第1章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 2.2　 全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 (教师独具内容) 课程标准：通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，并会用数学语言表示全称量词命题和存在量词命题，并能判断其真假． 教学重点：全称量词与存在量词的含义，含有量词的命题的构成以及全称量词命题和存在量词命题真假的判定． 教学难点：对全称量词命题与存在量词命题真假的判定． 知识点一　全称量词命题和全称量词 1．在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题． 2．在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”． 3．全称量词命题“对M中任意的x，有p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”．其中，M是给定的集合，p(x)是一个关于x的语句． 知识点二　存在量词命题和存在量词 1．在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题． 2．在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”． 3．存在量词命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．其中，M是给定的集合，p(x)是一个关于x的语句． 1．对全称量词命题和全称量词的理解 (1)有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”． (2)全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称量词命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，都使p(x)成立，则全称量词命题为真命题．若能举出反例，则为假命题． 2．对存在量词命题和存在量词的理解 存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着存在量词命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x)成立，则存在量词命题为真命题．若不存在，则为假命题． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个全称量词命题可以包含多个变量．(　　) (2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　　) (3)全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．(　　) (4)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　　) (5)四边形的内角和是360°是全称量词命题．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)． (2)“负数没有平方根”是________命题(填“全称量词”或“存在量词”)． (3)若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________． 答案：(1)有些　存在　(2)全称量词 (3)(－∞，3] 题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断 　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题． (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． [解]　(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0. (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，满足x2≥2. (3)是存在量词命题，表示为∃四边形是平行四边形，但四边形的对角线不互相垂直． (4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 【感悟提升】　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题． (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题． (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 【跟踪训练】 1．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题，并指出其中的量词． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形都是正方形； (3)有些素数的和仍是素数； (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． 解：(1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和都等于360°，是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有的”． (2)可以改写为：所有的矩形都是正方形，故为全称量词命题，其中省略了全称量词“所有的”． (3)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题． (4)可以改写为：所有的菱形的对角线互相垂直，故为全称量词命题，其中省略了全称量词“所有的”． 题型二　全称量词命题与存在量词命题真假的判断 　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有x<x； (4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0. [解]　(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (3)存在x1＝－5，x2＝－3，x1<x2，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题． (4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题． 【感悟提升】　全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是看能否找到一个元素x∈M，使p(x)成立，若能，则该命题是真命题；若不能，则该命题是假命题． 【跟踪训练】 2．判断下列命题的真假． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数； (2)末位是零的整数，可以被5整除； (3)有些整数只有两个正因数； (4)某些平行四边形是菱形． 解：(1)因为是无理数，但()2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． (2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． (3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”是真命题． (4)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题． 题型三　含有量词的命题的应用 　∃a∈Z，使关于x的分式方程＋＝4的解为正数，且∀y<－2，关于y的不等式组成立．求符合条件的a的值． [解]　分式方程＋＝4的解为x＝且a≠2， ∵关于x的分式方程＋＝4的解为正数，∴>0且a≠2，∴a<6且a≠2. 解不等式①，得y<－2； 解不等式②，得y≤a. ∵∀y<－2，关于y的不等式组成立，∴a≥－2， ∴－2≤a<6且a≠2. ∵a为整数，∴a＝－2，－1，0，1，3，4，5. 【感悟提升】　应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型 (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质． (2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 【跟踪训练】 3．设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2，x∈R}． (1)若命题p：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题q：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数a的取值范围． 解：∵A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}， ∴A＝{x|x≤－1或x≥4}． (1)∵命题p为真命题，∴A∩B≠∅， ∴或 ∴或 ∴a＝2或a≤－. ∴实数a的取值范围为. (2)∵命题q为真命题，∴B⊆A，有三种情况： ①解得a≤－3； ②解得a＝2； ③B＝∅，则2a>a＋2，解得a>2. ∴实数a的取值范围为{a|a≤－3或a≥2}． 1．下列命题中，不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘0都等于0 B．自然数都是正整数 C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数 D．一定存在没有最大值的二次函数 答案：D 解析：A项、B项、C项均为全称量词命题，D项是存在量词命题．故选D. 2．(多选)下列命题中是全称量词命题的是(　　) A．有些自然数是偶数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0 答案：BCD 解析：A项含有存在量词；B项可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；C项可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；D项是全称量词命题． 3．设非空集合A，B满足A⊆B，则(　　) A．∃x∈A，使得x∉B B．∀x∈A，有x∈B C．∃x∈B，使得x∉A D．∀x∈B，有x∈A 答案：B 解析：因为非空集合A，B满足A⊆B，所以A中元素都在B中，即∀x∈A，有x∈B. 4．对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案：a≤8 解析：依题可设A＝{x|x>8}，B＝{x|x>a}，则有A⊆B，即a≤8. 5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)∃x∈R，|x|＋2≤0； (2)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立； (3)每个二次函数的图象都与x轴相交． 解：(1)存在量词命题． ∵∀x∈R，|x|≥0， ∴|x|＋2≥2，不存在x∈R， 使|x|＋2≤0.故命题为假命题． (2)存在量词命题． ∵x2＋x＋8＝＋>0， ∴命题为假命题． (3)全称量词命题，假命题． 如存在y＝x2＋x＋1的图象与x轴不相交． 课后课时精练 一、选择题 1．给出下列命题： ①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0. 其中全称量词命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题． 2．下列命题是存在量词命题的是(　　) A．一次函数都是单调函数 B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0 C．存在实数大于或者等于3 D．菱形的对角线互相垂直 答案：C 解析：A，B，D中的命题都是全称量词命题，C中的命题是存在量词命题． 3．“存在集合A，使∅A”，对这个命题，下列说法中正确的是(　　) A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题 C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题 答案：C 解析：当A≠∅时，∅A，是存在量词命题，且为真命题．故选C. 4．下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是假命题 答案：C 解析：当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B，D错误，C正确．故选C. 5．(多选)下列是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x，y∈R，x2＋y2>0 C．∀x∈Q，x2∈Q D．∃x∈Z，使x2>1 答案：AC 解析：A项是真命题，同时也是全称量词命题；B项不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；C项是真命题，同时也是全称量词命题；D项是存在量词命题，不符合要求． 二、填空题 6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为_____________ _____________． 答案：∀x≤0，x3≤0 解析：命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0. 7．给出下列命题： ①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③空集是任何一个非空集合的真子集；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°. 其中既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号) 答案：①②③　④⑤ 解析：①②③都是全称量词命题，且都为真命题，④⑤⑥都是存在量词命题，但只有④⑤是真命题． 8．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x－a＝0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________． 答案：[－1，＋∞) 解析：由题意可得a＝x2＋2x，又因为当x∈R时，x2＋2x＝x2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1≥－1，所以当p为真命题时，实数a的取值范围是[－1，＋∞)． 三、解答题 9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假． (1)存在x，使得x－2≤0； (2)矩形的对角线互相垂直平分； (3)三角形的两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数． 解：(1)存在量词命题．如x＝2时，x－2＝0成立，所以是真命题． (2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题． (3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题． (4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题． 10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； (4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数． 解：(1)∀x∈R，使x2＋x＋1>0；真命题． (2)∀a，b∈R，使ax＋b＝0恰有一解；假命题． 如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个． (3)∃x，y∈Z，使3x－2y＝10；真命题． (4)∀x∈Q，使x2＋x＋1是有理数；真命题． 11．∃a∈R，关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程＋＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是(　　) A．－10 B．－12 C．－16 D．－18 答案：B 解析：解①得x≥－3，解②得x≤，依题意，不等式组的解集是－3≤x≤.∵不等式组仅有三个整数解，∴－1≤<0，解得－8≤a<－3，又＋＝1有整数解，即3y－a－12＝y－2，∴y＝，∵y≠2，∴a≠－6，且y＝是整数，∴a＝－8或－4，∴满足条件的所有a的值之和是－8－4＝－12.故选B. 12．已知命题p：“∃x∈[－1，1]，2x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”，若命题p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围． 解：若命题p为真命题，即∃x∈[－1，1]，使a≤2x2成立，则a≤(2x2)max，所以a≤2. 若命题q为真命题，则关于x的方程x2＋2x＋2－a＝0有实根． 所以Δ＝4－4×1×(2－a)≥0，解得a≥1. 所以实数a的取值范围为[1，2]． 10 学科网（北京）股份有限公司 $