第3章 3 第2课时 指数函数性质的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 第2课时　指数函数性质的应用 (教师独具内容) 课程标准：探索并理解指数函数y＝ax和y＝的关系． 教学重点：指数函数性质的应用． 教学难点：指数函数性质的应用． 知识点　指数函数y＝ax和y＝的关系 一般地，指数函数y＝ax和y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称．(　　) (2)对于任意的a∈R，都有a2<a3.(　　) (3)函数y＝a|x|是奇函数．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知a＝40.9，b＝80.44，c＝，则a，b，c的大小关系为________(用“<”填写)． (2)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________． 答案：(1)b<c<a　(2)－ 题型一　两个指数函数图象的对称性 　证明：函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称． [证明]　①在函数y＝3x的图象上任取一点P(x0，y0)， 则y0＝3x0； 又知点P关于y轴的对称点P0(－x0，y0)． 由y0＝3 x0可知，y0＝，即点P0(－x0，y0)在函数y＝的图象上． ②利用同样的方法可以证明，函数y＝的图象上任意一点关于y轴的对称点都在函数y＝3x的图象上． 由①②可知，函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称． 【感悟提升】　 (1)一般结论：函数y＝ax与y＝的图象关于y轴对称(a>0，且a≠1)． (2)证明两个函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线l(或点M)对称的方法：先证明函数y＝f(x)图象上任意一点关于直线l(或点M)的对称点都在函数y＝g(x)的图象上；再证明函数y＝g(x)图象上任意一点关于直线l(或点M)的对称点都在函数y＝f(x)的图象上． 【跟踪训练】 1．说出下列函数的图象与指数函数y＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图． (1)y＝2－x；(2)y＝－2x；(3)y＝－2－x. 解：(1)y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称，如图①. (2)y＝2x与y＝－2x的图象关于x轴对称，如图②. (3)y＝2x与y＝－2－x的图象关于原点对称，如图③. 题型二　指数函数单调性的应用 　比较下列各题中两个值的大小： (1)2.3－0.28，0.67－3.1； (2)6－0.8，70.7； (3)1.70.3，0.83.1. [解]　(1)由指数函数的性质知，2.3－0.28<2.30＝1，0.67－3.1>0.670＝1， 所以2.3－0.28<0.67－3.1. (2)函数y＝6x与函数y＝7x均为增函数， 又－0.8<0<0.7， 则6－0.8<60＝1＝70<70.7，即6－0.8<70.7. (3)∵1.70.3>1.70＝1，0.83.1<0.80＝1， ∴1.70.3>0.83.1. 【感悟提升】　 对于底数不同，指数也不同时采用中间值法，即当两个数不易比较时，可找介于两值中间且与题中两数都能比较大小的一个中间值，进而利用中间值解决问题． 【跟踪训练】 2．比较下列各题中两个值的大小： (1)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1)；(2)，1. 解：(1)当a>1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3<a2.5； 当0<a<1时，函数y＝ax是减函数，此时a1.3>a2.5. 综上，当0<a<1时，a1.3>a2.5；当a>1时，a1.3<a2.5. (2)∵0<<1， ∴函数y＝在R上是减函数． 又－π<0， ∴>＝1，即>1. 　设a>0，解关于x的不等式a2x2－3x＋3>ax2＋2x－3. [解]　当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数， 又a2x2－3x＋3>a x2＋2x－3， ∴2x2－3x＋3<x2＋2x－3，解得2<x<3. 当a＝1时，不等式无解； 当a>1时，y＝ax在R上是增函数， 又a2x2－3x＋3>a x2＋2x－3， ∴2x2－3x＋3>x2＋2x－3， 解得x<2或x>3. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集是(2，3)； 当a＝1时，不等式无解； 当a>1时，不等式的解集是(－∞，2)∪(3，＋∞)． 【感悟提升】　解指数型函数不等式的依据 解af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤如下： 【跟踪训练】 3．解关于x的不等式a－5x<ax－7(a>0，且a≠1)． 解：当a>1时， ∵a－5x<ax－7， ∴－5x<x－7，解得x>； 当0<a<1时， ∵a－5x<ax－7， ∴－5x>x－7，解得x<. 综上所述，当a>1时，x的取值范围是； 当0<a<1时，x的取值范围是. 题型三　指数函数性质的综合应用 　已知函数f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． [解]　(1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝. ∵x1<x2， ∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0. ∴f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)． ∴不论a为何实数，f(x)均为R上的增函数． (2)∵f(x)在R上为奇函数， ∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝. (3)由(2)知，f(x)＝－， 由(1)知，f(x)为增函数， ∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1)． ∵f(1)＝－＝， ∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为. 【感悟提升】　与指数函数有关的函数单调性的判断方法 (1)单调性按照函数单调性的定义进行判断，先确定单调区间，作差变形后再进行符号的判断． (2)对于形如y＝f(ax)的复合函数的单调性，可令ax＝t，由内层函数t＝ax及外层函数y＝f(t)的单调性来判断． 【跟踪训练】 4．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求m，n的值； (2)当x∈时，f(kx2)＋f(2x－1)>0恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)∵f(x)在定义域R上是奇函数， ∴f(0)＝0，∴n＝1. 又由f(－1)＝－f(1)，得m＝2. 检验知，当m＝2，n＝1时，原函数是奇函数． (2)由(1)知f(x)＝＝－＋，令t＝2x，则t＝2x在R上单调递增，且t∈(0，＋∞)， 而y＝－＋在(0，＋∞)上单调递减， ∴函数f(x)在R上是减函数． ∵f(x)是奇函数，∴不等式f(kx2)＋f(2x－1)>0等价于f(kx2)>－f(2x－1)＝f(1－2x)． 又f(x)在R上是减函数，由上式推得kx2<1－2x，即对一切x∈有k<恒成立． 设g(x)＝＝－2·， 令t＝，t∈， 则有h(t)＝t2－2t，t∈， ∴g(x)min＝h(t)min＝h(1)＝－1， ∴k<－1，即实数k的取值范围为(－∞，－1)． 1．函数y＝4x与y＝a2x的图象关于y轴对称，则a的值为(　　) A. B．－ C. D.或－ 答案：D 解析：因为函数y＝4x与y＝a2x的图象关于y轴对称，所以4·a2＝1，解得a＝±. 2．设a＝，b＝40.9，c＝80.48，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 答案：C 解析：∵＝21.5，40.9＝21.8，80.48＝21.44，易知21.44<21.5<21.8，即80.48<<40.9，即c<a<b. 3．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围为________． 答案： 解析：因为a2＋a＋2＝＋>1，所以x>1－x，得x>. 4．已知a为正实数，且f(x)＝－是奇函数，则f(x)的值域为________． 答案： 解析：由f(x)为奇函数可知－＝－＋，解得a＝2，即f(x)＝－，由此得f(x)的值域为. 5．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求该函数的值域． 解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax， 则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，则y≥2. 当0<a<1时，∵x≥0，∴0<t≤1. ∵g(0)＝－1，g(1)＝2， ∴当0<a<1时，－1<y≤2. 综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)； 当0<a<1时，函数的值域是(－1，2]． 课后课时精练 一、选择题 1．已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案：A 解析：因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a<c. 2．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有(　　) A．a>1，且b<1 B．0<a<1，且b≤1 C．0<a<1，且b>0 D．a>1，且b≤0 答案：D 解析：由指数函数图象的特征可知，当0<a<1时，函数y＝ax＋b－1的图象必经过第二象限，故排除B，C.又函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则其图象与y轴的交点不在x轴上方，所以当x＝0时，y＝a0＋b－1≤0，解得b≤0，故选D. 3．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为(　　) A.或 B. C. D．2或3 答案：A 解析：①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，∴a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)；②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，∴a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．综上所述，a＝或a＝. 4．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x.若存在x∈[－1，1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的最大值为(　　) A．－ B. C．1 D．－1 答案：B 解析：∵g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且g(x)－h(x)＝2x　①，∴g(－x)－h(－x)＝g(x)＋h(x)＝2－x　②，①②两式联立可得，g(x)＝，h(x)＝.由m·g(x)＋h(x)≤0得m≤＝＝1－，∵y＝1－在[－1，1]上为增函数，∴＝，∴m的最大值为，故选B. 5．(多选)下列说法正确的是(　　) A．对任意实数a>1，函数y＝ax－1＋1的图象必过定点(1，1) B.<<－ C．f(x)＝2x与g(x)＝－2－x的图象关于原点对称 D．函数f(x)＝e－x2＋2x－1在[1，＋∞)上单调递增 答案：BC 解析：若函数y＝ax－1＋1过定点，则x－1＝0，即x＝1，y＝2，A错误；<<<＝1，－>＝1，故<<，B正确；令x>0，则－x<0，g(－x)＝－2x，所以f(x)＝－g(－x)，同理，当x<0时，f(x)＝－g(－x)也成立，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1，综上所述，f(x)＝2x与g(x)＝－2－x的图象关于原点对称，C正确；令g(x)＝－x2＋2x－1，则g(x)在[1，＋∞)上单调递减，而y＝ex单调递增，所以f(x)＝e－x2＋2x－1在[1，＋∞)上单调递减，D错误． 二、填空题 6．函数y＝(2a－1)x与y＝(2a)x的图象关于y轴对称，则a＝________． 答案： 解析：由题意得解得a＝. 7．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． 答案： 解析：当a>1时，函数y＝|ax－1|＋1的图象如图1所示，则由图可知1<2a<2，解得<a<1，与a>1矛盾；当0<a<1时，函数y＝|ax－1|＋1的图象如图2所示，则由图可知1<2a<2，解得<a<1. 综上可知，a的取值范围为. 8．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上单调递增，则a＝________． 答案： 解析：因为g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上单调递增，所以1－4m>0，即m<.若a>1，则f(x)＝ax在[－1，2]上单调递增，因而最大值f(2)＝a2＝4，得a＝2，则最小值为f(－1)＝2－1＝，即m＝，与m<矛盾；若0<a<1，则f(x)＝ax在[－1，2]上单调递减，因而最大值f(－1)＝a－1＝4，得a＝，则最小值为f(2)＝＝，即m＝，符合题意．综上，a＝. 三、解答题 9．比较下列各值的大小：，2，，. 解：由题可知，<0， 因为函数y＝在R上单调递减， 所以0<<，即0<<1， 因为函数y＝在R上单调递增， 所以<<， 即1<<， 因为在(0，＋∞)上，函数y＝的图象在y＝2x的图象的下方，所以<2. 综上，<<<2. 10．已知函数f(x)＝(a>0，a≠1)． (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性； (3)求f(x)的值域． 解：(1)易知函数f(x)的定义域为R， 因为f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (2)因为函数f(x)＝＝1－， 设x1，x2∈R，x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝. 当a>1时，y＝ax在R上单调递增， 由x1<x2，得a x1<a x2， 所以a x1－a x2<0， 又a x1＋1>0，a x2＋1>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，即此时f(x)在R上单调递增； 同理，当0<a<1时，f(x1)>f(x2)，即此时f(x)在R上单调递减． 综上，当a>1时，函数f(x)在R上单调递增， 当0<a<1时，函数f(x)在R上单调递减． (3)令ax＝t，则t>0，结合(2)知原函数等价于y＝1－，易知y＝1－在区间(0，＋∞)上单调递增，所以－1<1－<1，故f(x)的值域为(－1，1)． 11．若函数f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 解：由题意得f(x)＝(ax)2－(3a2＋1)ax， 令t＝ax，则原函数等价于g(t)＝t2－(3a2＋1)t(t>0)． 当a>1时，t＝ax在[0，＋∞)上单调递增，则此时t≥1， 而对于g(t)而言，其图象的对称轴方程为t＝， 又>2， 所以f(x)在[0，＋∞)上不可能单调递增． 当0<a<1时，t＝ax在[0，＋∞)上单调递减，此时0<t≤1，要使f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 则g(t)在(0，1]上必单调递减，故≥1， 解得a≥或a≤－，所以≤a<1. 综上，实数a的取值范围是. 12．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数； (3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1. 又f(－1)＝－f(1)，得a＝1. (2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. ∵x1<x2，∴2x2－2x1>0. 又(2 x1＋1)(2 x2＋1)>0， ∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． (3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立， ∴f(t2－2t)<－f(2t2－k)． ∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)<f(k－2t2)． ∵f(x)为减函数， ∴t2－2t>k－2t2，即k<3t2－2t恒成立． 又3t2－2t＝3－≥－， ∴k<－，即k的取值范围为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $