－2，或x>－1} B．{x|－2<x<2} C．{x|－1<x<2} D．{x|x<－1，或x>2} 答案：A 解析：因为M＝{x|－1<x≤2}，N＝{x|x<－2，或x>2}，所以M∪N＝{x|x<－2，或x>－1}．故选A. 4．已知集合M＝{x|－1<x≤1}，N＝{x|0<x<2}，则M∩N＝(　　) A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1} C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x<2} 答案：A 解析：因为M＝{x|－1<x≤1}，N＝{x|0<x<2}，所以M∩N＝{x|0<x≤1}．故选A. 5．若点集A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素不可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：由题意得，A∪B是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限． 6．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2，5)}，则(　　) A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3 答案：B 解析：∵A∩B＝{(2，5)}，∴解得故选B. 7．已知集合A＝{x|x≤－1，或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|3≤a<4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a≤－1} D．{a|a<－1} 答案：C 解析：画出数轴，如图，若A∪B＝R，则a≤－1. 8．若集合A，B中各有两个元素，A∩B中有一个元素，若集合C同时满足：①C⊆(A∪B)，②C⊇(A∩B)，则满足条件的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析：设A＝{a，b}，B＝{b，c}，由①知C⊆{a，b，c}，由②知{b}⊆C，所以C中必有元素b，故集合C的个数为22＝4. 二、多项选择题 9．已知表示集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 答案：CD 解析：∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}＝{1，3，5，…}，∴M∩N＝{1，3}，则阴影部分表示的集合中的元素为1和3.故选CD. 10．已知集合A＝{x∈Z|x<4}，B⊆N，则下列说法正确的是(　　) A．集合B∪N＝N B．集合A∩B可能是{1，2，3} C．集合A∩B可能是{－1，1} D．0可能属于B 答案：ABD 解析：∵B⊆N，∴B∪N＝N，A正确；∵集合A表示小于4的所有整数的集合，B是自然数集的子集，∴集合A∩B可能是{1，2，3}，B正确；∵－1∉B，∴集合A∩B不可能是{－1，1}，C错误；0可能属于B，D正确．故选ABD. 11．已知集合A＝{x|(x－2)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－1)(x－3)＝0}，记card(A)表示有限集A中的元素的个数，则下列说法正确的是(　　) A．若card(A)＝2，则card(A∪B)＝4 B．若card(A)＝1，则card(A∪B)＝3 C．若card(A∪B)＝3，则A∩B＝∅ D．若card(A∪B)＝4，则A∩B＝∅ 答案：BD 解析：A＝{x|(x－2)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1，3}．对于A，若card(A)＝2，则card(A∪B)的可能取值为3或4，故A错误；对于B，若card(A)＝1，则A＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以card(A∪B)＝3，故B正确；对于C，若card(A∪B)＝3，则A∩B可能为∅，{1}，{3}，故C错误；对于D，若card(A∪B)＝4，则A＝{2，a}，且a的值不是1和3，所以A∩B＝∅，故D正确．故选BD. 三、填空题 12．设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝，则A∪B＝________． 答案： 解析：由A∩B＝，知∈A，∈B，所以解得所以A＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝，B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝，所以A∪B＝. 13．设集合A＝{1，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝A，则实数a可能取的值有________个． 答案：3 解析：由A∪B＝A，知B⊆A，所以a2＝2，a＝±或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以实数a可能取的值为±，0，共3个． 14．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________． 答案：{a|a>－1} 解析：如图，利用数轴分析可知a>－1. 15．(多选)设M＝Z，N＝，则下列关系正确的是(　　) A．N⊆M B．N＝M∪P C．P⊆N D．M∩N＝P 答案：BC 解析：对于集合N，当n为偶数时，设n＝2k，k∈Z，则x＝＝k，k∈Z；当n为奇数时，设n＝2k＋1，k∈Z，则x＝＝＝k＋，k∈Z，所以N＝M∪P，P⊆N.故选BC. 16．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班的女生人数为(　　) A．27 B．23 C．25 D．29 答案：A 解析：作出Venn图，如图所示，可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班的女生人数为5＋2＋1＋10＋4＋3＋2＝27.故选A. 17．集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a，b，c}有________种分拆． 答案：27 解析：当A1＝∅时，A2＝A，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时，如A1＝{a}，A2＝{b，c}或{a，b，c}，此时A1有3种情况，故有6种分拆；当A1为双元素集时，如A1＝{a，b}，A2＝{c}或{a，c}或{b，c}或{a，b，c}，此时A1有3种情况，故有12种分拆；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故有8种分拆．综上所述，共有1＋6＋12＋8＝27种分拆． 18．已知集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∩B＝{－3}，A∪B＝{－3，4}，求实数a，b，c的值． 解：由A∩B＝{－3}，得－3∈A， ∴(－3)2－3a－12＝0，解得a＝－1， ∴A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3，4}． 又A∪B＝{－3，4}，A≠B，A∩B＝{－3}， ∴B中只有一个元素－3， ∴解得 ∴a＝－1，b＝6，c＝9. 19．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，求x，y及A∪B. 解：由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，得7∈A，7∈B且－1∈B， 所以在集合A中，有x2－x＋1＝7，解得x＝－2或x＝3. 当x＝－2时，在集合B中，有x＋4＝2， 又2∈A，故2∈A∩B，不符合题意，舍去． 当x＝3时，在集合B中，有x＋4＝7. 故有2y＝－1，解得y＝－， 经检验，满足A∩B＝C. 综上，x＝3，y＝－. 所以A＝{2，－1，7}，B＝{－1，－4，7}， 所以A∪B＝{－4，－1，2，7}． 5 学科网（北京）股份有限公司 $