12.2因式分解的方法（十字相乘法）（题型专练）数学沪教版五四制2024七年级上册

12.2 十字相乘法 A 基础达标题 题型一、二次项系数为负数 1 题型二、正正正分解正正式 2 题型三、正正负分解大正小负式 3 题型四、正负正分解负负式 4 题型五、正负负分解大负小正式 7 题型六、一次项系数绝对值与常数项相邻 8 B 能力提升题 题型一、公式法与十字相乘法综合 10 题型二、十字相乘中求参问题 11 题型三、二次齐次式 13 题型四、三次齐次式 14 题型五、高次三项式 14 题型六、十字相乘中整体思想的运用 16 题型七、十字相乘的应用 17 C 拓展培优题 题型一、二次项系数为负数 方法解读：一般地，把负号提到括号外面，再将括号内二次三项式十字相乘. 1．分解因式 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是关键． 利用十字相乘法进行分解因式即可得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 2．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取负号，然后根据十字相乘法因式分解即可． 【详解】解∶原式 故答案为∶． 3．； 【答案】 【详解】 题型二、正正正分解正正式 方法解读：一般地，二次三项式中前面符号都为正，十字相乘一般分解成（x+a）（x+b）形式，简记：+++→++. 5．把分解因式得，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解与整式乘法的关系是解决本题的关键．利用多项式乘多项式法则先计算，根据因式分解和整式乘法的关系确定． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 6．因式分解：； 【答案】； 【详解】解：原式； 7．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，利用十字乘法分解因式即可． 【详解】解： ； 8．分解因式：； 【答案】 【详解】解：令， 则原式， ∴； 题型三、正正负分解大正小负式 方法解读：一般地，二次三项式中前面符号为正正负，十字相乘拆解常数项一般会较大数为正、较小数为负 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法．利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：原式 故答案为： 10．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．先将看作整体，利用十字相乘法分解，再对利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 11．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、因式分解等知识，首先根据完全平方公式和整式加法运算法则将原式整理为，再提公因式4，然后利用十字相乘法进一步因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 12．因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 连续利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】 ． 13．分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法进行因式分解． 【详解】解：原式． 题型四、正负正分解负负式 方法解读：一般地，二次三项式中前面符号为正负正，十字相乘拆解常数项一般会拆成两个负数. 14．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解，熟练因式分解的方法是解题的关键．利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解；利用十字相乘法求解即可． 【详解】 故答案为：． 16．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解．将看作整体，从而因式分解为两个多项式相乘的形式． 【详解】解：， ， 故答案为：． 17．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法进行因式分解，整体思想，本题的关键是把看作一个整体． 根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，先把当成一个整体进行分解，再逐个括号进行分解即可． 【详解】 ． 19．因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 20．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了十字相乘法分解因式，直接利用十字相乘法分解因式得出答案 【详解】解： ． 21．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先利用完全平方公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解； ． 22．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用十字相乘法分解因式；先利用十字相乘法分解，再继续利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 题型五、正负负分解大负小正式 方法解读：一般地，二次三项式中前面符号为正负负，十字相乘拆解常数项一般会较大数为负、较小数为正. 23．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提取公因式法、公式法、十字相乘法、换元法等）是解题关键．利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 24．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是利用十字乘法，公式法分解因式，先利用十字乘法分解，再结合完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ； 25．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式．先利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式十字相乘法继续分解因式即可． 【详解】解； ． 26．分解因式 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，将看作整体，根据十字相乘因式分解和完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 27．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提取公因式法、十字相乘法、公式法、换元法、分组分解法等）是解题关键．先将作为一个整体，利用十字相乘法分解因式，然后利用十字相乘法再次分解两个因式即可得． 【详解】解： ． 题型六、一次项系数绝对值与常数项相邻 方法解读：一般地，二次三项式中一次项系数和常数项相加为±1时，十字相乘法中可以优先考虑常数项拆解成“1×本身”，因式一般会出现（x+1）或（x-1），但也要考虑特殊情况，如：6=-2×（-3）. 28．因式分解： 【答案】 【详解】解：； 29．分解因式： ． 【答案】 【分析】先提公因式，再按十字乘法分解因式即可得到答案． 【详解】解： 【点睛】本题考查的是提公因式法，十字乘法分解因式，掌握相关的知识点是解题的关键． 30．分解因式：a2 - 2a - 3 = . 【答案】（a - 3）（a + 1） 【分析】根据十字相乘法即可因式分解. 【详解】a2 - 2a - 3 =（a - 3）（a + 1） 故填：（a - 3）（a + 1）. 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知十字相乘法. 31．分解因式：a2+5a﹣6= ． 【答案】（a﹣1）（a+6） 【详解】试题分析：原式利用十字相乘法分解即可． 解：原式=（a﹣1）（a+6）， 故答案为（a﹣1）（a+6） 考点：因式分解-十字相乘法等． 32．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提公因式再进行十字相乘进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 33．分解因式：x2﹣5x+6＝ ． 【答案】（x-2）（x-3） 【分析】原式利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：原式=（x-2）（x-3）， 故答案为：（x-2）（x-3）． 【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 题型一、公式法与十字相乘法综合 34．因式分解：． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，先用平方差公式，再用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 35．分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；先根据整体思想把代数式展开，然后再根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 36．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．前三项利用十字相乘法分解，再将看作整体，然后利用十字相乘法分解继续分解即可． 【详解】解： ． 题型二、十字相乘中求参问题 37．若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式．把16分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：， 所以或或或或或． ∴整数k的值是或或， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 38．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据两个一次多项式的两个一次项的乘积得到结果中的二次项，两个常数项的积得到结果中的常数项，从而可判断出另一个因式，再利用整式的乘法进行计算，即可得到答案． 【详解】解： 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式， 由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为 常数项为 故选：A 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键． 39．已知，其中k、q均为整数，则 ． 【答案】或15 【分析】把等式右边展开，由对应相等得出，，再由k，q均为整数，求出k和q的值，即可求出答案． 本题考查因式分解—十字相乘法等，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 故答案为或15 40．已知m，n为正整数，，且，则 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把两边同时乘以3得到，再利用十字相乘法分解因式得到，根据，，可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都为正整数 ∴都是大于1的正整数， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：13． 题型三、二次齐次式 概念解读：每一项次数都相等. 41．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 42．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法可进行分解因式． 【详解】解：原式； 故答案为． 43．分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 44．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化为，化为，用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 题型四、三次齐次式 45．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式即可得到答案． 【详解】解： ． 46．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是关键，先提公因式，再进行十字相乘法因式分解． 【详解】解： 题型五、高次三项式 47．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，能提取公因式的先提取公因式，再利用平方差或完全平方公式进行分解即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 先用十字相乘法分解，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 48．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题有a的四次项、a的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前三项提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项继续利用平方差公式分解因式． 【详解】解： = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了分组分解法，十字相乘法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，利用平方差公式分解后还要继续利用十字相乘法分解因式，注意分解因式要彻底． 49．多项式可分解为 ． 【答案】 【分析】根据分解因式的方法，先把变成，再根据提公因式法和十字相乘法分解因式即可． 【详解】解析：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解的方法——提公因式法和十字相乘法，解决此题的关键是要想到把分开用． 50．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型六、十字相乘中整体思想的运用 51．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，多项式乘法． 利用十字相乘法分解因式，重新组合，按照多项式乘法计算，再用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 52．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键． 先把原式展开化简，然后再运用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ， ． 53．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．令，将原式变为，然后将代入再分解因式即可． 【详解】解：令则原式变为： ， ∴原式 ． 题型七、十字相乘的应用 54．通过计算几何图形的面积，可得到一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式: ． 【答案】 【分析】本题主要考查了十字相乘法分解因式，利用面积相等得出等式是解题关键．根据图形中的正方形和长方形的面积之和，与整体图形的面积相等，进而得出等式即可得解． 【详解】解：由面积相等可得：， 故答案为：． 55．阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是理解题意，熟练掌握十字相乘法． （1）根据题干中提供的信息，进行因式分解即可； （2）分两种情况对将进行因式分解，得出或，然后再分别代入进行验证即可． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 56．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． ①；②；③． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． （1）把拆成即可；把拆成即可；把拆成即可； （2）把拆成，把拆成即可． 【详解】（1）解： （2）解： 57．若关于的二次三项式因式分解为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】把括号打开，求出的值，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算． 58．因式分解： 【答案】 【分析】先提取公因式后，再利用十字相乘法进行分解即可． 【详解】解； 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 59．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握公式法与十字乘法分解因式是解本题的关键，先利用十字乘法可得，再进一步利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 60．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用了整体思想；把作为一个整体，利用多项式乘多项式展开并整理得，再连续两步利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 61．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先把看做一个整体利用十字相乘法分解因式，再继续利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 62． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)；43或 【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可． 【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以． 故答案为：． （2）①把二次项系数2写成，，满足，所以． 故答案为：． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足， 所以． 故答案为：． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件， 所以． 故答案为：． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件， 所以m=或m=， 故m的值为43或-78． 【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.2 十字相乘法 A 基础达标题 题型一、二次项系数为负数 1 题型二、正正正分解正正式 1 题型三、正正负分解大正小负式 2 题型四、正负正分解负负式 2 题型五、正负负分解大负小正式 4 题型六、一次项系数绝对值与常数项相邻 4 B 能力提升题 题型一、公式法与十字相乘法综合 5 题型二、十字相乘中求参问题 5 题型三、二次齐次式 5 题型四、三次齐次式 6 题型五、高次三项式 6 题型六、十字相乘中整体思想的运用 6 题型七、十字相乘的应用 7 C 拓展培优题 题型一、二次项系数为负数 方法解读：一般地，把负号提到括号外面，再将括号内二次三项式十字相乘. 1．分解因式 2．因式分解： 3．因式分解：； 题型二、正正正分解正正式 方法解读：一般地，二次三项式中前面符号都为正，十字相乘一般分解成（x+a）（x+b）形式，简记：+++→++. 5．把分解因式得，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 6．因式分解：； 7．因式分解：． 8． 分解因式：； 题型三、正正负分解大正小负式 方法解读：一般地，二次三项式中前面符号为正正负，十字相乘拆解常数项一般会较大数为正、较小数为负 9．因式分解： ． 10．因式分解：． 11． 因式分解：． 12． 因式分解： 13． 分解因式：． 题型四、正负正分解负负式 方法解读：一般地，二次三项式中前面符号为正负正，十字相乘拆解常数项一般会拆成两个负数. 14．因式分解： ． 15．在实数范围内分解因式： ． 16．因式分解：． 17． 因式分解： 18． 分解因式： 19． 因式分解： 20． 因式分解：． 21． 因式分解： 22．分解因式： 题型五、正负负分解大负小正式 方法解读：一般地，二次三项式中前面符号为正负负，十字相乘拆解常数项一般会较大数为负、较小数为正. 23．分解因式： ． 24．因式分解： 25． 因式分解：． 26． 分解因式 27． 分解因式：． 题型六、一次项系数绝对值与常数项相邻 方法解读：一般地，二次三项式中一次项系数和常数项相加为±1时，十字相乘法中可以优先考虑常数项拆解成“1×本身”，因式一般会出现（x+1）或（x-1），但也要考虑特殊情况，如：6=-2×（-3）. 28．因式分解： 29．分解因式： ． 30．分解因式：a2 - 2a - 3 = . 31．分解因式：a2+5a﹣6= ． 32．因式分解： ． 33．分解因式：x2﹣5x+6＝ ． 题型一、公式法与十字相乘法综合 34． 因式分解：． 35． 分解因式：． 36． 因式分解： 题型二、十字相乘中求参问题 37．若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 38．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 39．已知，其中k、q均为整数，则 ． 40．已知m，n为正整数，，且，则 ． 题型三、二次齐次式 概念解读：每一项次数都相等. 41．因式分解： ． 42．因式分解： ． 43．分解因式 ． 44．分解因式： 题型四、三次齐次式 45．因式分解： 46．因式分解： 题型五、高次三项式 47．分解因式： ． 48．分解因式： ． 49．多项式可分解为 ． 50．因式分解： 题型六、十字相乘中整体思想的运用 51． 因式分解： 52． 因式分解： 53．因式分解：． 题型七、十字相乘的应用 54．通过计算几何图形的面积，可得到一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式: ． 55．阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 56．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． ①；②；③． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 1．若关于的二次三项式因式分解为，则的值为 ． 2．因式分解： 3． 因式分解：． 4． 因式分解：． 5． 因式分解：． 6． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 试卷第1页，共3页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $