1.2 集合间的基本关系-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA (教师独具内容) 课程标准：1.在具体情境中，了解空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 教学重点：1.子集、真子集、包含与相等的定义的理解.2.集合间关系的判定.3.能写出给定集合的子集、真子集． 教学难点：1.集合间关系的判定.2.关系符号(⊆、、⊇、、∈、∉)的正确运用.3.在具体情境中了解空集及其应用． 核心素养：1.通过对集合之间包含与相等的含义及子集、真子集概念的理解，提升数学抽象素养.2.借助子集、真子集的求解及应用，培养数学运算素养． 知识点一　Venn图 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 知识点二　子集与真子集 定义 符号表示 图形表示 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A)，读作A包含于B或B包含A 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB(或BA)，读作A真包含于B或B真包含A [拓展]　若一个集合中含有n个元素，则有： (1)该集合的子集的个数为2n； (2)该集合的真子集的个数为2n－1； (3)该集合的非空子集的个数为2n－1； (4)该集合的非空真子集的个数为2n－2. 知识点三　集合相等 自然语言 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B 符号语言 若A⊆B，且B⊆A，则A＝B 图形语言 知识点四 空集 定义 不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； (2)若A≠∅，则∅A [想一想]　∅，{0}，0三者之间有什么关系？ 提示：∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素0的集合，0∈{0}，0∉∅，∅{0}． 知识点五　集合间关系的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 1．(集合间关系的判断)设集合A＝{1，2，4}，B＝{2}，则下列关系正确的是(　　) A．B∈A B．B∉A C．B⊇A D．B⊆A 答案：D 2．(空集的概念)下列四个集合中是空集的是(　　) A．{0} B．{x|x>2，且x<－2} C．{x|x2－1＝0} D．{x|x>2} 答案：B 3．(由集合间的关系求参数)已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6}⊆A，则m＝________． 答案：2 4．(集合相等)若集合{2，4}＝{1－a，4}，则a＝________． 答案：－1 5．(子集)若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则实数a的取值为________． 答案：1或－ 题型一　集合间关系的判断 例1　　指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}； (5)M＝{x∈N＋|x是4和6的公倍数}，N＝{x|x＝12n，n∈N＋}． [解]　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是有两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM. (5)∵4和6的最小公倍数为12， ∴M＝{x|x＝12m，m∈N＋}， 又N＝{x|x＝12n，n∈N＋}， ∴M＝N. 【感悟提升】判断集合间关系的常用方法 【跟踪训练】 1．(1)已知集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}，那么集合M＝{3，4，5}与Q的关系是(　　) A．MQ B.M，Q互不包含 C．QM D.Q＝M 答案：A 解析：∵集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}＝{2，3，4，5}，又集合M＝{3，4，5}，∴MQ.故选A. (2)已知集合A＝，则集合A，B的关系为________． 答案：A＝B 解析：在集合A中，x＝，n∈Z.集合A中的元素是所有奇数除以3所得的数．在集合B中，x＝＋1＝＝.当n∈Z时，(n＋1)∈Z，2(n＋1)＋1为所有奇数，所以B中的元素是所有奇数除以3所得的数．故A＝B. 题型二　求集合的子集、真子集及其个数 例2　　(1)若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A，且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为(　　) A．3 B．6 C．7 D．8 [解析]　由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A，且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的个数为23－2＝6. [答案]　B (2)设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． [解]　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得 (x＋4)2(x＋1)(x－4)＝0， 解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4. 故集合A＝{－4，－1，4}， 由0个元素构成的集合A的子集：∅； 由1个元素构成的集合A的子集：{－4}，{－1}，{4}； 由2个元素构成的集合A的子集：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}； 由3个元素构成的集合A的子集：{－4，－1，4}． 所以集合A的子集有：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}． 集合A的真子集有：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}． 【感悟提升】 1．求集合的子集、真子集的步骤 2．求元素个数有限的集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【跟踪训练】 2．(1)已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的子集的个数为________． 答案：4 解析：方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a2>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M有2个元素，所以集合M有22＝4个子集． (2)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<6}，集合M满足AM⊆B，试写出所有满足条件的集合M. 解：由题意可得，A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，B＝{x∈N|0<x<6}＝{1，2，3，4，5}．因为AM⊆B，所以可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有5个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足条件的集合M有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}． 题型三　由集合间的关系求参数 例3　　(1)已知集合A＝{9，3m}，B＝{m2，9}，且A⊆B，则实数m＝(　　) A．0 B．3 C．±3 D．3或0 [解析]　因为A⊆B，且A，B的元素个数相等，所以A＝B，所以3m＝m2，解得m＝3或m＝0.当m＝3时，3m＝9，不满足集合中元素的互异性，舍去；当m＝0时，A＝B＝{0，9}，满足条件．综上，m＝0.故选A. [答案]　A (2)(新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C. D．－1 [解析]　因为A⊆B，若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B. [答案]　B (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围． [解]　①当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2； ②当B≠∅时，如图所示： ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 综上，实数m的取值范围是{m|m≤3}． [条件探究1]　若本例(3)条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：①当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2； ②当B≠∅时，如图所示， ∴解得2≤m<3. 综上，实数m的取值范围是{m|m<3}． [条件探究2]　若本例(3)条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅. ∴即∴m不存在． 即不存在实数m使A⊆B. 【感悟提升】由集合间的关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论． (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 注意：(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． 【跟踪训练】 3．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}． (1)若B⊆A，求实数a的取值范围； (2)若A⊆B，求实数a的取值范围． 解：(1)A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4，0}， 因为B⊆A，所以分B＝A和BA两种情况讨论： ①当B＝A时，B＝{－4，0}，即－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1. ②当BA时，若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1； 若B≠∅，则B＝{－4}或{0}，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，验证知B＝{0}满足条件． 综上，实数a的取值范围为{a|a＝1，或a≤－1}． (2)因为A⊆B，A＝{－4，0}，所以集合B中必含这两个元素． 又集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的根构成的集合，最多有2个元素，所以此时必有A＝B. 由(1)知，此时a＝1.故实数a的值为1. 1．在①1⊆{0，1，2}；②{1}∈{0，1，2}；③{0，1，2}⊆{0，1，2}；④∅{0}四个关系中，错误的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：1∈{0，1，2}，所以①错误；{1}⊆{0，1，2}，所以②错误；③④正确． 2．已知集合A＝{x∈N|x－4≤－1}，则集合A的真子集的个数为(　　) A．4 B．8 C．15 D．16 答案：C 解析：A＝{x∈N|x－4≤－1}＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，即集合A中含有4个元素，其真子集有24－1＝15个．故选C. 3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 答案：B 解析：由x2－x＝0，得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如B所示． 4．已知a，b∈R，且{a2＋1，2}＝{a＋1，b}，则a－b＝________． 答案：－2 解析：因为{a2＋1，2}＝{a＋1，b}，所以或若则或当时，{a2＋1，2}＝{a＋1，b}＝{1，2}，此时a－b＝－2；当时，a＋1＝b，不符合集合中元素的互异性．若则不符合集合中元素的互异性．综上所述，a－b＝－2. 5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若A是B的真子集，则实数a的取值范围为________； (2)若B是A的子集，则实数a的取值范围为________． 答案：(1){a|a>2}　(2){a|1≤a≤2} 解析：(1)若AB，由图可知a＞2. (2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 判断两个集合的包含关系 判断两个集合的真包含关系 求真 子集 个数 由集合间的关系求参数范围 空集 的概 念　 由集合的子集个数求参数值 由集合相等求参数值 由集合间的关系求子集个数 空集概念的理解；判断两个集合的包含关系 集合间关系的判断；求真子集个数 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 集合间关系的判断；由集合间的关系求参数范围 集合间关系的判断 由Venn图判断两个集合的真包含关系 求真 子集 判断 集合 相等 由集合间的关系求子集个数 由集合间的关系求参数范围 集合间关系的判断；由集合间的关系求参数值 新定义为背景解决集合的子集问题 一、单项选择题 1．若集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{x∈R|x＋5>0}，则集合A与B的关系是(　　) A．A∈B B．A⊆B C．B⊆A D．A＝B 答案：B 解析：∵A＝{y|y≥1}，B＝{x|x>－5}，∴A⊆B.故选B. 2．若集合M＝，则(　　) A．M＝N B．MN C．NM D．M∈N 答案：B 解析：对于x＝＋，k∈Z，当k＝2n，n∈Z时，x＝＋，n∈Z；当k＝2n－3，n∈Z时，x＝－，n∈Z，∴MN. 3．集合A＝{x∈N|1≤x<4}的真子集的个数是(　　) A．16 B．8 C．7 D．4 答案：C 解析：根据题意，集合A＝{1，2，3}，共有3个元素，则其真子集的个数为23－1＝7. 4．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x<a－1}，且A⊆B，则a的取值范围是(　　) A．{a|a>2} B．{a|a>3} C．{a|a≥2} D．{a|a≥3} 答案：B 解析：因为集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x<a－1}，A⊆B，所以a－1>2，解得a>3.故选B. 5．给出下列四个集合，其中不为空集的是(　　) A．{∅} B．{x∈R|x2＋x＋1＝0} C. D．{x∈R||x|<0} 答案：A 解析：对于A，表示集合中的元素为空集，故A不是空集；对于B，集合中的元素为方程x2＋x＋1＝0的实根，因为Δ＝12－4＝－3<0，所以方程x2＋x＋1＝0无实根，故B为空集；对于C，方程x＝－无实数解，故C为空集；对于D，不等式|x|<0的解集是空集，故D为空集．故选A. 6．已知集合A＝{x|mx2－2x＋m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为(　　) A．{－1，1} B．{－1，0，1} C．{0，1} D．∅ 答案：B 解析：集合A＝{x|mx2－2x＋m＝0}仅有两个子集，说明集合A中只有一个元素．①当m＝0时，方程为－2x＝0，解得x＝0，A＝{0}，满足集合A仅有两个子集；②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以Δ＝4－4m2＝0，解得m＝±1.所以实数m的取值构成的集合为{－1，0，1}． 7．已知a，b∈R，集合A＝，B＝{0，1－b，1}，若A＝B，则a＋2b＝(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 答案：D 解析：由A＝，B＝{0，1－b，1}，A＝B，得或若则此时集合A中＝0，与≠0矛盾；若则此时A＝B＝，符合题意．所以a＋2b＝1.故选D. 8．已知集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则满足条件的集合A的个数是(　　) A．8 B．2 C．4 D．1 答案：C 解析：因为A⊆B，A⊆C，所以集合A是{a，b}的子集，所以这样的集合A共有22＝4个． 二、多项选择题 9．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　) A．∅⊆A B．－2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3} 答案：ACD 解析：∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，∴∅⊆A，－2∉A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y<3}．故选ACD. 10．已知集合A＝{1，2，4，8}，B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}，则下列四个结论正确的是(　　) A．AB B．{1，4，16，64}⊆B C．集合B中元素的个数为8 D．集合B的真子集的个数为127 答案：ABD 解析：∵A＝{1，2，4，8}，∴B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}＝{1，2，4，8，16，32，64}，∴AB，A正确；{1，4，16，64}⊆B，B正确；集合B中元素的个数为7，C错误；集合B的真子集的个数为27－1＝127，D正确．故选ABD. 11．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，下列说法正确的是(　　) A．不存在实数a，使得A＝B B．当a＝4时，A⊆B C．当0≤a≤4时，B⊆A D．存在实数a，使得B⊆A 答案：AD 解析：对于A，若集合A＝B，则有因为此方程组无解，所以不存在实数a，使得A＝B，故A正确．对于B，当a＝4时，B＝{x|5<x<2}＝∅，不满足A⊆B，故B错误．对于C，D，若B⊆A，则①当B＝∅时，有2a－3≥a－2，解得a≥1；②当B≠∅时，有此不等式组无实数解．所以若B⊆A，则有a≥1，故C错误，D正确．故选AD. 三、填空题 12．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________． 答案：BA 解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，所以BA. 13．已知集合S，T，F之间的关系如图所示，则下列关系中错误的是____________(只填序号)． ①FT；②ST；③FS；④SF. 答案：①③④ 解析：根据子集、真子集的概念，由Venn图的关系，可以看出ST正确，其余错误． 14．若集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和为12，则a1＋a2＋a3＝________． 答案：4 解析：集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集为{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，由题意，得3(a1＋a2＋a3)＝12，解得a1＋a2＋a3＝4. 15．(多选)下列选项中的两个集合相等的是(　　) A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z} B．P＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋} C．P＝{x|x2－x＝0}，Q＝ D.P＝{x|y＝x＋1}，Q＝{（x，y）|y＝x＋1} 答案：AC 解析：对于A，P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n＋1），n∈Z}，集合P与Q均为偶数集，故P＝Q，故A符合题意；对于B，P＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}＝{1，3，5，7，9，…}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}＝{3，5，7，9，…}，故P≠Q，故B不符合题意；对于C，P＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，当n为偶数时，＝1，当n为奇数时，＝0，即Q＝＝{0，1}，所以P＝Q，故C符合题意；对于D，P＝{x|y＝x＋1}＝R，Q＝{(x，y)|y＝x＋1}为点集，故P≠Q，故D不符合题意．故选AC. 16．已知集合A＝，B＝{2，3}，集合C满足B⊆C⊆A，则所有满足条件的集合C的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 解析：A＝＝{2，3，4，7}，又B＝{2，3}，B⊆C⊆A，故集合C包含元素2和3，且为A的子集，故集合C可以为{2，3}，{2，3，4}，{2，3，7}，{2，3，4，7}，则所有满足条件的集合C的个数是4.故选B. 17．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若BA，则实数a的取值范围为________． 答案：{a|a<－4，或a>2} 解析：①当2a>a＋3，即a>3时，B＝∅，显然满足题意；②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得a<－4或2<a≤3.综上所述，实数a的取值范围是{a|a<－4，或a>2}． 18．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝，试判断集合A与B的关系； (2)若B⊆A，求实数a组成的集合C. 解：(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}， 当a＝时，B＝{5}，所以BA. (2)当a＝0时，由题意，得B＝∅， 又A＝{3，5}，故B⊆A； 当a≠0时，B＝， 又A＝{3，5}，B⊆A，所以＝3或5， 解得a＝或a＝. 所以C＝. 19．集合S＝{0，1，2，3，4，5}，集合A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，写出S所有无“孤立元素”的含4个元素的子集． 解：依题意可知，“孤立元素”x是指在集合中没有与x相邻的元素，“非孤立元素”x是指在集合中有与x相邻的元素，因此所求问题的集合可分成如下两类： ①4个元素连续的，有3个，分别为{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{2，3，4，5}． ②4个元素分两组，每组两个连续的，也有3个，分别为{0，1，3，4}，{1，2，4，5}，{0，1，4，5}． 2 学科网（北京）股份有限公司 $