2.4.1圆的标准方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.1 圆的标准方程 第二章 直线和圆的方程 22 十月 2025 2.4圆的方程 学习目标 1.类比直线方程的建立过程，会用圆的定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征； 2.能根据已知条件求圆的标准方程，掌握用待定系数法和几何法求圆的标准方程的思路； 3.能判断点与圆的位置关系，能用代数法解决几何问题 重点：圆的标准方程及其特点，点与圆的位置关系 难点：根据不同的已知条件求圆的标准方程 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也有大量描写. 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月 呼作白玉盘 又疑瑶台镜 飞在青云端 如果把天空看作一个平面，月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 圆是一切平面图形中最美的图形 ———毕达哥拉斯 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 任务一：探究圆的标准方程 思考：(1)在初中，我们学习了圆.那么，圆是如何定义的呢？在平面中，确定一个圆的几何要素是什么？ 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 圆的几何要素：圆心－－确定圆的位置(定点) 半径－－确定圆的大小(定长) C 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 直线方程的建立： 圆的方程的建立： 几何关系 直线方程 坐标化 直线的几何要素 几何关系 圆的方程 坐标化 圆的几何要素 (2)回顾如何建立直线方程？能否类比直线方程的建立过程建立圆的方程？ 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 探究：如图，在平面直角坐标系中，设的圆心 的坐标为 , 半径为,你能尝试推导出该圆的标准方程吗? 满足： O 设点为圆上任一点，则。 圆上所有点的集合 圆心C(a,b),半径r 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 圆的标准方程 特别地,若圆心为，半径为，则圆的方程为： 若半径，则称为单位圆 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 思考：方程一定表示圆吗? 当时,方程不表示圆,表示原点; 当时,方程表示圆心在坐标原点,半径为的圆. 圆的标准方程有什么特点? (1)是关于的二元二次方程; (2)确定圆的方程必须具备三个独立条件,即; (3)要注意的取值,. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 1. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径： (1) (2) 2.说出下列圆的方程： (1) 圆心在原点,半径为5. (2) 圆心在点, 半径为7. 圆心 (-7, 4)，半径6 圆心 (1, 0)，半径 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 例1:写出圆心为,半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。 解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是： 把的坐标代入方程左右两边相等，点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上. 把点的坐标代入此方程，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上． 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 总结：  1.已知圆的圆心坐标和半径写圆的方程 第1步 准备圆心坐标和半径 第2步 将圆心坐标和半径的值代入圆的标准方程即可 注意：左边是平方的样子，不需要去括号，右边半径的平方计算出结果 2.如何判断点是否在圆上? 将点的坐标代入圆的标准方程，满足方程则在圆上，反之，不在圆上 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 任务二：探究点与圆的位置关系 思考：怎样判断点在圆内？在圆上？还是在圆外呢？ C x y o M1 M2 M3 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 时，即时，点M在圆内； 时，即时,点M在圆上； 时，即时,点M在圆外； 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 练习1： 点P( , 5 )与圆的位置关系 ( ) A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆上或圆外 1 m D A 练习2：已知圆的标准方程是，判断下列各点与圆的位置关系 （1） (2) (3) 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 例2: 的三个顶点分别是求的外接圆的标准方程. 什么是外心?它的几何特征是什么?你能用三角形外心的特征来求它的外接圆方程吗?试比较不同方法的特点. 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.显然已知的 三个点不在同一条直线上.只要确定了 圆的标准方程就确定了. 解法1(待定系数法):设所求的方程是.    因为三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是，即 三式两两相减，可以消去,得到关于的二元一次方程组 解此方程组，得,代入,  得. 所以，的外接圆的标准方程是. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 解法2(几何法):设的外接圆的圆心为, 则点是线段的垂直平 分线的交点. 由线段的中点及直线的斜率,知线段的垂直平分线为 同理可得线段的垂直平分线为 联立解得即圆心的坐标为   又半径,所以的外接圆的标准方程是. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 确定圆的标准方程的方法和步骤 确定圆的标准方程的主要方法是待定系数法,即列出关于的方程组,求或直接求出圆心和半径,一般步骤为: 第一步,根据题意,设所求圆的标准方程为; 第二步,根据已知条件,建立关于的方程组; 第三步,解方程组,求出的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的标准方程. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 例3：已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线 上，求此圆的标准方程. 分析：设圆心的坐标为.由已知条件可知，,且.  由此可 求出圆心坐标和半径. 另外，因为线段是圆的一条弦，根据平面几何知识，的中点与圆心的连线垂直于, 由此可得到另一种解法. 解法1:设圆心的坐标为.因为圆心在直线上，所以① 因为是圆上两点，所以. 根据两点间距离公式，有 , 即② 由①②可得.所以圆心的坐标是.   圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 解法2:如图,设线段的中点为. 由两点的坐标为,可得点的坐标为,直线的斜率为 因此，线段的垂直平分线的方程是, 即. 由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分线上， 所以它的坐标是方程组的解.解这个方程组，得所以圆心的坐标是.  圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结   几何法求圆的标准方程 第一步 设：设所求圆的标准方程为 第二步 求：它是利用图形的几何性质，如图的性质等，直接求出圆的圆心和半径 第三步 代：将圆心坐标和半径代入所设方程，得所求圆的方程 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为                       (    ) B 2.点与圆的位置关系是                                  (      ) A.点在圆外        B.点在圆内        C.点在圆上            D.不能确定 A 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 3.过三点的圆的标准方程为          . (x-2)2+(y-1)2=25 4.若直线与轴、轴分别交于两点，为坐标原点，则的内切圆的标准方程为         . (x+1)2+(y+1)2=1 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 5.已知圆过点. (1)若圆还过点,求圆P的标准方程； (2)若圆心的纵坐标为,求圆P的标准方程. (1) (2) 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 圆的标准方程 求标准方程的方法 标准方程 平面的基本性质 待定系数法 几何法 圆心,半径 标准方程 特别的，圆心在原点 点在圆外 点在圆内 点在圆上 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 教材P29习题第1,2,3题. $