第三章 整式及其加减题型总结（探索与表达规律）2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

北师大版七年级上册第三章 整式及其加减题型总结（探索与表达规律） 【题型一】规律型：数字的变化类 【例1】（2025春•碑林区校级月考）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 则（a+b）10中，第三项系数为（　　） A．45 B．50 C．55 D．60 【例2】（2025•碑林区校级开学）盒子中原来有5个小球，魔术师从中任取几个小球，把每一个小球都变成5个小球放回盒中；他又从中任取一些小球，把每一个小球又都变成5个小球放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术，此时盒中球的总数可能是（　　） A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 【例3】（2025春•金台区校级期中）如图所示是一个“数值转换机”，若开始输入x的值是8，则第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，…，第2025次输出的结果是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【例4】（2025•碑林区校级一模）分数的整数部分是 　 　 ． 【变式1】（2025春•灞桥区校级月考）杨辉三角是数字呈三角形形状的排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》指出这个三角形排列出自于北宋时期贾宪（11世纪）的《释锁》．在欧洲，帕斯卡于1654年发现这一规律，比贾宪的发现要迟约500年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是（　　） A．153 B．171 C．190 D．210 【变式2】（2024秋•白河县期末）让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数n1＝5，计算得a1； 第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算得a2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算得a3；…． 以此类推，则a2025的值为（　　） A．26 B．65 C．122 D．123 【变式3】（2025春•雁塔区校级期中）定义新运算：，．若a⊗b＝a*b，则称有理数a，b为“隔一数对”．例如：，，即2⊗3＝2*3，所以2，3就是一对“隔一数对”．已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算1⊗2+2⊗3+3⊗4+4⊗5+…+2024⊗2025＝（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025秋•秦都区校级月考）先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，，…，， 所以： ＝（1）+（）+（）+…+（） ＝1 ＝1 ． 问题：计算：①； ②． 【变式4】（2025•碑林区校级一模）有一列分数：，…，则第2013个分数是 变化类．版权所有 【题型二】规律型：图形的变化类 【例1】（2024秋•富平县期末）如图是由相同大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中共有6个小圆圈，第②个图形中共有9个小圆圈，第③个图形中共有12个小圆圈，…，按此规律，则第㉔个图形中小圆圈的个数为（　　） A．75个 B．72个 C．69个 D．66个 【例2】（2024秋•新城区校级期中）下列图形都是由同样大小的灰色正方形纸片组成，其中第1个图中有3张灰色正方形纸片，第2个图中有5张灰色正方形纸片，第3个图中有7张灰色正方形纸片，…，按此规律排列下去，则第50个图中灰色正方形纸片的张数为（　　） A．150张 B．101张 C．100张 D．99张 【例3】（2024秋•千阳县期末）如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，记第1个图形中总的点数为S2＝3，第2个图形中总的点数为S3＝6，依次为S4＝9，S5＝12．以下说法错误的是（　　） A．S7＝18 B．S11＝30 C．若Sn＝60，则n＝21 D．若Sn+Sn+1＝57，则n＝11 【例3】（2024秋•府谷县期末）如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，…，按此规律摆下去，若第n个图中有93颗黑色棋子，则n的值为（　　） A．28 B．31 C．29 D．30 【变式1】（2024秋•东港区校级期末）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处．按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6…An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点A2024与A1A的中点的距离是（　　） A．12﹣3 B．9﹣3 C．12﹣3 D．9﹣3 【变式2】（2024秋•杨陵区期末）如图，小奕用火柴棒摆图形，第1个图形用了6根火柴棒；第2个图形用了11根火柴棒；第3个图形用了16根火柴棒…照这样的规律摆下去，第10个图形需要火柴棒的根数是（　　） A．49根 B．50根 C．51根 D．60根 【变式3】（2024秋•雁塔区校级期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第6个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【变式4】（2025•西安校级开学）如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…；则第㊿个图形小正方形的个数为（　　） A．245 B．246 C．254 D．255 【课后练习】 1．（2024秋•秦都区期末）已知整数a1、a2、a3、a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2024的值为（　　） A．﹣1012 B．﹣1011 C．﹣1013 D．﹣2024 2．（2024春•长安区月考）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即（a+b）n（n＝0，1，2，3，…）展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）6展开式的系数和是（　　） A．32 B．64 C．128 D．256 3．（2024秋•雁塔区校级期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（　　） A．42 B．76 C．142 D．272 4．（2025•西安校级开学）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【应用体验】 已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 　 　 ． 5．（2025•碑林区校级自主招生）小明从0，1，2，…，9共10个数字中选择6个不同的数分别填入下面的方框中，使其计算的结果恰好为91，则共有　 　 种不同的填法． 6．（2025•旬邑县校级模拟）大衍数列：0，2，4，8，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是 　 　 ． 7．（2025•秦都区校级模拟）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律可得（a+b）5展开的多项式中各项系数之和为 　 　 ． 8．（2025•雁塔区校级模拟）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2025次输出的结果为 　 　 ． 9．（2025春•金台区校级期中）观察： 1×3+1＝4＝22； 2×4+1＝9＝32； 3×5+1＝16＝42； 4×6+1＝25＝52； … 你发现了什么规律？根据你发现的规律，请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来：　 　 ． 10．（2025•长安区校级四模）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”．若用有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，如（3，2）表示正整数2，（4，3）表示正整数3，则（7，4）表示的正整数是 　 　 ． 11．（2025春•新城区校级月考）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解答下列问题： （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 12．（2024秋•南郑区期末）如图是某种分子的结构模型，它由半径相同的空心小圆和实心小圆（图中涂黑色的）按如图所示的方式推列、第1个图形共有4个小圆，第2个图形共有6个小圆，第3个图共有8个小圆，…依此规律，第100个图形的空心小圈的个数是（　　） A．101 B．102 C．103 D．104 13．（2024秋•道县期末）如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第20个图案需用火柴棒的根数为（　　） A．20 B．41 C．80 D．81 14．（2023秋•岚皋县校级期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有2029个灰色小正方形，则这个图案是（　　） A．第504个 B．第505个 C．第506个 D．第507个 15．（2024秋•吴堡县校级期末）如图，小奕用火柴棒摆图形，第1个图形用了6根火柴棒；第2个图形用了11根火柴棒；第3个图形用了16根火柴棒…，照这样的规律摆下去，第10个图形需要火柴棒的根数是（　　） A．49根 B．50根 C．51根 D．60根 16．（2024秋•长安区校级期末）用木棒按如图所示的规律摆放图形，第1个图形需要6根木棒，第2个图形需要11根木棒，第3个图形需要16根木棒，…，按这种方式摆放下去，用含n的代数式表示第n个图形需要木棒的根数为（　　） A．6n B．5n+1 C．5n﹣1 D．4n+2 17．（2024秋•碑林区校级期末）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是一个个六角形房室．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，若第n个图案中“”的个数是301，则n的值为（　　） A．98 B．99 C．100 D．101 18．（2024秋•渭城区期末）如图是用围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案，第1个“箭头”图案中有7颗围棋子，第2个“箭头”图案中有10颗围棋子，第3个“箭头”图案中有13颗围棋子，…，按照这样的规律摆下去，则第10个“箭头”图案中的围棋子有（　　） A．28颗 B．30颗 C．32颗 D．34颗 19．（2025•未央区校级开学）如图是由大小相同的★组成的图形，第①个图形中有4个★，第②个图形中有7个★，第③个图形中有10个★，第④个图形中有13个★，…，按此规律摆下去，第89个图形中共有多少个★？（　　） A．265 B．266 C．267 D．268 20．（2024秋•华阴市期末）下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中图1“山”字中有7颗棋子，图2“山”字中有12颗棋子，图3“山”字中有17颗棋子，图4“山”字中有22颗棋子，⋯，按照此规律，若图n中“山”字中有207颗棋子，则n的值为（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 21．（2024秋•长安区月考）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为15..以此类推，则第10幅图形中“●”的个数为（　　） A．100 B．120 C．220 D．240 22．（2025•白河县校级二模）2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形…按此规律拼接下去，第n个图案中需要　 　 个基本图形．（用含n的代数式表示） 23． （2025•汉台区二模）花窗映蛇岁，新春共欢颜．如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小平行四边形按一定规律组成，其中第1个图形共有8个小平行四边形，第2个图形共有15个小平行四边形，第3个图形共有22个小平行四边形，⋯，则第30个图形中共有 个小平行四边形． 24．（2025•碑林区校级模拟）一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．若用餐的人数有30人，则这样的餐桌需要　 　 张． 25．（2025•永寿县校级模拟）某游乐场入口的大门是由规格相同的灰色等边三角形和白色正方形大理石搭建而成，如图所示，1个门洞共需要7块大理石，2个门洞共需要12块大理石，3个门洞共需要17块大理石，…，按此规律排列，则搭建n个门洞需要的等边三角形和正方形大理石的总块数为 　 　 块．（用含n的代数式表示） 26．（2025•金台区校级模拟）如图为某民族服饰的纹样，该纹样中蕴藏着数学知识，其中第1个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第3个图案中有11个花朵图案，…，按此规律排列下去，则第50个图案中花朵图案的个数为　 　 ． 27．（2025•碑林区校级模拟）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依此规律，第10个图形共有　 　 个★． 28．（2025•雁塔区校级模拟）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释（a+b）n展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，（a+b）3的展开式中第二项的系数为3，那么（a+b）5的展开式中第三项的系数为　 　 ． 29．（2025•雁塔区校级模拟）如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第10个图需棋子　 　 枚． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册第三章 整式及其加减题型总结（探索与表达规律） 【题型一】规律型：数字的变化类 【例1】（2025春•碑林区校级月考）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 则（a+b）10中，第三项系数为（　　） A．45 B．50 C．55 D．60 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】根据题意得到第三项系数的规律即可解答． 【解答】解：由题意可得，（a+b）2的第三项系数为1， （a+b）3的第三项系数为3， （a+b）4的第三项系数为6， （a+b）5的第三项系数为10， ⋯， （a+b）10的第三项系数为， 故选：A． 【例2】（2025•碑林区校级开学）盒子中原来有5个小球，魔术师从中任取几个小球，把每一个小球都变成5个小球放回盒中；他又从中任取一些小球，把每一个小球又都变成5个小球放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术，此时盒中球的总数可能是（　　） A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】每次操作后，盒中球数增加量是4的倍数，总球数减去5后为4的倍数，据此验算选项即可． 【解答】解：初始球数为5，每次操作取出k个球，每个变为5个，故球数变化为： 原球数﹣k+5k＝原球数+4k． 因此，每次操作后球数增加4k，总球数可表示为5+4（k1+k2+…+kn），其中k1，k2，…，kn为各次取出的球数． 由此可知，总球数减去5后必为4的倍数， 四个选项中仅D选项的2025＝4×505+5， 故选：D． 【例3】（2025春•金台区校级期中）如图所示是一个“数值转换机”，若开始输入x的值是8，则第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，…，第2025次输出的结果是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；代数式求值．版权所有 【分析】根据题意，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为开始输入x的值是8， 所以第1次输出的结果是4， 第2次输出的结果是2， 第3次输出的结果是1， 第4次输出的结果是4， …， 由此可见，从第1次输出的结果开始按4，2，1循环． 又因为2025÷3＝675， 所以第2025次输出的结果是1． 故选：D． 【例4】（2025•碑林区校级一模）分数的整数部分是 　 　 ． 【考点】规律型：数字的变化类．版 【分析】根据题意，先求出分母的取值范围，再根据分数的性质，求出分数的取值范围，即可求出答案． 【解答】解：由条件可知， ∴， ∴分数的整数部分是2， 故答案为：2． 【变式1】（2025春•灞桥区校级月考）杨辉三角是数字呈三角形形状的排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》指出这个三角形排列出自于北宋时期贾宪（11世纪）的《释锁》．在欧洲，帕斯卡于1654年发现这一规律，比贾宪的发现要迟约500年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是（　　） A．153 B．171 C．190 D．210 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】根据图形找出数据之间的关系，再计算求解． 【解答】解：由题意可知，从第4行起的每行第三个数依次为3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，…， 所以第k（k≥4）行的第三个数为1+2+3+…+（k﹣2）， 在该数列中，第37项为第21行的第三个数， 所以该数列的第37项为1+2+…+19190， 故选：C． 【变式2】（2024秋•白河县期末）让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数n1＝5，计算得a1； 第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算得a2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算得a3；…． 以此类推，则a2025的值为（　　） A．26 B．65 C．122 D．123 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】读懂题意，寻找数字变化规律，利用规律解决问题． 【解答】解：根据题意可知， n1＝5时a1＝26， n2＝8，a2＝65， n3＝11，a3＝122， n4＝5，a4＝26， n5＝8，a5＝65， .....． 三组一循环， 2025÷3＝675，没有余数， ∴a2025＝122． 故选：C． 【变式3】（2025春•雁塔区校级期中）定义新运算：，．若a⊗b＝a*b，则称有理数a，b为“隔一数对”．例如：，，即2⊗3＝2*3，所以2，3就是一对“隔一数对”．已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算1⊗2+2⊗3+3⊗4+4⊗5+…+2024⊗2025＝（　　） A． B． C． D． 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】根据题中所给定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 1⊗2+2⊗3+3⊗4+4⊗5+…+2024⊗2025 ． 故选：D． 【变式3】（2025秋•秦都区校级月考）先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，，…，， 所以： ＝（1）+（）+（）+…+（） ＝1 ＝1 ． 问题：计算：①； ②． 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算①②即可得到结果． 【解答】解：①原式＝1 ＝1 ； ②原式（1） ． 【变式4】（2025•碑林区校级一模）有一列分数：，…，则第2013个分数是 　　 ． 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】观察可知，这一列数的分子是从1开始的连续的奇数，分母是从3开始的3的倍数，据此规律求解即可． 【解答】解：数列变形后：， 这一列数的分子是从1开始的连续的奇数，分母是从3开始的3的倍数， ∴第n个数为， ∴第2013个数为， 故答案为：． 【题型二】规律型：图形的变化类 【例1】（2024秋•富平县期末）如图是由相同大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中共有6个小圆圈，第②个图形中共有9个小圆圈，第③个图形中共有12个小圆圈，…，按此规律，则第㉔个图形中小圆圈的个数为（　　） A．75个 B．72个 C．69个 D．66个 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通用公式，然后代入n＝24求解即可． 【解答】解：观察图形得： 第①个图形有6个圆圈， 第②个图形有9个圆圈， 第③个图形有12个圆圈， 第④个图形有15个圆圈， …， 第n个图形有3+3n＝3（n+1）个圆圈， 当n＝24时，3×（24+1）＝75个圆圈， 故选：A． 【例2】（2024秋•新城区校级期中）下列图形都是由同样大小的灰色正方形纸片组成，其中第1个图中有3张灰色正方形纸片，第2个图中有5张灰色正方形纸片，第3个图中有7张灰色正方形纸片，…，按此规律排列下去，则第50个图中灰色正方形纸片的张数为（　　） A．150张 B．101张 C．100张 D．99张 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据所给图形，依次求出图形中灰色正方形纸片的张数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图中，灰色正方形纸片的张数为：3＝1×2+1； 第2个图中，灰色正方形纸片的张数为：5＝2×2+1； 第3个图中，灰色正方形纸片的张数为：7＝3×2+1； …， 所以第n个图中，灰色正方形纸片的张数为（2n+1）个， 当n＝50时， 2n+1＝101（张）， 即第50个图中，灰色正方形纸片的个数为101张． 故选：B． 【例3】（2024秋•千阳县期末）如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，记第1个图形中总的点数为S2＝3，第2个图形中总的点数为S3＝6，依次为S4＝9，S5＝12．以下说法错误的是（　　） A．S7＝18 B．S11＝30 C．若Sn＝60，则n＝21 D．若Sn+Sn+1＝57，则n＝11 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据已知的图形中点的个数得出变化规律，逐项分析可得答案． 【解答】解：第1个图形中总的点数为S2＝3＝3×（2﹣1）， 第2个图形中总的点数为S3＝6＝3×（3﹣1）， 第3个图形中总的点数为S4＝9＝3×（4﹣1）， 第4个图形中总的点数为S5＝12＝3×（5﹣1）， ……， 故第n个图形中的点数为Sn+1＝3×（n+1﹣1）＝3n， 所以S7＝3×6＝18，故A正确，不符合题意； S11＝3×10＝30，故B正确，不符合题意； 若Sn＝60，则n＝21，故C正确，不符合题意； 若Sn+Sn+1＝57＝27+30，则n＝10，故D错误，符合题意． 故选：D． 【例3】（2024秋•府谷县期末）如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，…，按此规律摆下去，若第n个图中有93颗黑色棋子，则n的值为（　　） A．28 B．31 C．29 D．30 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据所给图形，依次求出黑色棋子的颗数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图中黑色棋子的颗数为：6＝1×3+3； 第2个图中黑色棋子的颗数为：9＝2×3+3； 第3个图中黑色棋子的颗数为：12＝3×3+3； …， 所以第n个图中黑色棋子的颗数为（3n+3）颗． 令3n+3＝93， 解得n＝30， 所以n的值为30． 故选：D． 【变式1】（2024秋•东港区校级期末）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处．按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6…An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点A2024与A1A的中点的距离是（　　） A．12﹣3 B．9﹣3 C．12﹣3 D．9﹣3 【考点】规律型：图形的变化类；数轴；有理数的混合运算．版权所有 【分析】根据题意，第一次跳动到OA的中点A1处，离原点的长度为，第二次从A1处跳动到A2处，离原点的长度为，可推出跳动n次距离原点的长度为，即点An表示的数为，则点A2024表示的数为，再推出A1A的中点表示的数为9，即可解答． 【解答】解：∵数轴上O，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， A1表示的数为， A2表示的数为， A3表示的数为， A4表示的数为， ……， An表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点A2024表示的数为， ∵点A表示的数为12，A1表示的数为6， ∴A1A的中点表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点与A1A的中点的距离为： ， 故选：B． 【变式2】（2024秋•杨陵区期末）如图，小奕用火柴棒摆图形，第1个图形用了6根火柴棒；第2个图形用了11根火柴棒；第3个图形用了16根火柴棒…照这样的规律摆下去，第10个图形需要火柴棒的根数是（　　） A．49根 B．50根 C．51根 D．60根 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形需要的火柴棒根数为：6＝1×5+1； 第2个图形需要的火柴棒根数为：11＝2×5+1； 第3个图形需要的火柴棒根数为：16＝3×5+1； …， 所以第n个图形需要的火柴棒根数为（5n+1）根． 当n＝10时， 5n+1＝5×10+1＝51（根）， 即第10个图形需要的火柴棒根数为51根． 故选：C． 【变式3】（2024秋•雁塔区校级期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第6个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据所给图形，依次求出“〇”的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知，第1个图形中所贴剪纸“〇”的个数为：5＝1×3+2； 第2个图形中所贴剪纸“〇”的个数为：8＝2×3+2； 第3个图形中所贴剪纸“〇”的个数为：11＝3×3+2； …， 所以第n个图形中所贴剪纸“〇”的个数为（3n+2）个， 当n＝6时，3n+2＝20（个）， 即第6个图形中所贴剪纸“〇”的个数为20个． 故选：B． 【变式4】（2025•西安校级开学）如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…；则第㊿个图形小正方形的个数为（　　） A．245 B．246 C．254 D．255 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据所给图形，依次求出图形中小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图形中小正方形的个数为：9＝1×5+4； 第②个图形中小正方形的个数为：14＝2×5+4； 第③个图形中小正方形的个数为：19＝3×5+4； …， 所以第n个图形中小正方形的个数为（5n+4）个， 当n＝50时， 5n+4＝254（个）， 即第㊿个图形中小正方形的个数为254个． 故选：C． 【课后练习】 1．（2024秋•秦都区期末）已知整数a1、a2、a3、a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2024的值为（　　） A．﹣1012 B．﹣1011 C．﹣1013 D．﹣2024 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】根据题意，依次求出a2，a3，a4，…，的值，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为a1＝0， 所以a2＝﹣|0+1|＝﹣1， a3＝﹣|﹣1+2|＝﹣1， a4＝﹣|﹣1+3|＝﹣2， a5＝﹣|﹣2+4|＝﹣2， …， 由此可见，a2n＝﹣n（n为正整数）． 当2n＝2024时， 解得n＝1012， 所以a2024＝﹣1012． 故选：A． 2．（2024春•长安区月考）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即（a+b）n（n＝0，1，2，3，…）展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）6展开式的系数和是（　　） A．32 B．64 C．128 D．256 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】由杨辉三角可得（a+b）n展开式的系数和为2n，从而可求解． 【解答】解：由题意得：（a+b）0展开式的系数和为：1＝20； （a+b）1展开式的系数和为：1+1＝2＝21； （a+b）2展开式的系数和为：1+2+1＝4＝22； （a+b）3展开式的系数和为：1+3+3+1＝8＝23； （a+b）4展开式的系数和为：1+4+6+4+1＝16＝24； …， ∴（a+b）n展开式的系数和为：2n， ∴（a+b）6展开式的系数和为：26＝64． 故选：B． 3．（2024秋•雁塔区校级期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（　　） A．42 B．76 C．142 D．272 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】根据所给正方形中的数字，发现它们之间的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为2＝21，4＝22，8＝23，…， 所以8下面的数字为：28＝256． 因为2＝1×2，4＝2×2，6＝3×2，…， 所以8右面的数字为：8×2＝16． 因为4＝2+2，8＝4+4，14＝6+8，…， 所以x＝16+256＝272． 故选：D． 4．（2025•西安校级开学）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【应用体验】 已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 　8　 ． 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】根据题干中所得系数规律得到关于m的方程，解得m的值即可． 【解答】解：∵（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16， ∴mx3＝4x3×2， ∴m＝8， 故答案为：8． 5．（2025•碑林区校级自主招生）小明从0，1，2，…，9共10个数字中选择6个不同的数分别填入下面的方框中，使其计算的结果恰好为91，则共有　144　 种不同的填法． 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】根据题意得1和7必须作为单独的数字，13需由四个不同数字（不含1和7）的和构成， 【解答】解：因为91＝1×7×13， 根据题目要求，1和7必须作为单独的数字，13需由四个不同数字（不含1和7）的和构成， 0+2+3+8＝13或0+2+5+6＝13或0+3+4+6＝13， 即四个空填0，2，3，8或0，2，5，6或0，3，4，6， 因为每组的四个数有24种不同的排列方式，且1和7可交换位置， 所以每种数对应填法数为24×2＝48种， 所以三组数共有3×48＝144种填法． 故答案为：144． 6．（2025•旬邑县校级模拟）大衍数列：0，2，4，8，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是 　60　 ． 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】根据题意推出当n为奇数时，可表示为，当n为偶数时，可表示为，11为奇数，则第11个数是． 【解答】解：∵，…， ∴可推出，对于第n个数，当n为奇数时，可表示为， 当n为偶数时，可表示为， ∵11为奇数， ∴第11个数是． 故答案为：60． 7．（2025•秦都区校级模拟）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律可得（a+b）5展开的多项式中各项系数之和为 　32　 ． 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】通过观察“杨辉三角”与右侧的等式图，可以发现 （a+b）n展开的多项式中各项系数之和为2n． 【解答】解：观察”杨辉三角“与右侧的等式图，可以发现， 当n＝1时，（a+b）1展开的多项式中各项系数之和为2，即1+1＝2； 当n＝2时，（a+b）2展开的多项式中各项系数之和为4，即1+2+1＝4； 当n＝3时，（a+b）3展开的多项式中各项系数之和为8，即1+3+3+1＝8； 当n＝4时，（a+b）4展开的多项式中各项系数之和为16，即1+4+6+4+1＝16； … 可以发现，（a+b）n展开的多项式中各项系数之和为2n． 因此，（a+b）5展开的多项式中各项系数之和为25＝32． 故答案为：32． 8．（2025•雁塔区校级模拟）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2025次输出的结果为 　2　 ． 【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；代数式求值．版权所有 【分析】按规则逐步计算前几次输出，发现从第2次开始进入“4→2→1”的循环周期．周期长度为3（4、2、1重复）．3．计算剩余次数：总次数2025减去第1次，剩余2024次，用2024除以周期3，得余数2．：余数2对应周期内第2个数，即2． 【解答】解：输入x＝5 （奇数），第一次输出：5+3 ＝8； 第二次输入x＝8（偶数），输出： ＝4； 第三次输入x＝4（偶数），输出： ＝2； 第四次输入x＝2（偶数），输出： ＝1； 第五次输入x＝1（奇数），输出：1+3 ＝4； 第六次输入x＝4（偶数），输出： ＝2； 第七次输入x＝2（偶数），输出： ＝1； 第八次输入x＝1（奇数），输出：1+3 ＝4 …， 从第二次输出开始，输出结果依次为4，2，1，4，2，1．…，周期为3． 2025﹣1＝2024次． 2024÷3＝674……2，其中余数为2． 这意味着在周期4，2，1中，第2025次输出对应的是周期里的第2个数． 所以第2025次输出的结果为2． 故答案为：2． 9．（2025春•金台区校级期中）观察： 1×3+1＝4＝22； 2×4+1＝9＝32； 3×5+1＝16＝42； 4×6+1＝25＝52； … 你发现了什么规律？根据你发现的规律，请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来：　n（n+2）+1＝（n+1）2（n为正整数）　 ． 【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．版权所有 【分析】规律为两个相差2的数的积加上1，等于这两个数的平均数的平方． 【解答】解：根据观察，发现规律为：两个相差2的数的积加上1，等于这两个数的平均数的平方； 用字母表示为：n（n+2）+1＝（n+1）2，（n为正整数） 故答案为：n（n+2）+1＝（n+1）2（n为正整数）． 10．（2025•长安区校级四模）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”．若用有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，如（3，2）表示正整数2，（4，3）表示正整数3，则（7，4）表示的正整数是 　20　 ． 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】认真读懂题意，利用发现的规律解决数字问题． 【解答】解：由题意可知第7行为1 6 15 20 15 6 1， ∴（7，4）表示的正整数是 20． 故答案为：20． 11．（2025春•新城区校级月考）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解答下列问题： （1）写出第5个等式：　　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．版权所有 【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可； （2）通过观察推导出规律，最后通过化简即可证明． 【解答】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式为：； 故答案为：． （2）第n个等式为：； 证明：等式左边 ， 等式右边， ∴左边＝右边． 12．（2024秋•南郑区期末）如图是某种分子的结构模型，它由半径相同的空心小圆和实心小圆（图中涂黑色的）按如图所示的方式推列、第1个图形共有4个小圆，第2个图形共有6个小圆，第3个图共有8个小圆，…依此规律，第100个图形的空心小圈的个数是（　　） A．101 B．102 C．103 D．104 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据图形总结出第n个图形有2+2n圆，实心圆有n个，空心圆有2+2n﹣n＝2+n个，然后代入求解即可． 【解答】解：第1个图形有4＝2+2×1圆，实心圆有1个，空心圆有3个， 第2个图形有6＝2+2×2圆，实心圆有2个，空心圆有4个， 第3个图形有8＝2+2×3圆，实心圆有3个，空心圆有5个， …， 第n个图形有2+2n圆，实心圆有n个，空心圆有2+2n﹣n＝2+n个， 则第100个图形的空心圆个数是：2+n＝2+100＝102（个）， 故选：B． 13．（2024秋•道县期末）如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第20个图案需用火柴棒的根数为（　　） A．20 B．41 C．80 D．81 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】依次求出前几个图形中火柴棒的根数，根据发现的规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 摆第1个图案需用的火柴棒的根数为：5＝1×4+1； 摆第2个图案需用的火柴棒的根数为：9＝2×4+1； 摆第3个图案需用的火柴棒的根数为：13＝3×4+1； …， 所以摆第n个图案需用的火柴棒的根数为（4n+1）根． 当n＝20时， 4n+1＝4×20+1＝81（根）． 故选：D． 14．（2023秋•岚皋县校级期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有2029个灰色小正方形，则这个图案是（　　） A．第504个 B．第505个 C．第506个 D．第507个 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据图形的变化发现规律：第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4n+1，进而求得若组成的图案中有2029个灰色小正方形时的图案个数． 【解答】解：观察图形的变化可知： 第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：5＝4×1+1； 第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：9＝4×2+1； 第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：13＝4×3+1； …， 发现规律： 第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4n+1； ∴若组成的图案中有2029个灰色小正方形，则4n+1＝2029， 解得：n＝507． 故选：D． 15．（2024秋•吴堡县校级期末）如图，小奕用火柴棒摆图形，第1个图形用了6根火柴棒；第2个图形用了11根火柴棒；第3个图形用了16根火柴棒…，照这样的规律摆下去，第10个图形需要火柴棒的根数是（　　） A．49根 B．50根 C．51根 D．60根 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形需要的火柴棒的根数为：6＝1×5+1； 第2个图形需要的火柴棒的根数为：11＝2×5+1； 第3个图形需要的火柴棒的根数为：16＝3×5+1； …， 所以第n个图形需要的火柴棒的根数为（5n+1）根． 当n＝10时， 5n+1＝5×10+1＝51（根）， 即第10个图形需要的火柴棒的根数为51根． 故选：C． 16．（2024秋•长安区校级期末）用木棒按如图所示的规律摆放图形，第1个图形需要6根木棒，第2个图形需要11根木棒，第3个图形需要16根木棒，…，按这种方式摆放下去，用含n的代数式表示第n个图形需要木棒的根数为（　　） A．6n B．5n+1 C．5n﹣1 D．4n+2 【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．版权所有 【分析】根据后一个图形的木棒比前一个图形的木棒多5根，即可得到答案． 【解答】解：第∴1个图形需要6根木棒，第2个图形需要11根木棒，第3个图形需要16根木棒， ∵搭第1个图形需要：6＝5×1+1， 搭第2个图形需要：11＝5×2+1， 搭第3个图形需要：16＝5×3+1， ……， ∴搭第n个图形需要的木棒的根数是：5n+1． 故选：B． 17．（2024秋•碑林区校级期末）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是一个个六角形房室．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，若第n个图案中“”的个数是301，则n的值为（　　） A．98 B．99 C．100 D．101 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】由题意可知：第1个图案有3+1＝4个三角形，第2个图案有3×2+1＝7个三角形，第3个图案有3×3+1＝10个三角形，…依此规律，第n个图案有（3n+1）个三角形，进而求出答案． 【解答】解：∵第1个图案中巢房有1+3＝4个， 第2个图案中巢房有1+3×2＝7个， 第3个图案中巢房有1+3×3＝10个， 第4个图案中巢房有1+3×4＝13个， … ∴第n个图案中巢房有1+3n个， 则3n+1＝301， 解得：n＝100． 故选：C． 18．（2024秋•渭城区期末）如图是用围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案，第1个“箭头”图案中有7颗围棋子，第2个“箭头”图案中有10颗围棋子，第3个“箭头”图案中有13颗围棋子，…，按照这样的规律摆下去，则第10个“箭头”图案中的围棋子有（　　） A．28颗 B．30颗 C．32颗 D．34颗 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据所给图形，依次求出图形中围棋子的颗数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个“箭头”图案中的围棋子的颗数为：7＝1×3+4； 第2个“箭头”图案中的围棋子的颗数为：10＝2×3+4； 第3个“箭头”图案中的围棋子的颗数为：13＝3×3+4； …， 所以第n个“箭头”图案中的围棋子的颗数为（3n+4）颗． 当n＝10时， 3n+4＝34（颗）， 即第10个“箭头”图案中的围棋子的颗数为34颗． 故选：D． 19．（2025•未央区校级开学）如图是由大小相同的★组成的图形，第①个图形中有4个★，第②个图形中有7个★，第③个图形中有10个★，第④个图形中有13个★，…，按此规律摆下去，第89个图形中共有多少个★？（　　） A．265 B．266 C．267 D．268 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】仔细观察图形的变化，找到规律，利用规律求解． 【解答】解：第①个图形中有3×2﹣2＝4个★， 第②个图形中有3×3﹣2＝7个★， 第③个图形中有3×4﹣2＝10个★， 第④个图形中有3×5﹣2＝13个★， …， 第n个图形中共有3×（n+1）﹣2＝（3n+1）个★． 当n＝89时，3×89+1＝268， 故选：D． 20．（2024秋•华阴市期末）下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中图1“山”字中有7颗棋子，图2“山”字中有12颗棋子，图3“山”字中有17颗棋子，图4“山”字中有22颗棋子，⋯，按照此规律，若图n中“山”字中有207颗棋子，则n的值为（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据所给图形，依次求出图形中棋子的颗数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个“山”字中棋子的颗数为：7； 第②个“山”字中棋子的颗数为：12； 第③个“山”字中棋子的颗数为：17； 第④个“山”字中棋子的颗数为：22； …， 所以第n个“山”字中棋子的颗数为（5n+2）颗， 图n中“山”字中有207颗棋子， ∴5n+2＝207， 解得：n＝41， 故选：C． 21．（2024秋•长安区月考）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为15..以此类推，则第10幅图形中“●”的个数为（　　） A．100 B．120 C．220 D．240 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据前几幅图中“●”的个数，可以发现它们的变化规律． 【解答】解：由题意可得， 第1幅图形中“●”的个数为3＝22﹣1， 第2幅图形中“●”的个数为8＝32﹣1， 第3幅图形中“●”的个数为15＝42﹣1， …… ∴第n幅图中“●”的个数为（n+1）2﹣1， ∴第10幅图形中“●”的个数为（10+1）2﹣1＝120， 故选：B． 22．（2025•白河县校级二模）2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形…按此规律拼接下去，第n个图案中需要　（2n+2）　 个基本图形．（用含n的代数式表示） 【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．版权所有 【分析】观察图形发现，第n个图案中需要2（n+1）个基本图形，即可得到答案． 【解答】解：观察图形发现： 第1个图案中需要4个基本图形， 第2个图案中需要6个基本图形， 第3个图案中需要8个基本图形， ……， 第n个图案中需要（2n+2）个基本图形， 故答案为：（2n+2）． 23．（2025•汉台区二模）花窗映蛇岁，新春共欢颜．如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小平行四边形按一定规律组成，其中第1个图形共有8个小平行四边形，第2个图形共有15个小平行四边形，第3个图形共有22个小平行四边形，⋯，则第30个图形中共有 　211　 个小平行四边形． 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据所给图形，依次求出图形中小平行四边形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中小平行四边形的个数为：8＝1×7+1； 第2个图形中小平行四边形的个数为：15＝2×7+1； 第3个图形中小平行四边形的个数为：22＝3×7+1； …， 所以第n个图形中小平行四边形的个数为（7n+1）个． 当n＝30时， 7n+1＝7×30+1＝211（个）， 即第30个图形中小平行四边形的个数为211个． 故答案为：211． 24．（2025•碑林区校级模拟）一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．若用餐的人数有30人，则这样的餐桌需要　7　 张． 【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．版权所有 【分析】根据所给图形，依次求出可坐的人数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 1张餐桌可用餐的人数为：6＝1×4+2； 2张餐桌可用餐的人数为：10＝2×4+2； 3张餐桌可用餐的人数为：14＝3×4+2； …， 所以n张餐桌可用餐的人数为（4n+2）个． 令4n+2＝30， 解得n＝7， 即7张餐桌可用餐的人数为30人． 故答案为：7． 25．（2025•永寿县校级模拟）某游乐场入口的大门是由规格相同的灰色等边三角形和白色正方形大理石搭建而成，如图所示，1个门洞共需要7块大理石，2个门洞共需要12块大理石，3个门洞共需要17块大理石，…，按此规律排列，则搭建n个门洞需要的等边三角形和正方形大理石的总块数为 　（5n+2）　 块．（用含n的代数式表示） 【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．版权所有 【分析】仔细观察图形的变化并找到图形的变化规律，利用规律求解即可． 【解答】解：∵1个门洞共需要2+5×1＝7块大理石， 2个门洞共需要2+5×2＝12块大理石， 3个门洞共需要2+5×3＝17块大理石， …， 按此规律排列，则搭建n个门洞需要的等边三角形和正方形大理石的总块数为（5n+2）块， 故答案为：（5n+2）． 26．（2025•金台区校级模拟）如图为某民族服饰的纹样，该纹样中蕴藏着数学知识，其中第1个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第3个图案中有11个花朵图案，…，按此规律排列下去，则第50个图案中花朵图案的个数为　152　 ． 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据所给图形，依次求出图形中花朵的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图案中花朵的个数为：5＝1×3+2； 第2个图案中花朵的个数为：8＝2×3+2； 第3个图案中花朵的个数为：11＝3×3+2； …， 所以第n个图案中花朵的个数为（3n+2）个． 当n＝50时， 3n+2＝3×50+2＝152（个）， 即第50个图案中花朵的个数为152个． 故答案为：152． 27．（2025•碑林区校级模拟）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依此规律，第10个图形共有　 　 个★． 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据所给图形，依次求出★的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中★的个数为：6＝1×2+4； 第2个图形中★的个数为：8＝2×2+4； 第3个图形中★的个数为：10＝3×2+4； …， 所以第n个图形中★的个数为（2n+4）个． 当n＝10时， 2n+4＝2×10+4＝24（个）， 即第10个图形中★的个数为24个． 故答案为：24． 28．（2025•雁塔区校级模拟）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释（a+b）n展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，（a+b）3的展开式中第二项的系数为3，那么（a+b）5的展开式中第三项的系数为　10　 ． 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据题意，得出（a+b）n展开式中第三项系数的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， （a+b）2展开式中第三项的系数为1＝1， （a+b）3展开式中第三项的系数为3＝1+2， （a+b）4展开式中第三项的系数为6＝1+2+3， …， 所以（a+b）n展开式中第三项的系数为：1+2+3+…+n﹣1． 当n＝5时， ， 即（a+b）5的展开式中第三项的系数为10． 故答案为：10． 29．（2025•雁塔区校级模拟）如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第10个图需棋子　 　 枚． 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据图形变化特征解答即可． 【解答】解：第一个图形有4枚＝4+0×3， 第二个图形有7枚＝4+1×3， 第三个图形有10枚＝4+2×3， ……， 第n个图形4+3（n﹣1）＝3n+1， ∴第10个图形有31枚． 故答案为：31． 学科网（北京）股份有限公司 $