精品解析：广东省深圳实验学校高中部2025-2026学年高一上学期第一阶段考试数学试题

深圳实验学校高中部2025-2026学年度第一学期第一阶段考试 高一数学 命题人：陈雪艳 审题人：曾嘉诚 终审：彭新春 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，若是必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数表示同一函数的是（    ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 与 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则且 C. D. “”是“”的充分条件 5. 若，，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 设函数，若实数满足，则（   ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，集合，，，若，则（ ） A. 的取值有个 B. C. D. 所有子集的个数为 10. 已知，，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为8 C. 的最大值为 D. 的最小值为2 11. 已知函数，下列说法正确的是（   ） A. 的最大值为 B. 在上单调递减 C. 的最大值为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围是________. 13. 全集是不大于的素数，若，，，则集合___________. 14. 若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，，， （1）已知，求实数的取值范围； （2）已知命题，命题，若是必要条件，求实数的取值范围. 16 已知函数，且． （1）求a； （2）用定义证明函数在上是增函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 18. 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 19. 已知函数. （1）若. （i）求不等式的解集； （ii）若对任意，，求实数的取值范围； （2）若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中部2025-2026学年度第一学期第一阶段考试 高一数学 命题人：陈雪艳 审题人：曾嘉诚 终审：彭新春 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到，根据交集概念求出答案. 【详解】， 又，故. 故选：C 2. 已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据题意，转化为集合是的真子集，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题， 设， 因为，可得集合不是空集， 又因为是的必要不充分条件，所以集合是的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 3. 下列各组函数表示同一函数的是（    ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数的定义，结合选项，利用函数的定义域和对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为，且， 可得函数与的定义域相同，且对应法则也相同， 所以两函数是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数定义域为，函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则且 C. D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】应用作差法判断A；由特殊值及不等式的性质判断B、C、D. 【详解】A：，则，则，错； B：若时满足，但且不成立，错； C：存时，，对； D：若，时，，此时不成立，错. 故选：C 5. 若，，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先求解出的范围，然后代入计算可求的范围. 【详解】因为，，所以，解得， 所以，即， 故选：B. 6. 设函数，若实数满足，则（   ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定的定义域，然后根据条件求解出的值，由此可计算出的值. 【详解】由条件可知的定义域为，所以， 当时，，此时无解； 当时，，解得； 所以， 故选：C. 7. 已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别分析命题p和命题q，再根据“p为假命题，q为真命题”的条件确定实数a的取值范围． 【详解】令，配方得，为二次函数，当时，取得最小值，当时，，所以当时，， 题目中p为假命题，所以或， 将不等式变形为，又，即， 令，因为函数、在均单调递减，所以在上单调递减，因此在上的最大值为，要使对所有恒成立，需，即命题q为真时，， 结合p假、q真的条件，取上述两者a的交集，所以的取值范围为． 故选：A． 8. 已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解. 【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有， 所以为定值，设，可得， 又由，可得，解得或（舍去）， 所以，则方程，即，即， 则关于的方程恰有两个实数根，即， 即函数和有两个交点， 设，则，即且，可得， 当时，函数单调递增；当时，函数单调递减， 所以，且，当时，， 要使得方程恰有两个不等的实数根，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，集合，，，若，则（ ） A. 的取值有个 B. C. D. 所有子集的个数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 10. 已知，，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为8 C. 的最大值为 D. 的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由基本不等式即可判断选项A；结合“1”妙用及基本不等式即可判断选项B；由，结合B选项的结论即可判断选项C；先部分通分，结合“1”的妙用，再用基本不等式，且注意等号是否可以取到，进而即可判断选项D． 【详解】由，， 对于A，由，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于B，由， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于C，由B选项可知，，所以， 当且仅当，时等号成立，即的最大值为，故C正确； 对于D，由， 则，当且仅当，即且时等号成立， 联立，整理得到，由，则，无实数解， 所以等号取不到，即，即的最小值不是2，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数，下列说法正确的是（   ） A. 的最大值为 B. 在上单调递减 C. 的最大值为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出函数解析式，再结合二次函数的性质求解判断即可；对于B，求出函数的解析式，再判断单调性；对于C，求出函数的解析式，再利用不等式，求解判断即可；对于D，求出函数的解析式，再利用其单调性求解判断即可. 【详解】对于A，，， 则时，取得最大值为，故A正确； 对于B，，， 函数在上单调递增，故B错误； 对于C，由，则， 即，当且仅当时等号成立， 则，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，故C正确； 对于D，，， 函数在上单调递增， 则时，取得最小值， 时，取得最大值， 则的取值范围为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】应用不等式的性质求的范围即可. 【详解】由，则，而，故， 所以，的取值范围是. 故答案为： 13. 全集是不大于的素数，若，，，则集合___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可根据素数的定义得出，然后根据题意绘出韦恩图，最后根据韦恩图即可得出结果. 【详解】因为全集是不大于的素数，所以， 因为，所以， 因为，， 所以可绘出韦恩图，如图所示： 由韦恩图可知，， 故答案为：. 【点睛】本题考查根据集合运算结果求集合，考查素数的定义，素数是指在大于的自然数中，只能被和该数本身整除的数，考查韦恩图的应用，能否根据题意绘出韦恩图是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题. 14. 若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】令，代入不等式进行化简，消除，再令，进行化简，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，，令，所以， 则，所以， 由对任意实数，成立，所以求的最大值， 因为，则，令， 所以，上下同除以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以， 所以实数的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，，， （1）已知，求实数的取值范围； （2）已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集的定义即可求解； （2）由题意可得，根据参数的取值分类讨论即可求解. 【小问1详解】 ，或， 因，故， 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 由于是的必要条件，所以， 因， ① 当时，，此时，符合题意； ② 当时，，由，可得，解得， ③ 当时，，由，可得，解得， 综上所述：， 即实数的取值范围为. 16. 已知函数，且． （1）求a； （2）用定义证明函数在上是增函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）将代入函数，求解即可. （2）利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解. （3）由（2）知，得到函数在上为单调递增函数，进而求得函数的最值. 【小问1详解】 因为函数，且，可得，解得. 【小问2详解】 由（1）知，任取，，且， 则， 因为，且，可得，，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. 【小问3详解】 由（2）知，函数在上为单调递增函数， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2）； （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）2和是方程的两个实数根，将代入，解得，求出方程的另一实数根为，即； （2）参变分离得到，由基本不等式求出的最小值，得到答案； （3）因式分解得到，分，，，，，求出不等式的解集. 【小问1详解】 由关于的不等式的解集为，得， 且2和是方程的两个实数根， 将代入可得，解得， 所以的另一实数根为，即，所以，. 【小问2详解】 由，得，又，所以恒成立. 当时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为； 【小问3详解】 当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，. 若，，不等式解集为； 若，不等式可化为，此时不等式解集为； 若，，不等式解集为； 若，，不等式解集为或. 综上可知， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为或. 18. 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【答案】（1） （2）存在 【解析】 【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. 【小问2详解】 由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 19. 已知函数. （1）若. （i）求不等式的解集； （ii）若对任意的，，求实数的取值范围； （2）若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）判断函数的单调性，结合，利用单调性可求得结果； （ii）分别在和的情况下将不等式化为和，采用分离变量的方式，结合函数最值可求得结果； （2）将恒成立的不等式化为，由此可求得；由绝对值不等式的求法可进一步将不等式化为，分别在和的情况下，结合函数最值构造不等式求得结果. 【小问1详解】 当时，； （i）由二次函数性质知：在上单调递增， ，由得：，即不等式的解集为. （ii）①当时，， 则由得：， 又在上单调递增，，； 当时，不成立； 当时，，与矛盾，不合题意； 当时，恒成立，又， 不存在满足题意的； ②当时，， 则由得：， 又在上单调递增，，， ，，； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由得：； 当时，恒成立，， 又在上单调递减，，解得：； 由得：，， ①当时，，， 存在实数，满足，， 解得：，； ②当时，，， 存在实数，满足，，解得：或， ； 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调求求解函数不等式、恒成立问题的求解；本题第二问求解的关键是能够结合绝对值不等式的求法，采用分离变量的思想，利用函数最值构造出关于变量的不等式，从而解不等式求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $