4.4.2 对数函数的图象与性质过关练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.2 对数函数的图象与性质 一、单选题 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．   C．  D．   3．图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则（    ） A．（1,2） B．（1,2] C．（-2,1） D．[-2,1) 5．设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．若函数在单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的减区间为（    ） A． B． C． D． 9．设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 二、多选题 10．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数的值域为，则实数 C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D．若，则不等式的解集为 三、填空题 12．已知函数与函数的图象关于直线对称，则不等式的解集为 . 13．若（，且），则a的取值范围为 ． 14．已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 15．已知，若，则 ；若，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 16．已知函数（且），且函数的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数m的取值范围． 17．（1）函数的图象是由的图象如何变化得到的？ （2）在坐标系中作出的图象（不要求写作法）； （3）设函数与函数的图象的两个交点的横坐标分别为，设，请判断的符号． 18．设为奇函数，为常数. （1）求的值； （2）证明在区间内单调递增； （3）若对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．已知定义在R上的函数满足且，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数a取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D D D D C D BD 题号 11 答案 AC 1．C 由对数函数的性质结合复合函数的定义域可得. 要使有意义，必须解得：． 故选：C. 2．C 由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得. A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 3．A 在第一象限，对数函数图象越接近轴底数越大，进而可得答案． 解：由已知中曲线是对数函数的图象， 由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，， 由取，，，四个值， 故，，，的值依次为，，，， 故选：． 4．D 由得，由得， 故，选D. 5．D 根据对数函数单调性得到，再利用换底公式和作差法得到，比较出大小关系. ， 其中，，所以， 故，所以. 故选：D. 6．D 求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的增区间. 对于函数，有，解得或， 故函数的定义域为， 内层函数在上单调递减，在上单调递增， 外层函数为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为. 故选：D. 7．D 根据给定条件利用对数型复合函数单调性列式求解作答. 函数中，令，函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，则函数在上单调递增，且， 因此，，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：D 8．C 根据方程，求得，得到，结合复合函数单调性的判定方法，即可求求解. 因为，可得， 当时，，方程不成立； 当时，方程显然不成立； 当时，，方程不成立； 所以，即，可函数为单调递减函数， 由函数，则，解得或， 当时，单调递减，所以单调递增； 当时，单调递增，所以单调递减， 所以函数的递减区间为. 故选：C. 9．D 根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 10．BD 分和两种情况讨论两个函数的单调性进行判断. 当时，在单调递增且其图象恒过点， 在单调递增且其图象恒过点， 则选项B符合要求； 当时，在单调递减且其图象恒过点， 在单调递减且其图象恒过点， 则选项D符合要求； 综上所述，选项B、D符合要求. 故选：BD. 11．AC 函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围； 若函数的值域为等价于的最小值为，由此可列出方程，即可求出实数的值； 若函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围； 若，，即可解出不等式；即可选出答案. 对于A，因为的定义域为，所以恒成立，则，解得，故A正确； 对于B，因为的值域为，所以的最小值为，所以，解得，故B错误； 对于C，因为函数在区间上为增函数， 所以当m=0时，，符合题意； 当时，，解得；所以，故C正确； 对于D，当m=0时，，由，可得，解得，故D错误. 故选：AC. 12． 根据反函数的性质可知，再利用对数函数的单调性解不等式． 解：函数与函数的图象关于直线对称， ， ． 又在上单调递增 ． ∴不等式的解集为． 故答案为：． 13． 分类讨论求解对数不等式即可. 当时，，则； 当时，，则． 综上所述，实数a的取值范围是． 故答案为： 14． 根据题意，求得，化简，结合二次函数的性质，即可求解. 因为函数的定义域为， 则函数中，必须满足，解得，所以， 又由， 当时，函数取得最小值，最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域是. 故答案为：. 15． 先判断函数的奇偶性，由求解；再根据函数的单调性，由求解. 因为的定义域为R，且， ，所以是奇函数， 又，则-2； 因为在上是增函数， 所以在上是增函数，又是R上的奇函数， 所以在R上递增，且， 所以由，得， 即，所以， 解得或， 所以实数的取值范围是， 故答案为：， 16．（1）；（2）. (1)将点代入函数解析式，求出，可得的解析式； (2)解对数不等式，结合函数的定义域，可求出实数的取值范围． (1)，解得，故函数的解析式 (2) 即，解得或 故实数m的取值范围是 17．（1）向右平移个单位得到的；（2）见解析；（3） （1）由“左加右减”直接得到答案； （2）由翻折变换作图即可； （3）作图观察可知，1＜x1＜2，2＜x2＜3，进而得到结论． （1）函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的． （2）在下边的坐标系中作出的图象，如图所示： （3）设函数与函数的图象的两个变点的横坐标分别为，，不妨设， 则，（不要求说明理由） ∴ 18．（1）；（2）见解析；（3） （1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得的值； （2）运用单调性的定义，结合对数函数的单调性即可得证； （3）由题意可得即恒成立.令.只需，由的单调性即可得到最小值. （1）∵， ∴. ∴，即， 解得，检验（舍）， ∴； （2）由（1）可知， 证明：任取，即有， 即，即， 即有， 即， ∴在上为增函数； （3）设， 由（2）得在上为增函数，在上单调递减， 则在上为增函数， ， 又对恒成立， ， . 19．(1) (2) (3) （1）根据，代入计算可得； （2）根据单调性得，分离参数求最值即可. （3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可. （1）由题意知，， 即，所以， 故. （2）由（1）知，， 所以在R上单调递增， 所以不等式恒成立等价于， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时取等号， 所以， 故实数a的取值范围是. （3）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $