2.1 图形的轴对称 教案 2025--2026学年浙教版八年级数学上册

该教案聚焦图形的轴对称核心知识，通过故宫、京剧脸谱等生活实例导入，唤醒小学认知，衔接后续等腰三角形学习，构建“概念-性质-应用”的完整学习支架。 以“观察-抽象-辨析-应用”为主线，结合最短路径问题、镜面对称等实例，培养数学眼光与推理思维，实践作业让学生拍摄生活轴对称图片，强化数学与生活联系，助力学生发展空间观念，也为教师提供丰富教学素材与清晰流程。

第2章 特殊三角形 2.1图形的轴对称   一、教材分析 图形的轴对称是初中数学“图形与几何”领域的重要内容.它是在小学初步认识轴对称图形的基础上，进一步深入探究轴对称的概念、性质及应用.本节课知识不仅是对图形对称特征的精准刻画，更是后续学习等腰三角形、圆的对称性等内容的基石，在培养学生空间观念、几何直观和逻辑推理能力方面发挥着关键作用，同时也为解决实际生活中的对称问题，如建筑设计、图案设计等提供数学模型. 教材先通过故宫等生活中轴对称的实例引入，唤起学生已有认知；接着明晰轴对称图形、对称轴、对称点等核心概念，借助长方形、正方形、圆等熟悉图形巩固概念；然后通过“合作学习”环节，让学生辨别具体图形是否为轴对称图形并找对称轴，深化对概念的理解；再结合几何图形探究轴对称图形的性质，包括“成轴对称的两个图形是全等图形”“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”；最后通过例题和“做一做”，让学生运用性质进行作图和解决实际问题，实现知识的应用与拓展，构建起“概念 - 性质 - 应用” 的完整知识体系.   二、教学目标 1.能准确阐述轴对称图形、对称轴、对称点、两个图形成轴对称的概念，清晰区分轴对称图形与两个图形成轴对； 2熟练掌握轴对称图形的性质，会作一个简单图形关于某条直线的轴对称图形，能在实际问题中运用轴对称性质找最短路径等； 3.经历“猜想 - 验证 - 归纳” 的探究过程，感悟数学研究的一般方法，培养自主探究与合作交流能力； 4.感受轴对称在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣，增强审美意识.   三、教学重难点 重点：能准确阐述轴对称图形、对称轴、对称点、两个图形成轴对称的概念，清晰区分轴对称图形与两个图形成轴对． 难点：熟练掌握轴对称图形的性质，会作一个简单图形关于某条直线的轴对称图形，能在实际问题中运用轴对称性质找最短路径等．   四、教学过程 · 本章引入 问题：三角形中有哪两类特殊的三角形？ 答：直角三角形和等腰三角形 等腰三角形和直角三角形这两种特殊的三角形有许多有趣的性质，这些性质使得它们在建筑设计、工业生产等领域都有广泛的应用． 本章将学习图形的轴对称，等腰三角形、直角三角形的性质和判定，勾股定理，逆命题和逆定理，以及它们的一些简单应用. 设计意图：通过询问，引出三角形中两类特殊的三角形：直角三角形和等腰三角形，引发学生对这两类三角形特殊性质的思考，同时引出本章主题，使学生明确本章的学习目标和方向． · 情境导入 我们生活在一个充满对称的世界中：自然界的许多动植物按对称形生长， 许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，我国的方块字中有些也具有对称性，……对称给我们带来很多美的感受！ 师生活动：教师出示生活中轴对称图形的图片，展示我们中生活中方方面面都有对称的现象，这些精美建筑、艺术作品、汉字都给我们带来美的感受，唤起小学阶段对轴对称图形的初步认识，为新课学习做铺垫． 设计意图：从生活图片入手，激发学生学习兴趣，通过观察图片唤醒轴对称的知识，为后续探究轴对称图形有关概念做铺垫. · 探究新知 活动一：探究轴对称图形的定义 北京故宫建成于1420年，整个宫殿建筑布局沿中轴线向东西两侧展开，呈现轴对称的结构. 由于轴对称给人以美感，因此被广泛应用于建筑设计上. 问题：京剧脸谱，从数学的角度看，看到了什么？ 师生活动：呈现故宫、京剧脸谱等生活中具有轴对称特征的图片，提问学生：““这些图形有什么共同特点?你在生活中还见过哪些类似的图形?"引导学生直观感知轴对称现象.最后给出轴对称图形、对称轴、对称点的严格数学定义. 答：沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够相互重合. 设计意图:通过生活实例导入，贴近学生生活，激发学习兴趣，建立数学与生活的联系，自然引出轴对称图形的概念. 轴对称图形的定义： 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形． 这条直线叫作对称轴.折叠后重合的点叫作对称点. 如图：点A′是点A的对称点； 点B′是点B的对称点； 点C′是点C的对称点． 问题：下列我们学习的几何图形有哪些是轴对称图形？都有几条对称轴？ 师生活动：呈现长方形、正方形、圆等图形，让学生找对称轴和对称点，巩固概念. 答： 设计意图:通过回顾、定义、辨析的环节，逐步深化对轴对称相关概念的理解，从直观感知过渡到精准数学表达，突破概念理解的难点，同时为探究性质做好铺垫. 做一做 1.下列图形是轴对称图形吗？你是怎么判别的？ 答：①②④是轴对称图形. 判别方法：沿某条直线折叠，直线两旁部分能完全重合. 追问：对于以上各轴对称图形，你能找出对称轴吗？有哪些方法？ 如图为各图形的对称轴，用对折的方法. 2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC. （1）四边形ABDC是轴对称图形吗？如果你认为是，说出它的对称轴，哪一个点与点B对称？ （2）连结BC，交AD于E. 把四边形ABDC沿AD对折，BE与CE重合吗？∠AEB与∠AEC呢？由此你得到什么结论？ （1）是，对称轴是线段AD所在直线，C与点B对称 （2）BE和CE重合， ∠AEB与∠AEC重合. 轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 设计意图:通过练习巩固对轴对称相关概念的理解，通过折叠得出轴对称图形的性质，培养学生的合作交流能力和逻辑推理能力，让学生经历从猜想-证明-得出结论的完整过程，体会数学的严谨性. 活动二：探究轴对称的定义 问题：如图，已知△ABC和直线m.以直线m为对称轴，求作以点A，B，C的对称点A′，B′，C′ 为顶点的△A′B′C′ . 师生活动：呈现△ABC与△A′B′C′关于直线 m 成轴对称，分析作对称三角形思路，板演“作垂线、截等长、连点”步骤，总结方法引导学生分析问题，得出图形的轴对称定义，教师巡视指导，小组展示，教师点评. 分析：如图，根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”的性质，直线m垂直平分线段AA'，所以只要过点A作直线m的垂线段AP，延长AP至A'，使A'P=AP，则A'便是点A的对称点.类似地,可以作出点B，C的对称点B′，C′. 解：如图： 1.作AP⟂m，延长AP至A'，使A'P=AP. 2.按上述方法作出点B的对称点B'，点C的对称点C'. 3.依次连结A'B'，B'C'，C'A'. △A'B'C'就是所求作的三角形. 如果把右图沿直线m 折叠，两个三角形会重合吗？如果重合，这说明什么？ 能重合，说明: (1)轴对称变换不改变原图形的形状和大小. (2)经轴对称变换所得的图形和原图形全等. 轴对称的定义：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线也叫作对称轴. 图形的轴对称有下面的性质： 成轴对称的两个图形是全等图形. 问题：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系： 师生活动：引导学生对比分析从图形个数、对称关系等方面，总结“轴对称图形”是一个图形的自身属性，“两个图形成轴对称”是两个图形间的对称关系，明确二者区别与联系(联系:都沿某直线折叠后重合，本质都是轴对称;区别:对象不同，个是单一图形，一个是两个图形) 答： 设计意图：通过对比让学生发现轴对称图形与两个图形形成轴对称的区别和联系，更能让学生理清思路;在教师的引导下进行总结，提高学生的数学思维能力和归纳总结的能力. 做一做： 1.如图，已知线段AB和直线l. 以直线 l 为对称轴，作与线段AB成轴对称的图形. 2.如图，已知直角三角形ABC. (1)以直角边AC所在的直线为对称轴， 作出与直角三角形ABC成轴对称的图形. (2)第(1)题作出的图形和原图形能组成一个等腰三角形吗？请说明理由. 解：(1)如图，△AB′C即为所求． (2)答：能组成等腰三角形，理由如下． 由△AB′C与△ABC成轴对称，知△AB′C≌△ABC， 所以AB′=AB，故△ABB′为等腰三角形． 设计意图：通过练习，能够让学生更加深入地理解轴对称图形的定义和性质，进一步提高学生的解题能力.同时，也为学生提供了一个展示自我的平台，增强学生的自信心和表达能力. · 应用新知 　　例1．如图，直线 l 表示草原上的一条河流，一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中. 他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线. 分析：如图，设P是直线上任意一点，连结AP，BP. 以直线 l 为对称轴，作与线段AP成轴对称的线段A'P，则AP+BP=A'P+BP. 显然，当点A'，P，B同在一直线上时，A'P+BP最短，即路程最短. 解：如图，作点A关于直线 l 的对称点A′，连结A′B，交直线 l 于点C，连结AC. 骑马少年沿折线A—C—B的路线行走时路程最短. 下面给出证明： 设P是直线 l 上任意一点，连结AP，A′P 由作图知，直线 l 垂直平分AA′ 则AC=A′C，AP=A′P (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) 则AP+BP=A′P+BP≥A′B， A′B=A′C+BC=AC+BC 即AP+BP≥AC+BC 所以骑马少年沿折线A—C—B的路线行走时路程最短. 例2．如图，P为△MON内一点，线段AB的长为15cm，P与A关于ON对称，P与B关于OM对称，点D与点C都在线段AB上，求△PDC的周长. 分析：由轴对称的性质可知：AD=PD，PC=BC，再根据三角形的周长公式求出△PDC的周长即可. 解：因为点P与点A是关于ON的对称点，所以 AD=PD， 因为点P与点B是关于OM的对称点，所以PC=BC， 所以=PD+DC+CP 　　　　=AD+DC+CB 　　　　=AB=15（cm） 师生活动：教师讲解例1和例2的解题思路和方法，分析骑马少年最短路径问题，转化为“两点之间线段最短”，用性质推理，让学生自己思考解答，然后教师进行讲解和总结，强调解题的关键和注意事项． 设计意图：让学生将所学知识应用到实际问题中，巩固所学知识，提高学生分析问题和解决问题的能力，让学生掌握运用图形的轴对称性质解决问题的方法． · 课堂练习 1.线段、角是轴对称图形吗?如果你认为是轴对称图形，分别说出它们的对称轴. 答：线段是轴对称图形.对称轴是线段的垂直平分线. 角是轴对称图形.对称轴是这个角的平分线所在的直线 2.如图，已知图形X和直线 l，以直线 l 为对称轴，图形X的轴对称图形是( ) 分析：根据轴对称图形定义，沿直线 l 折叠，图形X与选项C中的X′能重合，所以选C. 答：C 3. 小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（　　） A．12:01 B．10: 21 C．15:10 D．10:51 分析：镜中的像与实际物体关于镜面对称，也就是左右相反. 观察镜中显示的“12:01”，左右反转后，实际时间就是10:51. 所以选D. 答：D 4.如图，是由三个小正方形组成的图形，请你补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.并画出对称轴. 答： 5.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B为 ． 分析：由轴对称的性质可得∠A′=∠A=50°， ∠C=∠C′=30°， 所以∠B=∠B′=180°-50°-30°=100°. 答：100° 6.如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( ) A. 4cm² B. 8cm² C. 12cm² D. 16cm² 分析：根据轴对称的性质可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半， ∵正方形ABCD的边长为4cm, ∴=4²÷2=8(cm²). 7.如图，一牧马人从点A出发，到草地MN放牧，在傍晚回到帐篷B之前，先到河边 PQ去饮马，牧马人沿哪条路线行走才能使整个放牧的路程最短?请作出满足题意的图形(不写作法，保留作图痕迹). 分析：作出A关于MN对称点A'、B关于PQ对称点B'，连接A'B'交MN于C、交PQ于D，路线 A→C→D→B 即为所求. 解：如图所示，A→C→D→B 即为所求的路线. 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． 设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握轴对称图形和图形的轴对称概念、性质和应用，提高学生的解题能力和应用能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．轴对称图形和图形的轴对称的定义各是什么？ 3．轴对称图形和图形的轴对称各有哪些性质？ 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备． · 实践作业：生活中的轴对称 任务：用手机拍摄3 - 5张生活中具有轴对称特征的图片(如建筑、植物、生活用品、艺术作品等)． 要求：在每张图片旁标注对称轴数量及位置，并说明判断轴对称的依据． 学科网（北京）股份有限公司 $