第8章 3 数学建模活动的主要过程-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) (教师独具内容) 课程标准：1.了解课题研究的四个步骤及每个步骤所包含的内容.2.经历建模的实际过程，解决一个实际问题，形成结题报告． 教学重点：经历数学建模活动的全过程．课题研究的过程包括选题、开题、做题、结题四个环节．学生需撰写开题报告，教师组织开展开题交流活动，开题报告包括选题意义、文献综述、解决问题思路、研究计划、预期结果等．结题包括撰写研究报告和报告研究结果等，由教师组织学生开展结题答辩．报告可以采用专题报告、测量报告、算法程序、制作实物、研究报告或小论文等多种形式． 教学难点：在教学过程中，鼓励学生阅读数学建模的论文和相关资料，并使用信息技术． 知识点一　课题研究的过程 课题研究的过程包括：选题、开题、做题、结题四个环节． 知识点二　选题 1．“选题”就是选定研究的问题． 2．课题的来源 选题来源之一：阅读已有的研究论文，用同样的方法研究类似的问题． 选题来源之二：研究已有的论文，换个视角、增加问题的复杂性，进一步研究相关的问题． 选题来源之三：用数学的眼光观察世界，发现研究新的问题． 知识点三　开题 “开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案． 开题主要做的工作是： (1)明确研究的问题，说明问题研究的价值，估计可能的结果； (2)选择研究方法，确定人员分工，形成研究的实施方案； (3)完成开题报告． 知识点四　做题 “做题”是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动．在“做题”的实践活动中，应当按照数学建模的步骤实施，特别需要关注以下两个问题： (1)建立恰当的数学模型； (2)获取客观真实的数据． 知识点五　结题 “结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程．一般来讲，结题会是结题的基本形式．一项研究完成之后，要写出报告．报告可以写成论文形式，也可以是研究报告表． 题型一　课题研究的过程——选题 　怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要做些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等． (1)估计一个人体内血液的总量； (2)为保险公司制定人寿保险金计划(不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额)； (3)确定火箭发射至最高点所需的时间； (4)决定十字路口黄灯亮的时间长度； (5)为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划； (6)一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制定合理的运行计划． [解]　(1)注射一定量的葡萄糖，采集一定容积的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量．注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收． (2)调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率． (3)根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点(即速度为零)的时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度(或速度的平方)成正比，并由试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果． (4)司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1，设通过十字路口的距离为S2，汽车行驶速度为v，则黄灯的时间长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口，即t≈(S1＋S2)/v.而S1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响． (5)根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修还是更新． (6)统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层(有的从大厅直接运行到高层)． 【感悟提升】　我们已知道课题的三个来源，选题的一般步骤是先发现和提出问题，再查找资料，分析问题，最后结合实际，确定研究课题． 选题原则通常要满足科学性、价值性、创造性、需要性、可行性、效益性等原则． 选题宜小不宜大，选题应结合实际，有新意，要考虑自身的优势，与自身的能力相适应． 题型二　课题研究的过程——开题 　针对“北京市区道路交通流量随时间变化规律”这一选题进行分析、思考，完成其开题报告． [解]　 要解决的问题 随着北京城市的不断发展，交通成了备受关注的话题，那么北京市区主要道路交通流量随时间变化有什么样的规律？ 选题的原因及意义 为市民日常出行乃至相关部门的政策制定提供参考 建模问题的可行性分析 时间和车流量满足一定的函数关系 基本模型、解决问题 的大体思路和步骤 观测某主干道每3分钟内通过的车流量，进行分析比较，时刻为自变量x(单位：小时)，车流量为因变量y(单位：辆/3分钟) 预期结果和结果呈现方式 一个能够反映时间与车流量的函数模型，一份有求解过程的文字报告 成员和分工 全组共同制定研究计划，商讨确定数学模型 同学甲(组长，侧重组织讨论，把握工作方向) 同学乙、丙(侧重信息采集、数据计算整理) 同学丁(侧重讨论记录、报告撰写、结果复核) 参考文献 《北京交通状况的分析与预测》 百度地图http：//map.baidu.com 其他说明 【感悟提升】　课题研究的第二步是开题，要完成开题报告，举行开题报告会，通常开题报告由以下几部分组成： ①课题名称；②课题研究的目的、意义；③课题研究的目标；④课题研究的基本内容；⑤课题研究的方法；⑥课题研究的步骤和计划；⑦课题预期的成果与表现形式；⑧课题研究的组织机构和人员分工． 题型三　课题研究的主要过程——做题 　在“做题”的实践活动中，应当按照数学建模的步骤实施，其中建立恰当的数学模型是特别要关注的．下面是“包扎管道”问题中的两个数学模型，比较它们的优劣． 用W表示带子的宽度，C表示圆管的周长，θ表示带子的倾斜方向与管道母线垂线的方向之间的夹角．设想将带子已经缠绕在管道上使它包住管道且带子间互不重叠，并且从带子的一角的A点沿圆管母线的方向画一条辅助线l，再在辅助线与带子边缘的交点处画出圆管的横截面的切口线c.将画有辅助线的带子截下一段展开，平放在平面上(如图所示)． 模型一：注意只有在带子覆盖圆管且又互不重叠的情况下母线和截口线将相交于带子的边缘．这时A，B和D，E分别表示管道上的同一个点．直线AB和DE是圆管的截口，而BD和EF是圆管的母线，且有AO⊥OB.因此容易得出带子的宽度W、圆管截面周长C和带子的倾斜角度θ这三个变量之间的关系式为W＝Csinθ. 模型二：考虑组建线段OB的模型，因为由前面的分析我们知道，当用带子包住圆管且又互不重叠时的充分必要条件是直线AB与端口的截面周长C重合，A点和B点在管道上要重合为一点．而线段AB的长度就可以用来确定点B的准确的位置．这样一来，使用|OB|＝作为管道包扎的数学模型． [解]　这就是我们所需要的管道包扎的两个数学模型．对于熟悉数学的人来说前者组建这个模型是一个正常的思维过程，所得到的模型也是完美的，无懈可击的．但是认真思考一下，我们很容易发现这个模型并不实用．因为它牵涉到了角度的计算和测量，这在实际操作当中是不太容易实现的． 要使得模型在实际操作过程中更加实用就需要尽量避免涉及角度的计算和测量．为此我们从另外一个角度出发，考虑组建的线段OB的模型较之前者就有更强的可操作性． 【感悟提升】　建立同一问题的数学模型时，由于决策变量设置方法的多样性，数学模型的形式也就不唯一，即使决策变量是一致的，但要实现的目标可以通过不同形式达到而使数学模型不同．建模过程是一项创造性的工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有多种不同的方案．建模是一个演进过程，从一个初始模型往往需要不断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型． 题型四　课题研究的主要过程——结题 　我们目前使用的键盘都是QWERTY键盘布局，以键盘第一排字母的左边6个字母而得名．QWERTY键盘在1868年由Christopher Sholes提出，旨在解决打字速度过快导致的某些键组合卡键的问题．因此，打字速度最大化并不是QWERTY键盘的主要目的．QWERTY键盘满足了当时的需求，得到了大范围的推广． 随着技术的发展，键盘早已不存在之前提到的卡键问题．于是，1936年美国人August Dvorak设计出了另外一种键盘，将常用字母都归在一起，以期提高打字速度，这种键盘被称作Dvorak键盘． 针对以上情况，提出问题．完成一个数学建模活动，并以小论文形式写出结题报告． [解]　①问题的提出：电脑键盘优化． 现如今，电脑的使用不论是从地域范围还是使用人数的多少来说，都位居前列．然而现有的键盘字母排列是根据英文单词的输入来排列的，所以我们要研究出一种便于汉字输入的键盘字母排列方案，使汉字的输入更加快捷． ②数据采集及数据分析 我们将3500个常用汉字的拼音中字母的使用次数统计出来，比较得出每个字母使用频率的高低．得出新的方案后，通过比较，用本组方案和常用键盘输入同一段文字时手的位移来证明本组方案的合理性，最后得出结论． ③数学模型 a．字母的使用次数 每个汉字输入时用到的拼音中的每个字母记为输入一次．设某字母在所有a开头的汉字中需要输入x1次，在b开头的汉字中需要输入x2次，在c开头的汉字中需要输入x3次，依此类推，则其使用次数(y)为y＝x1＋x2＋x3＋…＋x26. b．手的位移 设Q为手的位移，字母的使用次数为x，手指的位移为T.则有函数关系如下： T＝ Q＝2x＋x. 设法找到使得平均移动次数较小的字母排列(过程略)． ④结论：一个新键盘排列图： K P Q D Y E H Z T F [ ] R W B I A U N G O ； ‘ Enter V M X C J S L ， . / Shift ⑤误差分析 在证明时，我们默认两键盘的字母排列都如表格一样整齐，所以比较起来没有误差．但是每个人在输入时手指的摆放不一定像我们规定的那样，所以会有一定的误差． ⑥问题拓展 现有的输入法有很多，其中五笔输入法中字母的使用频率与我们研究的输入法有较大差异．在今后的研究过程中，我们还可以根据五笔输入法进行新的字母优化排列，然后可以将两种方案综合考虑． ⑦合作经历 电脑键盘优化排列是我们组经过多次讨论最终决定的研究课题．在一次又一次的讨论过程中，我们渐渐有了默契；在完善我们的论文的过程中，我们学会了严谨；当然，还有珍贵的友谊…… ⑧参考文献：http：//zhidao. baidu. com/question/9391911.html. 【感悟提升】　一项研究完成之后，要写出报告，举行答辩会．结题报告主要包括以下几部分：题目，问题的由来，课题的目的、意义，人员分工，方法，步骤，研究过程，研究结果，结论，体会，参考文献等． 1．观察北京某交通繁忙的十字路口，观察造成交通阻塞的原因，就怎样改善路口的交通状况提出自己的问题和解决问题的方案． 解：提出的问题和求解方案有： (1)十字路口合理的红、黄、绿信号灯的时间比是什么？通过测量不同时段东西、南北方向的车流量，路口宽度等数据，试图通过建立合理的红、黄、绿信号灯的时间比使欲通过路口的车平均等待时间较短． (2)不同车道合理的速度限制是什么？通过测量和改进不同车道的速度限制，减少车辆由于频繁变道造成的车流减速现象，提高道路的车流量的路口通过率． (3)各车道的合理路宽是多少？通过最大限度地利用路面的宽度，多设置车道来提高路口的车辆通过率． (4)前移路口停车线，减少相对路宽，缩短车辆通过路口的时间，从而提高路口的车辆通过率． 2．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50 g装的每支1.50元，120 g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2∶1.试用比例方法构造模型解释这个现象． (1)分析商品价格C与商品重量w的关系．价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素； (2)给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的速度变小．解释实际意义是什么． 解：(1)生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分．又因为形状一定时一般有s＝kw，故商品的价格可表示为C＝αw＋βw＋γ(α，β，γ为大于0的常数)． (2)单位重量价格c＝＝α＋βw－＋γw－1，其简图如图所示，显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐变小的，不要追求太大包装的商品． 课后课时精练 阅读一篇关于中学生数学建模的论文，记录论文的结构与内容等，并写出论文给你的启示与感受． 范例： 组长姓名 李禹琦 1.成员分工 本次作业完成过程中的分工情况： 于金莉：认真阅读过论文，完成此报告中的第5部分“论文的启示与感受” 吴馨如：认真阅读论文后，经过全组讨论商榷，完成此报告的第6部分“论文内容　问题延拓” 李禹琦：组内分工，并在阅读论文和与组员商讨后完成2，3，4部分 2.主题 《如何使风筝飞得更高》读后感 3.文章结构(含关键词) 关键词：风筝、流体力学、扬力、上下表面风速、能量守恒、驱动力 (1)问题介绍 (2)背景资料——风筝为什么能飞起来 ①风筝的升空；②流体力学公式；③风速，风具有的“风力”. (3)猜想影响因素 (4)模型建立 ①问题分析； ②模型假设； ③模型建立． 第一步：推导总压力、扬力与风速、角度的关系； 第二步：推导上下表面的风速； 第三步：代入上下表面的风速，计算扬力； 第四步：讨论风筝高度与风筝倾斜角度的关系； 第五步：讨论风筝高度与风筝质量的关系． ④模型检验． (5)问题的结论 (6)反思与问题的引申(结论的再应用) 4.论文被选理由 (4－1)论文题目 如何使风筝飞得更高 (4－2)论文结构 1.本篇论文开头处有十分清晰的文章结构，使阅读者在初看之下就对此论文有比较清晰的认识，为之后的学习与研究提供了明确方向． 2．在建立模型的过程中先分析再假设，最后才确定模型，体现了其严谨的科学研究态度，也清晰地展示了他们个人的探究思路. (4－3)被选理由 从问题提出过程(数学工具选择、可行性分析)看，论文的数学工具选择上大量采用图示的方法向阅读者展示了风筝的受力情况，与物理学科相结合，达到融会贯通．且大部分图示均为作者自己使用绘图工具画的，体现了作者的独立自主．论文还巧妙地运用许多物理公式，用正反比的思想解答问题. 风筝是生活中常见的娱乐用品，且作者充分考虑了各种放风筝时的影响因素(风筝的表面积、风力和放飞角度)，所以可行性大大加强．问题解决过程(含数据收集、数据整理、工具运用等)中，作者在论文中大量使用设未知数的方法，使公式看上去更加简明，也在探究正反比方面上奠定了基础．作者熟练运用几何画板工具绘图，将函数图象清晰而准确地呈现在读者面前，避免了手绘的误差．在数据整理中，作者巧妙地忽略了风筝线的重力，以达到计算简便的目的．而且风筝线重力确实对实验结果影响不大，这很大程度启示我们可以通过忽略一些细枝末节来使操作和计算更加简便．这着实是明智之举． 结论得出等方面的论述：结论叙述简明，并且作了很大程度的延伸. 5.论文的启示与感受 这篇论文给我的启示与感受：春天春风袅袅，碧空如洗，寒气渐消．这时，如果抬头观望，常常会看到两三只色彩鲜艳的风筝，在湛蓝的天空中飘荡．放风筝对于我们来说是司空见惯的事，然而作者却从这里切入，思考怎样才能使它飞得更高．他从角度和风筝的质量等方面做了极其细致的探究，最后得出了比较全面的答案．而我们对于生活中藏着的数学问题有多少是视而不见呢？又有多少仔细地思考了？其实运用数学知识我们可以发现很多规律，找到更好的方法去做一些事，我们要善于发现问题，做个有心的人. 学习了这篇论文，我觉得作者研究问题的方法也很值得我们学习，先是问题介绍和背景资料，然后猜想影响因素、模型建立、问题的结论和反思与问题的引申．运用了大量的实验数据和查阅的资料，并且用了画图研究，用公式推导等方法，深入而又有理有据．尤其是反思与问题的引申，对于生活中其他问题也用得到的结论解释，使人读完可以学到很多东西．要做好一篇论文，就应该有作者这样的钻研精神，不怕麻烦．以上就是我得到的启示和感受. 6.论文内容问题延拓 欣赏完有关《如何使风筝飞得更高》的论文，概述此文内容如下： (1)首先由风筝是我国的文化瑰宝写起，然后引出问题：如何使风筝飞得更高？ (2)通过查资料，作者了解到： ①风筝之所以能飞起来的原理：风的推力即扬力． ②流体力学公式静压能与动能的转化公式． ③风力(由风速引起)． (3)由此猜想到风筝飞行的高度或许与风筝和地的倾角及风筝质量有关． (4)作者通过对问题的分析，设出相应的物理量，开始探究： 第一步：作出受力分析； 第二步：根据贝努利方程推导总压力、扬力与风速、角度的关系； 第三步：推导上下表面的风速； 第四步：代入上下表面的风速，计算扬力； 第五步：讨论风筝高度与风筝倾斜角度的关系； 第六步：讨论风筝高度与风筝质量的关系，并画出图象，对图象分析后得出结论． (5)作者通过自己放风筝的实验，并记录数据，严谨分析，结果与结论基本吻合，但也有少量局限性，如：风速的稳定及风筝必为菱形等． (6)之后，作者明确阐述结论为：①风筝与水平线夹角为45度(上下10度波动，视风筝具体类型而定)，同类风筝的型号越大(质量越大)，所能达到的最大高度越大．质量太小的风筝根本飞不起来． ②流体中倾斜物体的受力情况． (7)之后，作者进行反思，发现以上公式在多方面有应用，并且初步解决了一些生活中的问题，如：飞机起飞问题、鲨鱼袭击问题、游泳问题、滑行伞问题和赛车车盘问题． (8)完结内容，列出参考文献等．欣赏后，关于问题的拓展：这个问题还可不可以更加深入地研究，以解决现在社会中人们最关心的问题？比如：航天航空方面等. 参考文献：《理解数学　中学数学建模课程的实践案例与探索》(张思明著)福建教育出版社 1 学科网（北京）股份有限公司 $