第2章 4.2 简单幂函数的图象和性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

该高中数学导学案聚焦简单幂函数的图象和性质，引导学生理解幂函数概念，掌握y=x、y=x²等常见幂函数的图象特征及定义域、奇偶性、单调性等性质，通过与一次、二次函数对比，搭建知识联系，为函数性质综合应用奠定基础。 资料设计注重核心素养培养，判断题辨析概念帮助学生用数学眼光观察函数本质，题型解析结合跟踪训练发展逻辑推理（数学思维），练习题分层设计提升用数学语言解决问题的能力，表格对比性质直观清晰，便于自主学习与教师教学评估。

数学 必修 第一册(北师) 4.2　简单幂函数的图象和性质 (教师独具内容) 课程标准：1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，并能通过图象了解幂函数的图象与性质.3.能正确应用幂函数的知识解决相关问题． 教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质． 教学难点：应用幂函数的知识解决相关问题． 知识点一　幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 知识点二　一些常用幂函数的图象 同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 知识点三　一些常用幂函数的性质 ( 性质 ) ( 特征 ) ( 函数 ) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x| x≠0} 值域 R [0， ＋∞) R [0，＋∞) {y| y≠0} 奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇 函数 非奇 非偶函数 奇函数 单调性 在(－∞， ＋∞)上单调递增 在[0， ＋∞)上单调递增 在(－∞， ＋∞)上单调递增 在[0， ＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x3＋2是幂函数．(　　) (2)幂函数的图象必过(0，0)和(1，1)这两点．(　　) (3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数无关．(　　) (4)当x＞1时，函数y＝x2的图象总在函数y＝x3的图象的下方．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________． (2)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，8)，则f(－2)＝________． (3)若y＝axa2－是幂函数，则该函数的值域是________． 答案：(1)3　(2)－8　(3)[0，＋∞) 题型一　幂函数的定义 　已知幂函数y＝(m2－m－1)·xm2-2m-3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域． [解]　∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}． 【感悟提升】　判断函数是幂函数的依据 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即满足：①指数α为常数；②底数x为自变量；③系数为1. 【跟踪训练】 1．(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2，由于系数是2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数． (2)已知y＝(m2－4m＋4)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 解：由题意，得解得 所以m＝3，n＝. 题型二　幂函数的图象及应用 　幂函数y＝x2，y＝x－2，y＝x，y＝x－1在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 [解析]　由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－2在第一象限内的图象为C4，y＝x在第一象限内的图象为C2，y＝x－1在第一象限内的图象为C3. [答案]　D 【感悟提升】　解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断． 【跟踪训练】 2.(1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．n>1，0<m<1 B．n<－1，0<m<1 C．n>1，m>1 D．n<－1，m>1 答案：B 解析：在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1. (2)已知函数y＝. ①求定义域； ②判断奇偶性； ③已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间． 解：①y＝，定义域为实数集R. ②设y＝f(x)，因为f(－x)＝＝＝f(x)，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y＝是偶函数． ③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y轴的对称图象，即得函数y＝的图象，如图所示． 根据图象易知，函数y＝在区间[0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0]上单调递减． 题型三　幂函数的性质及应用 　比较下列各题中两个值的大小： (1)2.3，2.4； (2)()－2，()－2； (3)(－0.31)2，0.352. [解]　(1)∵y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且2.3<2.4，∴2.3<2.4. (2)∵y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，且<， ∴()－2>()－2. (3)∵y＝x2为R上的偶函数， ∴(－0.31)2＝0.312. 又函数y＝x2在[0，＋∞)上单调递增，且0.31<0.35， ∴0.312<0.352，即(－0.31)2<0.352. 【感悟提升】　比较幂值大小的方法 比较幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则考虑构造幂函数，然后根据所构造的幂函数的性质如单调性、奇偶性等来解决问题． 【跟踪训练】 3．比较下列各组数的大小： (1)与；(2)－3.143与－π3. 解：(1)∵y＝x在[0，＋∞)上单调递增， 且>，∴>. (2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π3. 　若(3－2m)>(m＋1)，求实数m的取值范围． [解]　因为y＝x在定义域[0，＋∞)上单调递增， 所以解得－1≤m<. 故实数m的取值范围为. 【感悟提升】　利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的定义域和单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 【跟踪训练】 4．已知幂函数y＝(m2＋m－5)xm2-2m-3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式． 解：∵y＝(m2＋m－5)x m2-2m-3是幂函数， ∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0， ∴m＝2或m＝－3. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小； 当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去． ∴y＝x－3(x≠0)． 1．下列函数是幂函数的是(　　) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 答案：B 解析：由幂函数的定义知函数y＝5x不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数． 2．函数y＝x3的图象大致是图中的(　　) 答案：B 解析：∵函数y＝x3是奇函数，且α＝3>1，则其为增函数，且在[0，＋∞)上y随x的增大急剧增大，∴函数图象为B. 3．设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<c<b C．a<b<c D．c<b<a 答案：A 解析：a＝2－6＝8－2，b＝3－4＝9－2，c＝7－2，由幂函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，可知b<a<c. 4．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f＝________． 答案： 解析：设幂函数为f(x)＝xα(α为常数)． ∵函数f(x)的图象过点(4，2)，∴2＝4α， ∴α＝，∴f(x)＝x，∴f＝＝. 5．已知幂函数f(x)＝x3m-9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求f(x)的解析式． 解：∵幂函数f(x)＝x3m-9在区间(0，＋∞)上单调递减， ∴3m－9<0，即m<3.又m∈N＋，∴m＝1，2. 又f(x)＝x3m－9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数， ∴3m－9是偶数．∴m＝1.∴f(x)＝x－6. 课后课时精练 一、选择题 1．给出下列说法： ①幂函数图象均过点(1，1)； ②幂函数的图象均在两个象限内出现； ③幂函数在第四象限内可以有图象； ④任意两个幂函数的图象最多有两个交点． 其中说法正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 解析：根据幂函数图象的特征可知①正确，②③④错误． 2．下列函数在(－∞，0)上单调递减的是(　　) A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x－2 答案：B 解析：∵A，C两项在(－∞，0)上单调递增；D项中y＝x－2＝在(－∞，0)上也是单调递增的．故选B. 3．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．a<b<c D．b>c>a 答案：A 解析：∵a＝＝，函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，且<<，∴>>，即a>b>c.故选A. 4．若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2+2m-3的图象不过原点，且关于原点对称，则(　　) A．m＝－2 B．m＝－1 C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－1 答案：A 解析：由幂函数的定义，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1 或m＝－2.若m＝－1，则y＝x－4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m＝－2，则y＝x－3，其图象不过原点，且关于原点对称．故选A. 5．(多选)已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则下列说法正确的是(　　) A．该函数为偶函数 B．该函数为奇函数 C．当x>1时，y>1 D.>f(x1≠x2) 答案：ACD 解析：∵y＝xα的图象经过点(2，4)，∴2α＝4，∴α＝2，∴y＝x2，该函数为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴当x>1时，y>1.幂函数y＝x2在[0，＋∞)上的大致图象如图所示．设A(x1，0)，C(x2，0)，其中0<x1<x2，则AC的中点E的坐标为，AB＝f(x1)，CD＝f(x2)，EF＝，EG＝f，由图易知EF>EG，即>f，同理可证，当x1<x2<0，x1<0<x2时，>f也成立． 二、填空题 6．若幂函数y＝(m2－m－1)xm2-2m-1在(0，＋∞)上单调递增，则m＝________． 答案：－1 解析：由幂函数的定义可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，y＝x2，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当m＝2时，y＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，所以m＝－1. 7．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为________． 答案：－ 解析：∵y＝x－1在[－4，－2]上单调递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上的最小值是－. 8．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________． 答案：[－1，3) 解析：∵f(x)＝x＝(x≥0)，易知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(a＋1)<f(10－2a)，∴解得∴－1≤a<3. 三、解答题 9．比较下列各组数的大小： (1)3－1和3.1－1；(2)－8－3和－； (3)和. 解：(1)函数y＝x－1在(0，＋∞)上单调递减， 因为3<3.1，所以3－1>3.1－1. (2)－8－3＝－， 函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增， 因为>，则>. 所以－8－3<－. (3)＝，＝， 函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减， 因为>，所以<， 即<. 10．已知幂函数f(x)＝x3m-5(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－x)＝f(x)，求m的值． 解：因为f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－5<0，故m<. 又因为m∈N，所以m＝0或m＝1， 当m＝0时，f(x)＝x－5， f(－x)≠f(x)，不符合题意； 当m＝1时，f(x)＝x－2， f(－x)＝f(x)，符合题意． 综上可知，m＝1. 11．已知(a＋1)－1<(3－2a)－1，求a的取值范围． 解：解法一：(运用幂函数的单调性) ①当a＋1>0，且3－2a>0时， ∵(a＋1)－1<(3－2a)－1， ∴ 解得<a<. ②当a＋1<0，且3－2a>0时，(a＋1)－1<0，(3－2a)－1>0， 符合题意，可得解得a<－1. ③当a＋1<0，且3－2a<0时， ∵(a＋1)－1<(3－2a)－1， ∴不等式组的解集为∅. 综上所述，a的取值范围为. 解法二：(此法供学有余力的同学参考) ∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，即<. 移项，通分得<0. 即(a＋1)(3a－2)(2a－3)<0， 解得a<－1或<a<. 故a的取值范围是(－∞，－1)∪. 12．已知幂函数f(x)＝x-2m2-m+3，其中m∈{n|－2<n<2，n∈Z}，满足： ①在区间(0，＋∞)上单调递增； ②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0. 求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时，函数f(x)的值域． 解：因为m∈{n|－2<n<2，n∈Z}， 所以m＝－1，0，1. 因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 当m＝－1时， f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②； 当m＝1时，f(x)＝x0，条件①，②都不满足． 当m＝0时，f(x)＝x3，条件①，②都满足，且在区间[0，3]上单调递增． 所以x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27]． 2 学科网（北京）股份有限公司 $