精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2025-2026学年高二上学期10月教学质量监测数学试题

马鞍山二中2025~2026学年高二10月教学质量监测 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试题卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的中性笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小. 【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 即，所以. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值. 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 3. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得. 故选：A. 4. 已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面，得与共面，利用共面向量定理列方程组求解即得． 【详解】因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面，即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得． 故选：B 5. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由于点在圆的外部，故 ，解得， 故选：C 6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图及空间向量加法可得，后由题意及模长公式可得答案. 【详解】设，因为六面体是平行六面体， 所以，因为， 代入计算可得： ， 故有：，所以， 所以，因为，所以. 故选：B 7. 在四棱锥中，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量法求出点到平面的距离，即为所求. 【详解】设平面的法向量，则， 令，得， 所以此四棱锥的高. 故选：B. 8. 已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得. 【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 如图： 所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时． 显然的最大值为1，故． 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 圆：和圆：的公共弦所在直线的方程为 B. 直线必过定点 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D. 已知向量，，若，则为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的一般方程作差求公共弦方程的方法，求出结果，判断选项A的正误；根据直线过定点的判断方法，对直线方程进行化简，判断B的正误；根据直线平行时的参数关系，求出参数值，进而根据平行线间距离公式，求出结果，判断C的正误；根据向量共线的判定方法，说明向量存在反向共线的情况，判断D的正误； 【详解】对于A，由两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程为，即，故A正确； 对于B，由，该直线恒过定点，故B错误； 对于C，由两直线平行可知，∴， 此时方程可化为， 故两直线距离为，故C正确； 对于D，当时，，， 此时，即，夹角为，不符合题意，故D错误； 故选：AC． 10. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确. 【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为， 对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方， 所以它的最大值为，所以A错误； 对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即， 由圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误； 对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上， 则点与圆心连线的斜率为， 根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为， 所以切线方程为，即，所以D正确. 故选：BD. 11. 如图，在正四棱柱中，，P是正四棱柱内一点（含表面），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则点在平面内 B. 若，，则平面 C. 若，则平面 D. 若，则点P到平面的距离为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，对于A，确定点坐标，即可判断，对于B，确定点坐标，由，可判断，对于C，确定点坐标，求得平面法向量，由可判断，对于D，由点到面的距离公式可判断. 【详解】 如图建立空间直角坐标系， ， 由可得：， 对于A，，即为的中点，所以点P在平面内，正确， 对于B，，则，， 由， 可知：，又为平面两条相交直线， 所以平面，正确， 对于C，， 设为平面的法向量， 则， 令，则， 即 又， 所以与不垂直， 所以平面不成立，错误； 对于D，，平面的法向量为， 所以点P到平面的距离为， 因为，所以，定值，正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知直线过点、，直线方向向量为，且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求其斜率，再结合两点斜率公式和垂直关系列式求解即可. 【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又因为过点、，且， 所以，解得． 故答案为：3 13. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出对应点坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】 不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴 建立空间直角坐标系，则， 则，. 故答案为：. 14. 已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 _________． 【答案】4 【解析】 【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解. 【详解】如图所示： 设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）经过直线：与直线：的交点，且与直线平行的直线的方程； （2）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据直线交点的求法，以及直线平行的参数关系，求出结果即可； （2）根据直线是否过原点，进行分类讨论，再根据截距式求直线方程即可. 【小问1详解】 ，解得，则交点M为． 又所求直线与平行，设所求直线方程为：， 代入，得，解得， 则所求方程为：． 【小问2详解】 当直线过原点时，显然满足条件，此时方程为：，即； 当直线不过原点，且横纵截距均不为0时，设满足题意方程为：． 则，解得，则方程为：，即． 则方程为：或． 16. 已知圆C：与圆：． （1）若圆C与圆有3条公切线，求r的值． （2）若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【答案】（1） （2）①；②（或写：） 【解析】 【分析】（1）根据两圆外切求出r即可； （2）①先判断两圆的位置关系，再利用垂径定理求出弦长； ②利用圆系方程，设圆，求出即可. 【小问1详解】 圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； 【小问2详解】 ①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 17. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上的点，满足. （1）证明：平面； （2）若，平面，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，结合中位线与平行四边形性质可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）可建立适当空间直角坐标系后，求出平面法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 连接点与的中点，连接， 又为的中点，则为的中位线，则且， 又，三棱柱中，，即， 则且，则四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 由平面，、平面， 则，，又， 则、、两两垂直，故以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、， 则、、， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，即， 设直线与平面所成角为， 则. 18. 已知点，，曲线C上任意一点P满足． （1）求曲线C的方程； （2）已知直线与曲线C交于E，F两点，求的最小值； （3）是否存在满足以下两个条件的直线l：①直线l在y轴上的截距为4；②直线l被曲线C截得的弦为，以为直径的圆过坐标原点O．若存在这样的直线l，请求出其方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，l：或 【解析】 【分析】（1）设点，根据两点间距离公式表示出和，再结合已知条件通过等式变形即可得到曲线C的方程； （2）先确定直线所过的定点，再根据圆的性质，当圆心与定点的连线垂直于直线时，弦长最短，利用勾股定理求出弦长的最小值； （3）设出直线l的方程，与圆的方程联立，根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再结合向量垂直的性质(以为直径的圆过原点O，则)求解直线方程． 【小问1详解】 设， ∵，，，∴， 则曲线C的方程：． 【小问2详解】 由，得，所以直线过定点， 由（1）知曲线C：． 当时，的值最小，因为，， 此时． 【小问3详解】 假设存在直线l满足要求，则由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，设，． 联立，则，∴， ∴判别式或（*） ，， 因为以为直径的圆过坐标原点O，故， ∴， ∴， ∴或，均满足（*）式， ∴直线l：或，即或． 19. 在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，，，平面平面． （1）求证：； （2）如图，且，求点到平面的距离； （3）设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ∵四边形为正方形，∴， 又平面，平面，∴平面， 又平面，平面平面，∴； （2） （3） 存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为， ∵，且平面为正方形， ∴点在平面上的射影是的中心，可设，则， ∴，解得． 即，， 设，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， ∴， 化简得，解得或， ∴当或时，直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，证明线线平行即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据点到面的距离的向量方法，求出结果即可； （3）根据线面角的正弦值的向量方法，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据公式列出方程，求出结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，取中点，连接，则， ∵平面，平面，平面， ∴，， ∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，解得，即平面的一个法向量为， ∴点M到平面PBC的距离为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山二中2025~2026学年高二10月教学质量监测 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试题卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的中性笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 4. 已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. 6 D. 8 8. 已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 圆：和圆：的公共弦所在直线的方程为 B. 直线必过定点 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D. 已知向量，，若，则为钝角 10. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 11. 如图，在正四棱柱中，，P是正四棱柱内一点（含表面），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则点在平面内 B. 若，，则平面 C. 若，则平面 D. 若，则点P到平面的距离为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知直线过点、，直线方向向量为，且，则______． 13. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 14. 已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 _________． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）经过直线：与直线：的交点，且与直线平行的直线的方程； （2）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等． 16. 已知圆C：与圆：． （1）若圆C与圆有3条公切线，求r的值． （2）若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 17. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上的点，满足. （1）证明：平面； （2）若，平面，，，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知点，，曲线C上任意一点P满足． （1）求曲线C的方程； （2）已知直线与曲线C交于E，F两点，求的最小值； （3）是否存在满足以下两个条件的直线l：①直线l在y轴上的截距为4；②直线l被曲线C截得的弦为，以为直径的圆过坐标原点O．若存在这样的直线l，请求出其方程；若不存在，请说明理由． 19. 在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，，，平面平面． （1）求证：； （2）如图，且，求点到平面的距离； （3）设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $