5.2.2用函数模型解决实际问题 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

课题 5.2.2 用函数模型解决实际问题 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第五章第二部分第二节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养． 2.通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养． 教学重、难点： 重点：会利用已知函数模型解决实际问题． 难点：能建立函数模型解决实际问题． 教材分析 本节课是高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章《函数应用》中的一部分，主要内容是“用函数模型解决实际问题”。学生通过本节课的学习，将运用已掌握的一次函数、二次函数和指数函数等基本函数模型，来解决现实生活中的实际问题。这些内容与学生已有的函数基本性质和图像知识紧密相关，旨在加深学生对函数模型在现实世界中应用的理解，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。 核心素养 1.数学抽象思维：引导学生将实际问题转化为函数模型，强化数学建模素养。 2.逻辑推理和数学运算：通过分析实际问题，培养学生的逻辑推理能力和精确的数学运算能力。 3.数学应用意识：让学生体会数学在生活中的广泛应用，提升数学应用意识。 4.合作交流能力：鼓励学生进行合作交流，提高他们的数学表达和交流能力，深化对函数模型的理解和应用。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 创设问题情景：数学模型是针对某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构．其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一．实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得到解决． 通过创设情境，明确用函数模型解决实际问题的普遍性及必要性。 探究新知 知识点： 问题1：在之前的学习中，我们学过哪些函数？ 学生活动：学生自主思考，说出学过的函数。 预设答案：一次函数，反比例函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数． 在解决实际问题中，有时需要对我们学习的函数进行适当的变形．于是，我们就得到了以下几种常见的函数模型． 名称 解析式 条件 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 ， 对数函数模型 ， 幂函数模型 问题：某国年至年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 x(年) 0 1 2 3 生产总值(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8 (1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式； (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较； (3)利用关系式预测年该国的国内生产总值． 师生活动： 学生自主思考，小组合作讨论，根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，再根据题意进行解答，教师进行讲解并出示正确答案。 预设答案： 解：(1) 根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为． 把直线通过的两点和代入上式，解方程组，可得，． 所以它的一个函数关系式为． (2) 由(1)中得到的关系式为，计算出年和年的国内生产总值分别为 ， ． 与实际的生产总值相比，误差不超过万亿元． (3) 年，即，由上述关系式，得，即预测年该国的国内生产总值约为万亿元． 教师总结： (1)根据表格信息，画出图象； (2)根据图象特征，选定函数模型； (3)用待定系数法求出函数解析式； (4)检验模型． 问题：如图1是某公共汽车线路收支差额元与乘客量的图象． 图1 图2 图3 (1) 试说明图上点、点以及射线上的点的实际意义； (2) 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？ (3) 此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4) 图、图、图中的票价分别是多少元？ 师生活动： 学生独立思考分析题意，通过题目所给某公共汽车线路收支差额元与乘客量的图象，对问题进行解答，教师点评学生的答案，并对题目进行讲解。 预设答案： 解：(1) 点表示无人乘车时收支差额为元，点表示有人乘车时收支差额为元，线段上的点表示亏损，延长线上的点表示盈利． (2) 图的建议是降低成本，票价不变，图的建议是提高票价． (3) 斜率表示票价． (4) 图、中的票价是元，图中的票价是元． 教师总结： (1) 这类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决． (2) 挖掘图象中的信息是关键． 通过对问题的探究，用函数模型解决实际问题，为后续的学习做铺垫 典例精析 例1、 要建造一段的高速公路，工程队需要把人分成两组，一组完成一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是人/天和人/天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？ 【师生活动】 学生自主思考，小组合作讨论，教师对学生的答案进行点评，并出示正确答案。 【解析】 解：设在软土地带工作的人数为人，则在硬土地带工作的人数为人． 根据题意，在软土地带筑路时间为， 在硬土地带筑路时间为， 其中，． 因为函数在区间上是减函数，函数在区间上是增函数， 所以全队筑路工期为： 由，即，得．从而 ． 因为函数在区间上递减，在区间上递增，所以是函数的最小值点．但不是整数，于是计算和，其中较小者即为所求． 经计算，，． 于是，当安排人到软土地带工作，人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短． 例2、 某公司每年需要某种计算机元件个，每次购买元件需手续费元，每个元件的库存费是每年元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，个元件的库存费也不少，若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加．现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？ 【师生活动】 学生自主思考，小组合作讨论，教师对学生的答案进行点评，并出示正确答案。 【解析 解：首先要做一些假设： （1）每天需同样多的元件；（2）其他费用可以作为常数看待． 将个元件所需的总费用记为元，一年总库存费记为元，购买元件总手续费记为元，其他费用记为元（为常数），则 ． 若每年平均进货次（），则每次的进货量为个．假设用完个元件的时间为年，在内，时刻的库存量为，满足，，． 解得 ． 如图，阴影部分的面积是第一个时间段内需支付库存费的库存量的总和，相当于在年内每一时刻需支付库存费的库存量均为个． 在年内，每个元件的库存费为元，则个元件的库存费为(元)． 一年总库存费为：(元)． 另外，元，所以． 由基本不等式，得． 当且仅当，即时，上面的不等式取等号，此时总费用最少，故每年进货次最经济． 本例中的模型叫作存贮模型． 通过例题讲解，让学生理解怎样解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 5.2.2 用函数模型解决实际问题 一、引入 二、知识精讲 知识点：用函数模型解决实际问题 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、方法总结-开拓学生解题思路 五、当堂练习 六、课堂小结 七、教学反思 教学设计反思 成功之处： 通过实际问题的引入和讲解，成功激发了学生的学习兴趣和积极性。 分组讨论和小组汇报的方式，促进了学生的合作交流和数学表达能力的提升。 分层练习的设计，使不同水平的学生都能得到相应的提高。 待改进之处： 部分学生在将实际问题抽象为函数模型时仍感到困难，需要提供更多的脚手架和引导。 在教学过程中，应更加关注学生的个体差异，提供不同难度的学习材料，以满足不同学生的需求。 鼓励学生积极参与课后探究活动，将所学知识运用到实际中，提高数学素养。 未来教学建议： 加强对学生数学抽象思维的培养，通过更多的实际案例和练习，提高学生的数学建模能力。 引入更多的多媒体资源和实验器材，帮助学生形象理解函数模型的应用。 鼓励学生参加数学建模竞赛或小组研究项目，通过实践活动提高数学建模能力。 学科网（北京）股份有限公司 $