3.2.2函数的奇偶性巩固练习原卷-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数奇偶性巩固练习 一、奇偶性的判断 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．函数是 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 3．函数的奇偶性为（  ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 4．关于函数与的奇偶性，下列说法正确的是（ ） A．两函数均为偶函数 B．两函数都既是奇函数又是偶函数 C．函数是偶函数，是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数 5．函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数 6．下列判断正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数 E.函数是非奇非偶函数 8．函数是（      ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 9．判断函数的奇偶性（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 10．设函数为奇函数，则实数． A． B． C． D． 11．（多选），都是定义在上且不恒为0的函数，下列说法不正确的是（ ） A．若为奇函数，则为偶函数 B．若为偶函数，则为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则非奇非偶 12．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4) (5) 二．函数性质概念理解 1．关于函数，，下列说法正确的有（    ）个 （1）若该函数为奇函数，则必有 （2）若该函数是偶函数，则它的图象必与y轴相交 （3）若该函数在区间I上是单调函数，则 （4）若该函数的最大值为M，最小值为m，则它的值域为[m，M] A．4 B．3 C．2 D．1 2．对于定义在R上的函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则在R上不是减函数 B．若为奇函数，且满足对，，，则在R上是增函数 C．若，则函数是偶函数 D．若函数是奇函数，则一定成立 三.利用奇偶性求对称区间解析式的问题 1．已知函数是定义在R上的奇函数,且当时, ,则当在R上的解析式为 A． B． C． D． 2．函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 四.部分奇偶性问题 1．若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知且，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 3．已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ． 4．已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 . 5．已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 五.函数奇偶性，单调性的综合应用 1．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．定义在R上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 4．已知定义域为R的函数在上单调递减，且是奇函数，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．设函数的定义域为R，对于任意实数x总有，当时，单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知奇函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递增，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数为定义在上的奇函数，当时，． (1)当时，求函数的解析式； (2)若函数在上单调递增， ①求实数的取值范围； ②若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 9．已知函数 (1)写出函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数在上单调递增； (3)若定义域为，解不等式 10．已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 11．已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数奇偶性巩固练习 一、奇偶性的判断 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性、单调性的概念、性质逐个判断即可； 【详解】对于A，易知，所以不是奇函数．错； 对于B，因为，，所以不是在定义域内单调递增的函数．错； 对于C，因为的定义域，且不关于原点对称，所以不是奇函数．错； 对于D，定义域为，，为奇函数，因为，均为增函数，所以为增函数， 故选：D． 2．函数是 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【详解】因为的定义域关于原点对称，且，所以函数是奇函数 故选A 3．函数的奇偶性为（  ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【分析】根据奇偶性的判定分析即可 【详解】函数定义域为，，所以函数为奇函数 故选：A 4．关于函数与的奇偶性，下列说法正确的是（ ） A．两函数均为偶函数 B．两函数都既是奇函数又是偶函数 C．函数是偶函数，是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数 【答案】D 【分析】先求定义域，发现的定义域不关于原点对称，再根据的关系来判断奇偶性． 【详解】函数的定义域满足即，因此函数定义域为，关于原点对称.此时，满足，，所以函数既是奇函数又是偶函数.而函数的定义域为，不关于原点对称，因此函数是非奇非偶函数. 故选D. 【点睛】根据函数的解析式，判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域，只有在函数的定义域关于原点对称的情况下，才能根据解析式是否满足，判断函数的奇偶性，若函数的定义域不关于原点对称，则可以直接说明函数是非奇非偶函数.本题中的两个函数，虽然化简后都是，但是由于定义域不同，因此函数既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数 5．函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数 【答案】C 【分析】由题意首先确定函数的定义域，然后结合函数的解析式即可确定函数的奇偶性. 【详解】函数有意义，则：，据此可得函数的定义域为， 结合函数的解析式可知，函数图像由点组成， 既关于坐标原点对称也关于y轴对称，故函数既是奇函数又是偶函数. 故选C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，属于中等题. 6．（多选题）下列判断正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数 E.函数是非奇非偶函数 【答案】CE 【分析】利用函数的奇偶性定义即可判断. 【详解】A，，函数的定义域为， 不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，错误； B，，函数的定义域为， 不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，错误； C，定义域为，且，， 故函数为非奇非偶函数，正确； D，函数图象关于轴对称，是偶函数，不是奇函数，错误.E中函数的定义域为，，，所以是非奇非偶函数； 故选：CE 8．函数是（      ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】D 【详解】 的定义域为， 不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，故选D. 9．判断函数的奇偶性（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】按照奇偶性的定义判断即可. 【详解】函数的定义域为，故定义域关于原点对称， , ∴， ∴函数是奇函数. 故选：A. 【点睛】本题考查判断函数的奇偶性，解题关键是计算的和，从而判断函数的奇偶性，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 10．设函数为奇函数，则实数． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵函数为奇函数， ∴， 化为， ∴，解得． 11．（多选），都是定义在上且不恒为0的函数，下列说法不正确的是（ ） A．若为奇函数，则为偶函数 B．若为偶函数，则为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则非奇非偶 【答案】BC 【分析】根据函数为奇函数，函数为偶函数对选项逐一判断即可. 【详解】若为奇函数，则， 令，则， 所以为偶函数，故A正确； 若为偶函数，则， 令，则， 所以为偶函数，故B不正确； 若为奇函数，为偶函数， 令，则，所以为偶函数，故C不正确； 若为奇函数，为偶函数， 令，则， 所以为非奇非偶函数，故D正确，故选BC. 【点睛】本题主要考查利用定义对函数的奇偶性进行判断，属于基础题. 12．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4) (5) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 (4)偶函数 (5)奇函数 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，对于函数定义域不对称的即为非奇非偶函数，再结合函数奇偶性的定义逐一判断（1）（5）题即可． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由题意>0,,所以,f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数. （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 二．函数性质概念理解 1．关于函数，，下列说法正确的有（    ）个 （1）若该函数为奇函数，则必有 （2）若该函数是偶函数，则它的图象必与y轴相交 （3）若该函数在区间I上是单调函数，则 （4）若该函数的最大值为M，最小值为m，则它的值域为[m，M] A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、最值、值域等知识确定正确答案. 【详解】（1），若该函数为奇函数，但，则没有，（1）错误. （2）函数是偶函数，但图象与轴不相交，（2）错误. （3）单调区间是定义域子集，（3）正确. （4）函数，，最大值为，最小值为，但是值域不是，（4）错误. 所以正确的有个. 故选：D 2．对于定义在R上的函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则在R上不是减函数 B．若为奇函数，且满足对，，，则在R上是增函数 C．若，则函数是偶函数 D．若函数是奇函数，则一定成立 【答案】AB 【解析】根据函数单调性的定义可知，A正确；根据函数单调性的定义结合奇函数的性质即可知，B正确；根据函数奇偶性的定义可知，C D错误． 【详解】对A，根据函数单调性的定义可知，对任意的，若，有，则函数在上是增函数；若，有，则函数在上是减函数，因为，而，所以在R上不是减函数，A正确； 对B，对任意的，，所以，即，而，所以，即，由单调性的定义可知，在R上是增函数，B正确； 对C，根据奇偶性的定义，对定义域中的任意实数，满足，则函数是偶函数；满足，则函数是奇函数，所以仅凭，不能判断函数一定是偶函数，C 错误； 对D，若函数是奇函数，则，所以当函数在以及处有定义且满足时，成立，D错误． 故选：AB． 三.利用奇偶性求对称区间解析式的问题 1．已知函数是定义在R上的奇函数,且当时, ,则当在R上的解析式为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得时函数的解析式，然后确定其解析式即可. 【详解】设，则，， 则， 即. 本题选择C选项. 【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式． 2．函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 当时可将其代入时的解析式求出，再通过奇偶性将其转化为即可. 【详解】设，则. 可得，又函数f(x)是奇函数． ∴， ∴. 故选：B. 3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，，所以. 故选：C 4．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数定义可得答案. 【详解】由题，因时，， 则时，. 故选：D 四.部分奇偶性问题 1．若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数和偶函数的性质可得出关于、的方程组，解出这两个函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为奇函数和偶函数满足， 则， 即，解得， 因此，. 故选：C. 2．已知且，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】令，利用奇函数的性质求解即可. 【详解】令， 因为，所以函数为奇函数， 由，得，所以， 所以. 故选：C. 3． 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ． 【答案】27 【分析】根据函数奇偶性的定义，利用方程组法求出函数的解析式，即可得解. 【详解】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数， 而，① 所以，即，② 由①②得，所以． 故答案为：. 4． 已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 . 【答案】 【分析】按题意求函数表达式即可 【详解】 和已知条件相加得 故 故 故答案为： 5． 已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】 【分析】由题可得，然后利用奇偶性的定义即求，，最后计算即可； 【详解】∵， ∴. 由是奇函数，是偶函数，可有，， 代入上式，， 则有，； 则. 故答案为：. 五.函数奇偶性，单调性的综合应用 1．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在单调递减，且，从而可得当或时，，当或时，，然后分和求出不等式的解集 【详解】因为奇函数在上单调递减，且， 所以在单调递减，且， 所以当或时，，当或时，， 当时，不等式等价于， 所以或，解得， 当时，不等式等价于， 所以或，解得或， 综上，不等式的解集为， 故选：A 2．定义在R上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用函数的奇偶性和单调性，分和两种情况，分别列不等式求出解集即可． 【详解】由题意，当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 则不等式的解集为 故选：B 3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的单调性、奇偶性画出的大致图象，由此确定正确选项. 【详解】依题意函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，在上递增，. 画出的大致图象如下图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：A 4．已知定义域为R的函数在上单调递减，且是奇函数，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数是奇函数和在上单调递减，得到在连续且单调递减可得答案. 【详解】因为是奇函数，所以的图象关于对称， 且在上单调递减，所以在单调递减， 又因为定义域为R，所以，所以在连续且单调递减， 由于，所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出在连续且单调递减，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 5．设函数的定义域为R，对于任意实数x总有，当时，单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义及性质判定即可. 【详解】∵函数的定义域为R且， ∴是定义在R上的偶函数， ∴，， 又∵在上单调递增，且， ∴，即． 故选：A 6．已知奇函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递增，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质确定函数的单调性，再利用给定的函数移动式结合单调性比较大小. 【详解】由奇函数的定义域为，在上单调递增，得在上单调递增， 因此在上单调递增，又， 则，， 由，得，因此. 故选：C 7．设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用函数为偶函数可得，再利用函数在上为增函数即可求解. 【详解】根据偶函数的性质可知，， 当时，是增函数， 因为，所以，即 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性比较函数值的大小，属于基础题. 8．已知函数为定义在上的奇函数，当时，． (1)当时，求函数的解析式； (2)若函数在上单调递增， ①求实数的取值范围； ②若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先设，再利用函数为奇函数，根据，即可求解函数的解析式； （2）①根据函数的单调性，比较对称轴和定义域端点值，即可求解； ②首先根据函数的性质，判断函数的单调性，根据函数的性质，化简不等式，结合单调性，化简不等式为，在实数，使成立，结合判别式，即可求解. 【详解】（1）时，当时，， 设，， 因为函数为定义在上的奇函数， 所以， 所以的解析式为； （2）①因为在上单调递增，所以，即； ②因为函数为奇函数，所以在上单调递增， 不等式，根据函数为奇函数，得 ， 所以， 整理为，存在实数，使不等式成立， 所以，即，得：. 9．已知函数 (1)写出函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数在上单调递增； (3)若定义域为，解不等式 【答案】(1)的定义域为R，为奇函数 (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）求出的定义域，判断并用定义法证明函数在R上为奇函数；（2）定义法证明函数单调性，取值，作差，判号，下结论；（3）利用第一问和第二问的结论解不等式. 【详解】（1）的分母恒成立，故的定义域为R，函数在R上为奇函数，理由如下：首先定义域关于原点对称，其次，所以在R上为奇函数，证毕. （2）任取，，且，则 ，因为，，且，所以，，所以，故，，所以在单调递增，证毕. （3），即 由（1）知，在R上为奇函数，故，所以，又定义域为，由（2）知，函数在上单调递增，故，解得：，故解集为. 10．已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 11．已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数性质得，再验证是偶函数即可； （2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，即，解得， 当时，，此时定义域为关于原点对称， 且，即是偶函数， 故满足题意； （2）由题意，显然是偶函数， 所以也是偶函数， 当时，， 显然当时，都是增函数， 即在上单调递增，所以函数在上单调递减， 而， 所以，解得. 12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 【答案】(1) (2)图象见解析；单调递增区间为，单调递减区间为， (3)或. 【分析】（1）令，则求出，再根据即可求出； （2）画出分段函数的图象，即可写出单调区间； （3）结合图象写出的解集即可. 【详解】（1）当时，，则. 因为为奇函数，所以. 所以； （2） 由图可知，单调递增区间为，单调递减区间为，. （3）由图可知，使的的取值集合为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $