22.3实际问题与二次函数典例精讲与跟踪训练-2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数典例精讲与跟踪训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版 典例精讲 精讲一：拱桥问题 某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ (3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 【答案】(1) (2)这辆货运汽车能安全通过 (3)两排灯的水平距离最小是 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出抛物线的顶点为，设抛物线的表达式为，再把点代入计算，即可作答． （2）理解题意，得出货运汽车的另一侧与地面交点的横坐标为2或10，再把或分别代入，进行计算，即可作答． （3）把代入进行计算，得， ，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵隧道宽度为12米，最高处离地面10米， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的表达式为， ∵长方形宽为4米 ∴抛物线经过点， 把代入， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， 即该抛物线的表达式为， （2）解：由（1）得抛物线的顶点为 ∵一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽为，隧道内设双向车道， ∴货运汽车靠路面中心线行驶时，或 则其另一侧与地面交点的横坐标为2或10， ∴当时，， 当时，． ∴这辆货运汽车能安全通过． （3）解：由（1）得， 依题意，令，则， ∴， 解得， ， 则， ∴两排灯的水平距离最小是． 精讲二：销售问题 某商场试销一种商品，成本为每件元，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本单价的，一段时间后，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，销售情况如下表： 销售单价x（元） … … 销售量y（件） … … (1)请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式； (2)设商场所获利润为w元，商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价定为元时，获得利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，求一次函数解析式，二次函数的最值，正确理解题意列出对应的函数解析式是解题的关键， （1）设，将，代入，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出自变量的取值范围，再根据利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设，将，代入，得： 解得：， ∴y关于x的函数关系式为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴的左侧， ∴随的增大而增大， ∴时，， 答：销售单价定为元时，获得利润最大，最大利润是元． 精讲三：投球问题 在一场篮球赛中，队员甲面对面传给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离近似满足二次函数关系，且这次传球的出手高度是，球在运行过程中达到最大的高度是． (1)求与的函数关系式； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是， 他在原地能接到吗？如能接到，计算说明；如不能，他应该后退多少米才能恰好接到？ (3)球场界线在甲的传球方向前方处，如未能成功传球，篮球是否会出界？ 【答案】(1)与的函数关系式为； (2)他应该后退米才能恰好接到； (3)篮球会出界． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）由题意可得二次函数图象经过点，顶点坐标为，然后利用待定系数法即可求解； （）当时，求出的值，从而判断他在原地不能接到，然后令时，再解方程即可求解； （）当时，，求出的值，然后比较即可． 【详解】（1）解：∵这次传球的出手高度是，球在运行过程中达到最大的高度是， ∴二次函数图象经过点，顶点坐标为， ∴，解得：， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴他在原地不能接到， 当时，， 解得：，， （米）， ∴他应该后退米才能恰好接到； （3）解：当时，， 解得：，（舍去）， ∵， ∴篮球会出界． 精讲四：面积动点问题 如图，在中，，，，点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动，当点运动到点时，点也停止运动． (1)设运动时间为时，则___________，___________． (2)当为何值时，的面积为． (3)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)， (2)当或时，的面积为 (3)当时，四边形面积的最小值，最小面积为 【分析】本题主要考查勾股定理，动点的计算，二次函数图象的性质，一元二次方程的应用，理解图示中动点的运用，二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理得到，根据点的运动，线段长度的计算即可求解； （2）结合（1）的计算，根据面积公式计算即可； （3）根据题意，，，则，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动， 设运动时间为， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：根据题意，点从的时间为，点从的时间为， 由面积公式得，， 整理得，， 解得，， ∴当或时，的面积为； （3）解：，， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积的最小值，最小面积为． 跟踪训练 一、单选题 1．平面直角坐标系中有线段，已知，，若抛物线与线段只有一个交点，则的值不能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（　　） A． B． C． D． 3．小迪同学以二次函数的图象（O为坐标原点）为灵感设计了一款酒杯，如图为酒杯的设计稿，若，则酒杯的高为（   ） A． B． C． D． 4．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 5．如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面增加时，水面下降了（   ） A． B． C． D． 6．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 7．如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 8．剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点均落在抛物线（a、c为常数，）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为，则点B到x轴的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．抛物线的顶点为，且图象经过点，若是面积为16的等腰直角三角形，则 ． 10．如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 m，铅球推出的过程中最大高度是 m． 11．跨物理学科 将一小球从地面以的速度做竖直上抛运动，已知小球离地面的高度h（单位：）与抛出时间t（单位：s）的关系为，则当小球离地时，抛出的时间为 （g取）． 12．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 13．已知某种产品的成本价为30元/kg，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（单位：kg）与售价x（单位：元/kg）满足关系式：．设这种产品每天的销售利润为w（单位：元），则w与x之间的函数解析式为 ． 14．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为 ． 15．如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 16．如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ． 三、解答题 17．如图，抛物线与轴交于点，点在抛物线上． (1)将化成顶点式． (2)直接写出的面积． 18．已知二次函数（为常数）． (1)若图象经过点，判断图象是否经过点，并说明理由； (2)设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的函数关系式； (3)若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值． 19．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在保障每件商品利润不少于20元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)求每件商品降价x元时与该商品每天的销售量y之间的关系式； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？ 20．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 21．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线：为常数，且)，直线：为常数，且)，若，则 解决问题：抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)是抛物线上一动点，且在直线的上方不与，重合，求点到直线的距离的最大值． 22．综合与实践 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图，一个静止的小球从斜坡顶端滚下后，在水平木板上做直线运动，当小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与t的函数图象、y与t的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与t的函数关系为一次函数关系，y与t的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：（1）请你结合表格数据，分别求出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （2）当小球在水平木板停下来时，求此时小球的滑行距离． （3）若小球到达木板点A处的同时，在点A的右方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.3实际问题与二次函数典例精讲与跟踪训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D B B D D D 1．C 【分析】本题考查二次函数的综合应用，由题意，可知点在直线上，求出时，的值，根据抛物线与线段只有一个交点，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴点在直线上，且， 当时，解得或， ∵抛物线与线段只有一个交点， ∴或， ∴或， ∵两交点间的距离为，则， 故抛物线与线段只有一个交点，此时或， ∴的值不能为3； 故选C． 2．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质和解析式求解，准确计算是解题的关键． 根据球门高为米，可得当时，，即可得解． 【详解】球门高为米， 当时，， ， 可能是． 故选． 3．D 【分析】本题可先根据的长度确定点的横坐标，再代入二次函数求出点的纵坐标，最后结合二次函数顶点坐标求出的长度．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：，且抛物线关于轴对称 点的横坐标为 点在抛物线上 当时， 抛物线的顶点的坐标为 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出：当时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键． 根据题意得，抛物线顶点为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出，然后将代入求解即可． 【详解】用如图所示的方式建立平面直角坐标系， 根据题意得，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∵当水面增加时， ∴水面宽度为， ∴， ∴此时水面与抛物线右边的交点的横坐标为， ∴当时，． ∴当水面增加时，水面下降了． 故选：B． 6．D 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∴x的取值范围为，故②错误； 当时，即， 解得， ∵， ∴， ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确； ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确． 故选：D． 7．D 【分析】此题考查了函数的图象，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用和分类讨论的数学思想是解题的关键．根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出和，即可求出与的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴当点到点时，；当到点时，；当到点时，， 当点在上，即时，如下图所示 此时， ∴，， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 当点在上，即时，如下图所示，过点作于， 此时，， ∴四边形为矩形， 在中，，， ∴，， ∴， ∴，此时图象为逐渐上升的一条线段； 当点在上，即时，如下图所示， 此时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 综上：符合题意的图象为， 故选：． 8．D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． 依据题意，由点在抛物线上，则，可得抛物线为，结合点在抛物线上，从而求出a后可得抛物线的解析式为抛物线为，又点B在第一象限，到y轴的距离为，则B的横坐标为，令，则，即点B到x轴的距离为，进而可以得解． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴． ∴抛物线为． 又∵点在抛物线上， ∴． ∴． ∴抛物线为． ∵点B在第一象限，到y轴的距离为， ∴B的横坐标为． ∴令，则， 即点B到x轴的距离为． 故选：D． 9． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分情况进行讨论． 设抛物线顶点为 ，关于对称轴 对称，故设、，结合等腰直角三角形的性质和抛物线的性质，求出值，然后分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设抛物线顶点为 ，关于对称轴 对称，故设、， ∴长度为 到 的垂直距离为 ， ∵ 是等腰直角三角形（直角顶点为），故根据等腰直角三角形的性质，斜边上的高等于斜边的一半得，即 ， ∴， 解得（负值已舍）， 抛物线顶点式为， 当抛物线开口向下时，顶点为最高点，，将代入得， ∴ 解得； 当抛物线开口向上时，顶点为最低点，，将代入得， ∴ 解得； 综上，． 故答案为：． 10． 10 3 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由图可知，要求的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可；要求铅球推出的过程中最大高度，即求得顶点的纵坐标即可． 【详解】解：将代入， ， 整理得：， ， 解得：或（舍去） ∴铅球推出的水平距离的长是． ∵， ∴顶点的坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴铅球推出的过程中最大高度是． 故答案为：10；3． 11．1或3 【分析】当时，将其代入关系式得到关于的一元二次方程，然后通过因式分解求解该方程，得到抛出时间的值 ．本题主要考查了一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据实际问题列方程并求解是解题的关键，涉及知识点有二次函数的实际应用、一元二次方程的解法（因式分解法） ． 【详解】根据题意，得．整理，得 ， 解得， 小球离地时，抛出的时间为或． 12． 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 13． 【分析】根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式 【详解】解：根据题意得：， 代入得：， 整理得： 故答案为 14．8 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故答案为：8． 15． 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 16．4 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质. 分别求出，，求出直线的解析式，将代入即可. 【详解】如图， ∵，， ∴ ∵， ∴动点到达点时，动点到达点， 此时， ∴ ∵， ∴的面积降为0时，， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为， 当时， 解得： ∴当面积时，对应的运动时间的值是4 故答案为：4 17．(1) (2)2或6 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数与三角形的综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）二次函数的顶点形式为，据此即可获得答案； （2）首先确定点坐标，易得，再确定点的坐标为或，然后根据，分情况计算，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴将化成顶点式为； （2）解：对于抛物线， 当时，可有，即， ∴， 将点代入， 可得，解得， ∴点的坐标为或， 当点的坐标为时， 可有， 当点的坐标为时， 可有， 综上所述，的面积为2或6． 18．(1)不经过，理由见解析 (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解． （1）把点代入中，即可得到函数表达式，然后根据当时，，即可判断得解； （2）利用顶点坐标公式得到，，然后消去可得到与的关系式． （3）由抛物线不经过第三象限可得的取值范围，分别讨论与时，为最大值求解． 【详解】（1）解：把点代入中， ． ． 此函数表达式为：， 当时，． 图象不经过点． （2）解：抛物线函数的顶点坐标是， ，． ∴ 把代入， ． 与的函数解析式为． （3）解：由题意，把代入，得， ， ∴顶点坐标为： ∴抛物线不经过第三象限， 当对称轴在轴右侧时，，解得， 当对称轴在轴左侧时，，解得：。 综上所述：抛物线不经过第三象限时 当时，函数的最大值与最小值之差为16， 把代入，得， 把代入，得， 当时，， ∵， ∴， ∴当时，函数总是取最小值， ①当，为最大值时，依题意得：， 解得：，（不合题意舍去） ②当，为最大值时，依题意得：， 解得：，（不合题意舍去） 综上所述，或． 19．(1)； (2)当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大，最大利润为1250元． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，熟练掌握“每每降价问题”的解题方法是解题的关键． （1）由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式，再利用每件商品利润不少于20元，得出x的取值范围； （2）设商店每天销售利润为w元，由题意得每件商品的利润为元，列出w的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵每件商品利润不少于20元， ∴， ∴， ∴； （2）设商店每天销售利润为w元， 依题意得：， ∵，， ∴当时，w取得最大值，最大值为1250元， 即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大，最大利润为1250元． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求自变量取值范围，二次函数与一元二次方程， 对于（1），先表示花圃的长，再根据面积相等列出函数关系式； 对于（2），根据墙的长度可得，求出解集即可； 对于（3），将代入函数关系式，求出解即可. 【详解】（1）解：∵为x米、篱笆长为24米， ∴花圃长为米， ∴ ； （2）解：∵墙的可用长度为8米， ∴， 解得； （3）解：当时， ， 解得， ∵， ∴. 21．(1) (2)存在，点P的坐标或 (3) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据垂线间的关系，可得的解析式，根据解方程组，可得P点坐标； （3）根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值． 【详解】（1）解：将，两点坐标代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在，点P的坐标或， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 当时， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， 解得（舍），， 即； 当时， 同理得，直线的解析式为 联立直线与抛物线，得， 解得（舍），， 即 综上所述：是以为直角边的直角三角形，点P的坐标或； （3）解：如图：过点M作x轴的垂线交于点Q， ， 设，则 ∴， ∴， 当时，S取最大值，即， 由勾股定理，得， 设M到的距离为h， ∴， ∴， ∴点M到直线的距离的最大值是． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键． 22．（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得速度为0时，，将代入二次函数解析式，即可求解； （3）求得小球速度为的时间，此时两者相遇则为的最小值，据此即可求解． 【详解】解：（1）设， 将点代入得，， 解得：， ； 设， 将点代入得，， 解得：， ∴； （2）在中，当时，， 解得：， 当时，， ∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑动距离为； （3）当时，， 解得：， 当时，， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $