1.1. 第2课时 集合的表示-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

该高中数学导学案聚焦集合的表示方法，引导学生从自然语言过渡到列举法和描述法，通过对比两种方法的适用场景、优缺点及转换，搭建从集合概念到符号语言刻画的学习支架，为后续数学抽象奠定基础。 资料以具体问题为载体，例题与跟踪训练结合，突出表示法选择与转换的核心难点，分层习题设计兼顾基础与拔高，助力学生提升数学抽象和逻辑推理素养，培养从数学角度分析问题的能力。

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　集合的表示 (教师独具内容) 课程标准：针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 教学重点：1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情况，并会用描述法表示相关集合． 教学难点：会在集合不同的表示法中作出选择和转换． 核心素养：通过学习集合的表示方法，提升数学抽象素养和逻辑推理素养． 知识点　集合的表示方法 对于常用数集之外的集合，我们除了用自然语言(用文字叙述的形式描述集合的方法)描述，还有以下方法： 方法 含义 优点 缺点 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法 方便，快捷，集合中的元素一目了然，适用于表示元素个数较少的集合 不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如2x－3>0的解集 描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法 语言简洁、抽象，元素的规律与性质能清楚地表示出来，适用于表示无限集或元素个数较多的集合 不易看出集合中的具体元素 [提醒]　(1)使用列举法表示集合时，对于元素之间的排列顺序不作要求． (2)描述法中竖线“|”及其左边的代表元素一般不能省略，如果竖线左侧元素的所属范围为实数集时，可以省略x∈R. 1．(列举法)方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　) A．{(－2，2)} B．{－2，2} C．(－2，2) D．{－2} 答案：B 2．(描述法)若B＝{x|x2＝x}，则2________B(填“∈”或“∉”)． 答案：∉ 3．(集合表示法的应用)集合A＝{x∈Z|－1<x≤3}中元素的个数为________． 答案：4 题型一　用列举法表示集合 例1　　用列举法表示下列集合： (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)15的正约数组成的集合D. [解]　(1)因为－2≤x≤2，x∈Z， 所以x＝－2，－1，0，1，2， 所以A＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为2和3是方程(x－2)2(x－3)＝0的解，所以B＝{2，3}． (3)解方程组得 所以C＝{(3，2)}． (4)因为15的正约数有1，3，5，15， 所以D＝{1，3，5，15}． 【感悟提升】列举法表示的集合的种类 (1)元素个数有限且较少时，全部列举，如{1，2，3，4}． (2)元素个数有限且有规律时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1000}． (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N”可以表示为{0，1，2，3，…}． 注意：(1)花括号“{　}”表示“所有”“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}，都是不正确的． (2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏． (3)用列举法表示集合时，要分清该集合是数集还是点集． 【跟踪训练】 1．用列举法表示下列给定的集合： (1)大于－1且小于5的整数组成的集合A； (2)方程x2－16＝0的实数根组成的集合B； (3)小于10的素数组成的集合C； (4)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点组成的集合D. 解：(1)大于－1且小于5的整数包括0，1，2，3，4，所以A＝{0，1，2，3，4}． (2)方程x2－16＝0的实数根为－4，4， 所以B＝{－4，4}． (3)小于10的素数有2，3，5，7， 所以C＝{2，3，5，7}． (4)由解得 所以一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点为(0，1)， 所以D＝{(0，1)}． 题型二　用描述法表示集合 例2　　用描述法表示下列集合： (1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； (2)不等式2x－3<5的解组成的集合； (3)图中阴影部分的点(含边界)组成的集合； (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合． [解]　(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}． (2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． (3)图中阴影部分的点(含边界)组成的集合可表示为. (4)因为3和4的最小公倍数是12，所以3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N＋}． 【感悟提升】使用描述法表示集合应注意的问题 (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同属性． (3)不能出现未被说明的字母． (4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确． 【跟踪训练】 2．用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但本题要求为正偶数，故限定n∈N＋， 所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}． (2)设被3除余2的数为x， 则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． 题型三　集合表示方法的简单应用 例3　　已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}． (1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值； (2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0， 解得x＝，符合题意． 当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程， 由题意，得Δ＝9－8a＝0，解得a＝. 所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素． (2)由题意，得当即a<，且a≠0时，方程有两个不相等的实根，则集合A中有两个元素， 又由(1)知，当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素， 所以实数a的取值范围是. 【感悟提升】根据已知的集合求参数 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键． (2)若集合中的元素是含参数的方程的根，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论． (3)求出参数的值或取值范围后，注意检验是否满足集合中元素的互异性． 【跟踪训练】 3．(1)若－3∈{a－3，2a－1，a2－1}，则a的值为________． 答案：－1 解析：当a－3＝－3，即a＝0时，2a－1＝－1＝a2－1，不符合题意；当2a－1＝－3，即a＝－1时，a－3＝－4，a2－1＝0，符合题意；又a2－1≥－1，即a2－1≠－3，所以a的值为－1. (2)设a∈N，b∈N，a＋b＝2，A＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－a)2＝5b}，(3，2)∈A，求a，b的值． 解：由a＋b＝2，得b＝2－a，代入(x－a)2＋(y－a)2＝5b，得(x－a)2＋(y－a)2＝5(2－a)①， 又因为(3，2)∈A，将点代入①，可得(3－a)2＋(2－a)2＝5(2－a)， 整理，得2a2－5a＋3＝0，解得a＝1或1.5， 因为a是自然数，所以a＝1，所以b＝2－a＝1. 综上，a＝1，b＝1. 1．已知a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 解析：因为a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，所以a的值为0.故选A. 2．由大于－3且小于11的偶数组成的集合是(　　) A．{x∈Z|－3<x<11} B．{x|－3<x<11} C．{x|－3<x<11，x＝2k} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z} 答案：D 解析：由题意可知，满足题设条件的只有D. 3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　) A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2} C．{(－2，1)} D．{(1，－2)} 答案：D 解析：由得所以两函数的图象的交点组成的集合是{(1，－2)}． 4．如图，坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为__________． 答案：{(x，y)|－2≤x≤0，0≤y≤1} 解析：易知阴影部分的点构成的集合为{(x，y)|－2≤x≤0，0≤y≤1}． 5．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集：________． 答案：不是　(答案不唯一) 解析：由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若集合B为可倒数集，a∈B，则∈B.若集合B中有三个元素，则必有一个元素a满足a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 描述法的应用；列举法的应用 集合表示的含义 用列举法表示集合 用描述法表示集合 元素与集合的关系；用列举法表示集合 描述 法的 应用 描述法；由集合中元素的个数求参数范围 描述法的应用；元素与集合的关系；用列举法表示集合 描述法的应用——同一个集合的判断 用描述法表示集合；用列举法表示集合；描述法的应用；元素与集合的关系 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 描述法的应用；元素与集合的关系 元素与集合的关系；用列举法表示集合 描述法；用列举法表示集合 列举法的应用 列举法；描述法；元素与集合的关系 描述法表示新定义的集合及应用 列举法；描述法的应用 集合的两种表示方法在新定义中的应用 描述法；元素与集合的关系 一、单项选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．集合{x∈R|x2＝1}中有两个元素 B．集合{0}中没有元素 C.∈{x|x<2} D．{1，2}与{2，1}是不同的集合 答案：A 解析：对于A，{x∈R|x2＝1}＝{－1，1}，集合{x∈R|x2＝1}中有两个元素，A正确；对于B，集合{0}中有一个元素0，B不正确；对于C，>2，因此∉{x|x<2}，C不正确；对于D，由于集合中的元素具有无序性，所以{1，2}与{2，1}是同一个集合，D不正确．故选A. 2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　) A．方程y＝2x－1 B．点(x，y) C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D．一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合 答案：D 解析：本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合．故选D. 3．将集合{x|x2－3x－4＝0}用列举法表示为(　　) A．{x＝－1，x＝4} B．{x|x＝－1，x＝4} C．{x2－3x－4＝0} D．{－1，4} 答案：D 解析：解方程x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，所以集合{x|x2－3x－4＝0}用列举法可表示为{－1，4}． 4．将集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是(　　) A．{x|x是小于18的正奇数} B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5} C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5} D．{x|x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5} 答案：D 解析：对于A，小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；对于B，除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；对于C，当t＝0时，x＝－3，不属于给定的集合；只有D是正确的．故选D. 5．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}用列举法表示为(　　) A．{－1，－3} B．{1，3} C. D. 答案：B 解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．故选B. 6．集合中元素的个数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：A 解析：因为集合，当x＝0时，y＝±，当x＝1时，y＝±，当x＝2时，y＝0，则集合为，，所以集合中元素的个数为5.故选A. 7．若集合A＝{x|mx2＋2x＋2＝0}中有两个元素，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|m≠0} B. C. D.. 答案：C 解析：依题意，方程mx2＋2x＋2＝0有两个不相等的实根，则m≠0且Δ＝22－4m×2>0，解得m<\f(1,2)且m≠0，所以实数m的取值范围为，且m≠0)故选C. 8．若集合A＝{2，4，8}，B＝，则B中所有元素的和为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：当y＝2时，x分别取2，4，8，分别为1，2，4；当y＝4时，x分别取2，4，8，分别为，1，2；当y＝8时，x分别取2，4，8，分别为，，1，故B＝，所以B中所有元素之和为.故选B. 二、多项选择题 9．下列与集合M＝表示同一个集合的是(　　) A．{(2，－1)} B.{2，－1} C．{(x，y)|x＝2，y＝－1} D.{x＝2，y＝－1} 答案：AC 解析：由解得所以M＝{(2，－1)}，所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合；集合{2，－1}的元素是2和－1两个数，{x＝2，y＝－1}的元素是x＝2和y＝－1这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看作点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同，故B，D不符合题意．故选AC. 10．下列说法错误的是(　　) A．在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为{(x，y)|xy>0} B．方程＋|y＋2|＝0的解集为{－2，2} C．{x|x<－8，且x>－5}中的元素个数为0 D．若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则－1.1∈A 答案：BD 解析：对于A，第一象限内的点(x，y)满足x>0，y>0，第三象限内的点(x，y)满足x<0，y<0，故A正确；对于B，方程的解为故其解集为{(2，－2)}，故B错误；C显然正确；对于D，A＝{－1，0，1}，－1.1∉A，故D错误．故选BD. 11．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　) A．x1x2∈A B．x2x3∈B C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A 答案：ABC 解析：由x1，x2∈A，x3∈B，可知x1，x2是奇数，x3是偶数，因为两个奇数的乘积为奇数，所以x1x2∈A，故A正确；因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以x2x3∈B，故B正确；因为两个奇数的和为偶数，所以x1＋x2∈B，故C正确；因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1＋x2＋x3∈B，故D错误．故选ABC. 三、填空题 12．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________． 答案：{0，1} 解析：∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1，∴B＝{0，1}． 13．用列举法表示集合＝________． 答案：{1，2，5，10} 解析：因为∈Z且m∈N，所以m＋1＝1或m＋1＝2或m＋1＝5或m＋1＝10，解得m＝0或m＝1或m＝4或m＝9，所以对应的分别为10，5，2，1，即＝{1，2，5，10}. 14．已知集合{a，b，c，d}与集合{1，2，3，4}相等，有下列三个条件：①a＝1，②c>2，③d≠4，则满足条件的数组(a，b，c，d)有________个． 答案：3 解析：由a＝1，c>2，d≠4，得c的取值可以是3或4.①当c＝3时，则b＝4，d＝2，即数组为(1，4，3，2)；②当c＝4时，则b＝2，d＝3或b＝3，d＝2，即数组为(1，2，4，3)和(1，3，4，2)．综上，符合题中条件的数组(a，b，c，d)有3个． 15．(多选)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，C＝{(x，y)||x－y|＝1，(x，y)∈B}，则下列是集合C中元素的是(　　) A．(1，2) B．(3，4) C．(5，4) D．(3，2) 答案：CD 解析：因为B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，故满足条件的元素(x，y)有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)，因为C＝{(x，y)||x－y|＝1，(x，y)∈B}，所以集合C中的元素有(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)．故选CD. 16．(多选)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，下列四个结论中正确的是(　　) A．2026∈[1] B．－3∈[3] C．若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0] D．若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类” 答案：ACD 解析：对于A，因为2026＝405×5＋1，所以2026∈[1]，故A正确；对于B，因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故B错误；对于C，若a与b属于同一“类”，则a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，a－b＝5(n1－n2)∈[0](其中n1，n2∈Z)，故C正确；对于D，若a－b∈[0]，设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0，1，2，3，4，则a＝5m＋5n＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，所以a与b属于同一“类”，故D正确．故选ACD. 17．已知x，y，z∈{－1，0，1}，则集合A＝{(x，y，z)||x|＋|y|＋|z|＝2}中的元素个数为________． 答案：12 解析：若x＝0，则y，z∈{－1，1}，即有序数对(y，z)有4种取法．同理，若y＝0，则x，z∈{－1，1}，即有序数对(x，z)有4种取法；若z＝0，则x，y∈{－1，1}，即有序数对(x，y)有4种取法．综上所述，集合A中的元素个数为4＋4＋4＝12. 18．对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有：A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}． 据此，完成下列各题： (1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D； (2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A，B; (3)若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确定A×B中有多少个元素． 解：(1)C×D＝{(a，1)，(a，2)，(a，3)}． (2)因为A×B＝{(1，2)，(2，2)}， 所以A＝{1，2}，B＝{2}． (3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中应有mn个元素，于是，若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则A×B中有12个元素． 19．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}． (1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？ (2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m成立？证明你的结论． 解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)， 令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)， 则m＝a＋b. 故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立． (2)不一定．证明如下： 设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z， 则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z. 当k＋l＝2p，p∈Z时，a＋b＝6p＋3∈M， 此时存在m∈M，使a＋b＝m成立； 当k＋l＝2p＋1，p∈Z时，a＋b＝6p＋6∉M， 此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立． 故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m成立． 13 学科网（北京）股份有限公司 $