3.1指数幂的拓展（教学课件）数学北师大版2019必修第一册

§3.1 指数幂的拓展 第三章 指数运算与指数函数 北师大版2019必修第一册·高一 01 理解分数指数幂的概念,会进行分数指数幂与根式的互化. 02 重点 了解无理指数幂的概念,了解无理指数幂可以用有理指数幂逼近的思想. 用有理数指数幂逼近无理数指数幂 难点 学会根式与指数幂之间的互化,掌握指数幂的运算性质化简与求值. 学 习 目 标 【问题】说说初中所学的平方根、立方根的概念并举例 叫做的平方根（二次方根） 叫做的立方根（三次方根） 叫做的四次方根 叫做的五次方根 ... 叫做的次方根 01 复习回顾,引入新知 特殊 一般 1.次方根的定义：一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且                   为偶数 为奇数 不存在 根式 被开方数 根指数 01 复习回顾,引入新知 一、 次方根 2. 根式的定义：当有意义时,式子叫作根式,n叫作根指数,a叫作被开方数. 3.次方根的性质： (1)负数没有偶次方根(即负数的偶次方根无意义) (2)正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,都表示为(n为奇数,a∈R) 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且 根式 被开方数 根指数                   为偶数 为奇数 不存在 一、 次方根 D B 2.已知，则x的值为（   ） A． B． C． D． 1.已知，则x的值为（   ） A． B． C． D． 规律 (1) 为奇数 为偶数: 01 复习回顾,引入新知 (2)化简： 2.下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 课本P79A组第1题 1.填空： （1）27的3次方根表示为 ； （2）的3次方根表示为 ； （3）16的4次方根表示为 ． C 方法点拨 1.如果,那么叫做的次方根. 为奇数 为偶数: (2)化简： (1) 01 复习回顾,引入新知 给定正数和正整数 () 幂的底数(简称为底) 的次幂 幂的指数 【思考】指数幂中的指数一定只能是整数吗？ 整数指数幂 二、整数指数幂 正整数指数幂 1 负整数指数幂 2 零指数幂 3 像以分数为指数的幂 指数幂中的指数不一定都是整数 实际问题中 02 实例分析,提出问题 薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草凋零.经测算，薇甘菊侵害田地的面积S(单位：hm2)与年数t（年）的关系式为:S=S0•1.057t其中S0为侵害面积的初始值.根据上述关系式，可以计算出10年后薇甘菊的侵害面积是S0•1.05710hm2，其中1.05710是整数指数幂的形式. 课本P76 【问题1】 那么经过15.5年,薇甘菊的侵害的面积是多少？ S=S0•1.05715.5 【问题1】 S=S0•1.05715.5?如果可以, 表示什么含义? 可以 的次幂 表示 02 实例分析,提出问题 薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草凋零.经测算，薇甘菊侵害田地的面积S(单位：hm2)与年数t（年）的关系式为:S=S0•1.057t其中S0为侵害面积的初始值.根据上述关系式，可以计算出10年后薇甘菊的侵害面积是S0•1.05710hm2，其中1.05710是整数指数幂的形式. 课本P76 【问题1】 那么经过15.5年,薇甘菊的侵害的面积是多少？ S=S0•1.05715.5 【问题1】 S=S0•1.05715.5?如果可以, 表示什么含义? 可以 的次幂 表示 03 抽象概括,得出新知 一、正分数指数幂 1.正分数指数幂的概念： 给定正数a和正整数m,n(n＞1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn＝am,则称b为a的次幂,记作.这就是正分数指数幂. 03 抽象概括,得出新知 一、正分数指数幂 【思考1】为什么分数指数幂的底数规定 ？ 当时,若为偶数,为奇数,则,无意义； ②当时, 无意义． 【思考2】 分数指数幂能否理解为个 相乘？ 不能．不可以理解为个 相乘，事实上，它是根式的一种新写法． 03 抽象概括,得出新知 【问题】观察下列根式的被开方数的指数与根指数，你发现了什么？ (1) 规律总结 【追问】类比 ，请你用分数指数幂表示下列式子？ 规律总结 2.正数的正分数指数幂定义： 3.正数的负分数指数幂定义： 注意：0的正分数指数幂等于0（），0的负分数指数幂没有意义 二、正、负分数指数幂 至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了. 【思考3】在分数指数幂与根式的互化公式中，为什么必须规定 ? ①若,0的正分数指数幂恒等于0，即 ，无研究价值． ②若,不一定成立,如 无意义, 故为了避免上述情况,规定了 . 分数指数幂的表示 题型一 例1：把下列各式中的正数b写成正分数指数幂的形式： (1)b5=20; (2)b4=25; (3)bn=2m(m,n∈N+); (4)b3n=π9m(m,n∈N+). 04 典例剖析,应用新知 规律总结 分数指数幂的表示： 课本P77 课本P78 练习第1题 1．把下列各式中的写成负分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)． 解：（1）， ； （2）， ； （3）， ． 规律总结 分数指数幂的表示： 例2：计算： (1 (2 C 求幂值 题型二 04 典例剖析,应用新知 规律总结 (3. 求幂值： 1.设,则,() 2.负指数先化为倒数形式,再按正指数求解 课本P77 课本P79 A组第2题 2.计算： (1)；(2)；(3)； (4)； (5)；(6)；(7)；(8) 解： (1)； (2)1； (3)； (4)2 (5)64；(6)10； (7)；(8)1 规律总结 求幂值： 1.设,则,() 2.负指数先化为倒数形式,再按正指数求解 【思考】指数幂的范围还可以拓展到无理数指数幂吗？ 下面以为例来认识无理数指数幂. 因为无理数，所以 上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值. 把以10为底数，的不足近似值为指数的各个幂，由小到大排成一列数： 分析 把以10为底数，的过剩近似值为指数的各个幂，由大到小排成一列数： 借助计算器，可以得到下表： 【思考】指数幂的范围还可以拓展到无理数指数幂吗？ 分析 不足近似值 过剩近似值 α 10α 10α α 1.4 25.11886431⋯ 31.62277660⋯ 1.5 1.41 25.70395782⋯ 26.30267991⋯ 1.42 1.414 25.94179362⋯ 26.00159563⋯ 1.415 1.4142 25.95374300⋯ 25.95971976⋯ 1.4143 1.41421 25.95434062⋯ 26.95493825⋯ 1.41422 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 从表可以看出,的不足近似值和过剩近似值相同的位数越多,即的近似值精确度越高， 以其不足近似值和过剩近似值α为指数的幂10α 会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为 ，即 =25.954⋯． 一般地，给定正数a，对任意无理数α，可以用类似的方法定义一个实数aα. 自然地，规定： 例如：. 由于实数分为有理数和无理数，则引入了无理数指数幂后，我们就把指数幂中指数的范围拓展到了全体实数. 4.无理指数幂 一般地，给定正数a，对任意无理数α，可以用类似的方法定义一个实数aα. 自然地，规定： 4.无理指数幂 (1)(2)(3)(4) 根式与分数指数幂互化 题型三 规律总结 例3：(1)用根式的形式表示下列各式(x＞0，y＞0) (2)用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： 根式与分数指数幂互化 题型三 规律总结 1.用分数指数幂的形式表示下列各式 （式中字母都是正数）： （1）（2）（3） ． 解 （1）. （2）. （3） ． 根式与分数指数幂互化 题型三 规律总结 2.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．－＝（x＞0） B．＝（y＜0） C．＝ （x＞0，y＞0） D．＝－ （x≠0） C 指数幂的拓展 指数幂的拓展 题型 n次方根 分数指数幂 分数指数幂的表示 求幂值 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且 1.正分数指数幂：给定正数a和正整数m,n(n＞1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn＝am,则称b为a的次幂,记作.这就是正分数指数幂. 无理指数幂 课堂小结 根式与分数指数幂的互化 课本79B组第1题 课后作业 1.用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)； (3)． 参考答案 解；（1） （2） （3） 感谢聆听! 1.式子 的值为( ) A. B. C. D.1 解析： 故选：A. 例如：b5=2，则 ；t6=513，则. 当k是正整数时，分数指数幂 满足 分数指数幂aeq \s\up10(\f(m,n))是一个实数, 且bn＝am ⇒，b＝aeq \s\up10(\f(m,n)) 其中a，b均为正数， m，n∈Z，且m，n互素． 分数指数幂aeq \s\up10(\f(m,n))是一个实数,且bn＝am ⇒，b＝aeq \s\up10(\f(m,n)) 其中a，b均为正数，m，n∈Z，且m，n互素． 1.给出下列等式，其中正确的有________(填序号)． (1)1α＝1(α∈R)； (2)m－α＝eq \f(1,mα)(m＞0)； (3)10－eq \r(2)＝(2)\up10(eq \f(1,10) ) ； (4)(eq \f(1,2))－eq \r(2)＝2(2)eq \s\up10() ． 解：A不符合题意，(－1)eq \s\up10(\f(1,3))和(－1)eq \s\up10(\f(2,6))不符合分数指数幂的定义， 且(－1)eq \s\up10(\f(1,3))＝eq \r(3,－1)＝－1，(－1)eq \s\up10(\f(2,6))＝eq \r(6,（－1）2)＝1； B符合题意，eq \f(1,3－\s\up10(\f(4,3)))＝3eq \s\up10(\f(4,3))；C符合题意，4eq \s\up10(\f(\r(2),4))＝(2)\up10(eq \r(4,22) ) ＝2eq \s\up10(\f(\r(2),2))； 选BC 2．(多选)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　) A．(－1)eq \s\up10(\f(1,3))和(－1)eq \s\up10(\f(2,6)) B．3eq \s\up10(\f(4,3))和eq \f(1,3－\s\up10(\f(4,3))) C．2eq \s\up10(\f(\r(2),2))和4eq \s\up10(\f(\r(2),4)) D．4－eq \s\up10(\f(3,2))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－3) 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母， 被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分 数指数幂的形式． $$