第1章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 第2课时　 全称量词命题与存在量词命题的否定 (教师独具内容) 课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假． 教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断． 知识点一　命题的否定 1．当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题． 2．通常，对命题p进行否定，就得到一个新的命题，用符号“綈p”表示，读作“非p”或“p的否定”． 知识点二　全称量词命题的否定 1．一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立． 2．全称量词命题的否定是存在量词命题． 3．对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定，通常表示为∃x∈M，綈p(x)． 知识点三　存在量词命题的否定 1．一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立． 2．存在量词命题的否定是全称量词命题． 3．对于存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定，通常表示为∀x∈M，綈p(x)． 1．对全称量词命题的否定及其特点的理解 (1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否定时，既要改变全称量词，又要否定结论． (2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要先改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定． 2．对存在量词命题的否定及其特点的理解 (1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题，给出存在量词命题的否定时，既要改变存在量词，又要否定结论． (2)找出存在量词及明确命题所提供的结论是对存在量词命题否定的关键． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称量词命题的否定只是对命题结论的否定．(　　) (2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(　　) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　) (4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)“至多有一个”的否定为______________________________________________________． (2)已知命题p：∀x∈R，x2＋2x＋3>0，则它的否定是__________________． (3)命题“∃x∈Q，x2＝5”的否定是________命题(填“真”或“假”)． 答案：(1)至少有两个　(2)∃x∈R，x2＋2x＋3≤0　(3)真 题型一　全称量词命题的否定 　写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)等圆(能够重合的两个圆叫作等圆)的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角． [解]　(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以命题的否定是真命题． (2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知命题的否定是假命题． (3)这一命题的否定形式是“存在一个三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知命题的否定为假命题． 【感悟提升】　 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词； (2)否定结论：全称量词命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． 【跟踪训练】 1．写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)∀x∈R，|x|≥x； (3)∀x∈R＋，<x. 解：(1)命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题． (2)命题的否定为“∃x∈R，|x|<x”，这个命题是假命题． (3)命题的否定为“∃x∈R＋，≥x”，这个命题是真命题． 题型二　存在量词命题的否定 　写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，使得|x＋1|≤1. [解]　(1)题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除． (2)题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°. (3)题中命题的否定为“∀x∈R，有|x＋1|>1”．这个命题为假命题，如x＝－0.1时，不满足|x＋1|>1. 【感悟提升】　 1．对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； (2)否定结论：存在量词命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定后的真假判断方法 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． 【跟踪训练】 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，使x2＋x＋≠0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解：(1)题中命题的否定为“所有的素数都不是偶数”．这个命题是假命题，如2既是素数也是偶数． (2)题中命题的否定为“∀x∈R，有x2＋x＋＝0”． 这个命题是假命题，因为当x＝1时，x2＋x＋＝2＋＝≠0. (3)题中命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0. 题型三　利用全称量词命题的否定与存在量词命题的否定求参数的取值范围 　已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． [解]　题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根． 所以a＝0或即a＝0或 所以a≤1. 所以实数a的取值范围是(－∞，1]． 【感悟提升】　利用含有量词命题的否定求参数范围的策略 若全称量词命题为假命题，通常转化为其命题的否定——存在量词命题为真命题来解决，同理，若存在量词命题为假命题，通常转化为其命题的否定——全称量词命题为真命题来解决． 【跟踪训练】 3．已知a∈R，命题p：“∀x∈[0，1]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2x＋2－a＝0”．若命题p和命题q均为假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题p为全称量词命题，所以其否定为“∃x∈[0，1]，使x2－a<0”，这个命题为真命题． 故a>x2，且x∈[0，1]，所以a>0. 因为命题q为存在量词命题，所以其否定为“∀x∈R，x2＋2x＋2－a≠0”． 所以Δ＝22－4×1×(2－a)<0，解得a<1. 所以实数a的取值范围为(0，1)． 1．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　) A．所有能被5整除的整数都不是奇数 B．所有奇数都不能被5整除 C．存在一个能被5整除的整数不是奇数 D．存在一个奇数，不能被5整除 答案：C 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A，B是全称量词命题，所以A，B错误；因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以D错误，C正确．故选C. 2．命题“∃x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是(　　) A．∀x∈R，x2－2x－3≤0 B．∃x∈R，x2－2x－3≥0 C．∃x∈R，x2－2x－3>0 D．∀x∈R，x2－2x－3>0 答案：D 解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“≤”改为“>”．故选D. 3．(多选)对下列命题的否定，其中说法正确的是(　　) A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∃x≥3，x2－2x－3<0 B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆 C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0 答案：ABD 解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，可知A，B，D正确． 4．若命题“∀x∈R，x2＋x＋a－1≠0”是假命题，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：依题意可得“∃x∈R，x2＋x＋a－1＝0”为真命题，所以Δ＝12－4(a－1)≥0，所以a≤. 5．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)平行四边形的四个顶点共圆； (2)∀x≥0，x2>0； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)∃x∈R，使得x2＋2x＋5≤0. 解：(1)题中命题的否定为“存在一个平行四边形，它的四个顶点不共圆”，这个命题为假命题． (2)题中命题的否定为“∃x≥0，x2≤0”，这个命题为真命题． (3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题． (4)题中命题的否定为“∀x∈R，有x2＋2x＋5>0”，这个命题为真命题．因为x2＋2x＋5＝x2＋2x＋1＋4＝(x＋1)2＋4>0. 课后课时精练 一、选择题 1．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　) A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．∃x∈[0，＋∞)，使x3＋x<0 D．∃x∈[0，＋∞)，使x3＋x≥0 答案：C 解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题可知A，B错误；因为对x3＋x≥0的否定为x3＋x<0，所以D错误，C正确． 2．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　) A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等边三角形 C．所有三角形都不是等腰三角形 D．所有三角形都是等腰三角形 答案：C 解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C. 3．命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是(　　) A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 答案：C 解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以题中命题的否定为∀n∈N，n2≤2n.故选C. 4．已知命题p：∀x∈R，x2＋x＋a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.∪(0，＋∞) D.∪[0，＋∞) 答案：A 解析：∵p是假命题，∴命题p的否定，即∃x∈R，x2＋x＋a＝0是真命题．∴Δ＝1－4a≥0，∴a≤. 5．(多选)设命题p：∀n∈N，6n＋7为素数，则(　　) A．綈p为假命题 B．綈p为真命题 C．綈p：∃n∈N，6n＋7不是素数 D．綈p：∀n∈N，6n＋7不是素数 答案：BC 解析：当n＝3时，6n＋7＝25，且25不是素数，故命题p是假命题，则綈p为真命题，故B正确；根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得綈p：∃x∈N，6n＋7不是素数，故C正确．故选BC. 二、填空题 6．命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则命题p的否定为__________． 答案：∃x∈R，x2＋x＋1＝0 解析：命题p是全称量词命题，根据全称量词命题的否定是改量词，否结论，则是∃x∈R，x2＋x＋1＝0. 7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________． 答案：任意一个三角形都有外接圆 解析：该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”． 8．由命题“∀x∈R，x2＋2x＋m≠0”是假命题，求得实数m的取值范围是(－∞，a]，则实数a＝________． 答案：1 解析：因为命题“∀x∈R，x2＋2x＋m≠0”是假命题，所以其否定“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是真命题，等价于方程x2＋2x＋m＝0有实根，所以Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，又因为m的取值范围是(－∞，a]，所以实数a＝1. 三、解答题 9．写出下列命题的否定，并判断它们及它们否定的真假． (1)关于x的方程ax＝b都有实数根； (2)有些正整数没有1和它本身以外的约数； (3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则x＋x1<x＋x2； (4)∃x>1，使x2－2x－3＝0. 解：(1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0x＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题． (2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题． (3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x1<x2，则x＋x1≥x＋x2”．这个命题中若x1＝－2，x2＝1，有x＋x1＝x＋x2，故这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题． (4)这个命题的否定为“∀x>1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题． 10．已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0，若命题p的否定是真命题，求实数m的取值范围． 解：因为命题p的否定为真命题， 所以命题“∃x∈R，使x2－2x＋m＝0”是真命题． 所以m＝－x2＋2x. 因为－x2＋2x＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1≤1， 所以实数m的取值范围是(－∞，1]． 11．已知a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 证明：要证明结论的否定为两个方程都没有两个不相等的实数根， 则有Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0. 所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0. 因为a＝b＋c＋1，所以b＋c＝a－1. 所以1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋5≤0. 但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，故矛盾． 所以要证明结论的否定是假命题，要证明的结论为真命题，即两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 12．已知命题p：∀x∈R，2x≠－x2＋m，命题q：存在x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围． 解：因为命题p为假命题，所以命题p的否定为真命题，即命题“∃x∈R，使2x＝－x2＋m”为真命题． 则－x2－2x＋m＝0有实根． 所以Δ1＝4＋4m≥0，所以m≥－1. 若命题q：存在x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真命题， 则方程x2＋2x－m－1＝0有实根， 所以Δ2＝4＋4(m＋1)≥0， 所以m≥－2. 所以m≥－1且m≥－2， 所以实数m的取值范围为m≥－1. 9 学科网（北京）股份有限公司 $