第12章 概率初步（知识清单）高二数学沪教版2020必修第三册

第12章 概率初步 知识点01随机现象与样本空间 1．随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ① ； ② ； ③ . 2．样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用w表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn} 3.随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 4.必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 5.不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 6.确定事件包括必然事件和不可能事件 知识点02古典概率 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有 ； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 . 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有 ； 性质2：必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，即P(Ω)＝ ，P(∅)＝ ； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ ； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ ，P(A)＝ ； 性质5：如果A⊆B，那么 ，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以 . 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝ . 常用结论： 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 知识点03 频率与概率 1.概率与频率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2.事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 常用结论： 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 知识点04 随机事件的独立性 1、随机事件独立性的定义 （1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2、独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则 易错点1：对确定事件概念理解不透彻 1．（25-26高二上·上海·单元测试）下列事件： ①在空间内取三个点，可以确定一个平面； ②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份； ③某电影院某天的上座率会超过50%； ④函数在定义域上是严格减函数； ⑤从一个装有100000只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球； ⑥一次抛掷3颗骰子，3颗掷得的点数和不小于3． 其中， 是不确定事件， 是必然事件， 是不可能事件．（填写序号） 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）导体通电时，发热； （2）抛一块石头，下落； （3）掷一枚硬币，出现正面； （4）某人射击一次，中靶． 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）如果，那么； （2）掷一枚硬币，出现反面； （3）某电话机在1分钟内收到2次呼叫． 4．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？ (1)在空地上抛一石块，石块会下落； (2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话； (3)买一张福利彩票，会中奖． 5．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子． （1）明天太阳升起； （2）明天上海局部地区下雨； （3）明年小明又大一岁； （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯． 易错点2：不清楚频率与概率的区别与联系 6．（25-26高二上·上海·单元测试）某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为 ． 7．（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是 . 8．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 9（23-24高二·上海·课堂例题）一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间内破碎的概率，于是调查了20000辆汽车，发现在一年时间内共有600辆汽车的挡风玻璃破碎，求一辆汽车在一年时间内挡风玻璃破碎的经验概率． 10．（23-24高二·上海·课堂例题）对某工厂生产的产品质量进行抽查，数据如下表所示． 抽查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 95 192 285 478 根据上表所提供的数据，问：合格品的概率约为多少？（结果保留两位小数） 11．（24-25高二·上海·课堂例题）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 易错点3：混淆互斥事件和对立事件 12．（23-24高二上·上海长宁·期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ） A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 13．（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 14．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 15．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 16．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 17.（24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 易错点4：忽略概率公式的使用条件 18．（25-26高二上·上海·单元测试）设A、B为任意两个随机事件，则下列各式中一定不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 19．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知，记事件的对立事件为，则为 ． 20．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则 ． 21．（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知，若A，B互斥，则 . 22．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 ． 23．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，，则 . 24.（24-25高二上·上海·阶段练习）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 25．（21-22高二上·上海黄浦·阶段练习）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 26．（25-26高二上·上海奉贤·阶段练习）设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为 . 27．（24-25高二·上海·课堂例题）盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取两色均有的4个球．设事件A：4个球中有3个红球、1个白球，事件B：4个球中有1个红球、3个白球．已知，，求“4个球中红球与白球个数不同”的概率． 28．（24-25高二·上海·随堂练习）（1）掷一颗均匀的骰子，设事件A：点数为奇数；事件B：点数不超过2．求． （2）已知样本空间Ω的事件A，B，C两两互斥，表示事件A，B，C中至少有一个发生．求证：． 29．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 易错点5：对 “放回” 和 “不放回” 问题判断错误 30．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 31．（23-24高二·上海·课堂例题）已知4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名学生依次抽取（抽出后不放回），他们的中奖概率是否一样？为什么？ 32．（22-23高二·全国·课堂例题）一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地抽取产品，每次取1个，求： (1)取两次，两次都取得一等品的概率； (2)取三次，第三次才取得一等品的概率． 33．（23-24高二下·上海·阶段练习）从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个.构成数对，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字．设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取出的数字是2”． (1)写出此试验的样本空间及的值； (2)判断A与B是否为互斥事件，并求． 一、单选题 1．（24-25高二下·上海青浦·期末）有个质地大小相同的球，分别标有数字从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（   ）. A．甲与丙相互独立 B．乙与丙相互独立 C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立 2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（　　） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个白球” C．“至少有一个黑球”与“都是白球” D．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” 3．（24-25高二下·上海杨浦·期末）某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门.已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比.现在等可能的从该校选取一名学生，设事件A为“该学生选报数学建模”，事件为“该学生选报物理实验”，事件为“该学生两门选修课都选报”，则下列结论错误的是（   ） A． B．A与不互斥 C． D．A与相互独立 4．（24-25高二下·上海徐汇·期末）如果事件与事件独立，且，，、分别是、的对立事件，那么以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海浦东新·期中）关于概率和频率，下列说法中正确的是（   ） A．任何事件的概率总在内 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．频率可用来估算概率，因而也称经验概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（    ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为8 7．（25-26高二上·上海奉贤·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则下述正确的是（   ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D． 二、填空题 8．（24-25高二下·上海·期中）已知事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件、至少有一个发生的概率为 ． 9．（24-25高二下·上海普陀·期中）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，那么第9次出现反面朝上的概率是 ； 10．（24-25高二下·上海·期中）小明在书店随机地选一本书，设事件：小明选的书是数学书，事件：小明选的书是中文版的书，事件：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书，请写出表示的事件： . 11．（24-25高二下·上海闵行·期中）甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为0.7，乙未投中的概率为0.2，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为 . 12．（22-23高二下·上海浦东新·期中）甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为0.8，0.5，已知两人是否投中互不影响，则两人中至少有一个人投中的概率为 . 13．（24-25高二下·上海·期中）小玲、小强两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人在罚球区各投1球．已知小玲、小强每轮投中的概率分别为，每轮比赛中两人是否投中互不影响，各轮比赛之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 . 14．（24-25高二下·上海·期中）一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是 ． 三、解答题 15．（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 17．（24-25高二下·上海嘉定·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和小于8的概率； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，再放回后再抽取1张卡片，求这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率． 18．（24-25高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 19．（24-25高二下·上海·阶段练习）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机地抽取3次，每次抽取1张. (1)若抽取是放回的，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c.求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率； (2)若抽取是不放回的，记事件A为第一次取出标记为1的卡片，事件B为第二次取出标记为2的卡片，判断事件A，B是否独立. 20．（24-25高二上·上海·阶段练习）某类型题目需要从A，B，C，D四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分． (1)有一道考试题甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD，求考生甲本题得4分的概率； (2)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为得3分的概率为；考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙、丙两位考生总分刚好得18分的概率． 21．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 概率初步 知识点01随机现象与样本空间 1．随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2．样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用w表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn} 3.随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 4.必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 5.不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 6.确定事件包括必然事件和不可能事件 知识点02古典概率 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 常用结论： 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 知识点03 频率与概率 1.概率与频率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2.事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω， 则A与B对立 常用结论： 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 知识点04 随机事件的独立性 1、随机事件独立性的定义 （1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2、独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则 易错点1：对确定事件概念理解不透彻 1．（25-26高二上·上海·单元测试）下列事件： ①在空间内取三个点，可以确定一个平面； ②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份； ③某电影院某天的上座率会超过50%； ④函数在定义域上是严格减函数； ⑤从一个装有100000只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球； ⑥一次抛掷3颗骰子，3颗掷得的点数和不小于3． 其中， 是不确定事件， 是必然事件， 是不可能事件．（填写序号） 【答案】 ①③⑤ ②⑥ ④ 【详解】①空间中不共线的三点可确定一个平面，故①是随机事件； ②一年中有12个月份，故13个人中，一定有至少2个人的生日在同一个月份，为必然事件； ③是随机事件； ④当时，函数在定义域内为减函数，故④为不可能事件； ⑤是随机事件． 故答案为：①③⑤；②；④ 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）导体通电时，发热； （2）抛一块石头，下落； （3）掷一枚硬币，出现正面； （4）某人射击一次，中靶． 【答案】（1）（2）是确定性现象；（3）（4）是随机现象． 【详解】对于（1），因导体通电就会发热，故是确定性现象； 对于（2）抛一块石头，因有重力作用，必会下落，故是确定性现象； 对于（3）掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，故“出现正面”是随机现象； 对于（4）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，故“中靶”属于随机现象. 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？ （1）如果，那么； （2）掷一枚硬币，出现反面； （3）某电话机在1分钟内收到2次呼叫． 【答案】（1）是确定性现象；（2）是随机现象；（3）是随机现象． 【详解】（1）如果，那么，是确定性现象； （2）掷一枚硬币可能出现正面，也可能出现反面，故出现反面，是随机现象； （3）某电话机在1分钟内收到2次呼叫，是随机现象. 4．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？ (1)在空地上抛一石块，石块会下落； (2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话； (3)买一张福利彩票，会中奖． 【答案】(1)确定事件 (2)不确定事件 (3)不确定事件 【详解】（1）在空地上抛一石块，由于引力作用，石块一定会下落，故该事件是必然事件，即该事件也是确定事件； （2）明天上午八时到九时之间，你可能会接到一个推销电话，也可能不会接到一个推销电话，即该事件是不确定事件； （3）买一张福利彩票，可能会中奖，有可能不会中将，即该事件是不确定事件. 5．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子． （1）明天太阳升起； （2）明天上海局部地区下雨； （3）明年小明又大一岁； （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯． 【答案】确定性现象，随机现象，确定性现象，随机现象，举例见解析. 【详解】（1）明天太阳升起是确定性现象； （2）明天上海局部地区下雨是随机现象； （3）明年小明又大一岁是确定性现象. （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯是随机现象. 如：导体通电时发热、抛一块石头下落都是确定性现象； 掷一枚硬币出现正面、某人射击一次中靶、一个电影院某天的上座率超过50%都是随机现象. 易错点2：不清楚频率与概率的区别与联系 6．（25-26高二上·上海·单元测试）某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为 ． 【答案】④ 【详解】由某种彩票中奖的概率为， 得买一张彩票中奖的可能性是，故④正确； 买10000张彩票可能一张都没有中奖，故①②错误； 若买9999张彩票未中奖，则第10000张也有可能不中奖，故③错误. 故答案为：④. 7．（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是 . 【答案】0.51 【详解】由题意，出现正面的频率为. 故答案为：0.51. 8．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 【答案】 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案为：0.56 9（23-24高二·上海·课堂例题）一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间内破碎的概率，于是调查了20000辆汽车，发现在一年时间内共有600辆汽车的挡风玻璃破碎，求一辆汽车在一年时间内挡风玻璃破碎的经验概率． 【答案】 【详解】用频率估计概率,可知一辆汽车在一年时间内挡风玻璃破碎的经验概率为 . 10．（23-24高二·上海·课堂例题）对某工厂生产的产品质量进行抽查，数据如下表所示． 抽查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 95 192 285 478 根据上表所提供的数据，问：合格品的概率约为多少？（结果保留两位小数） 【答案】 【详解】应用频率估计概率，可得合格品的概率约为， 所以合格品的概率约为. 11．（24-25高二·上海·课堂例题）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 【详解】（1）根据频率计算公式，表格数据如下： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 （2）由（1）中所求，随着射击次数的增大，频率的稳定值为0.9． 故这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9. 易错点3：混淆互斥事件和对立事件 12．（23-24高二上·上海长宁·期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ） A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 【答案】C 【详解】依题意，事件， 对于A，事件和有相同的基本事件：点数3，A正确； 对于B，事件和不能同时发生，但必有一个发生，则和是对立事件，B正确； 对于C，事件和不能同时发生，但可以同时不发生，则和不是对立事件，C错误； 对于D，事件和不能同时发生，它们是互斥事件，D正确. 故选：C 13．（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】对于A，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项A不正确； 对于B，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点数是”， ∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B正确； 对于C，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项C不正确； 对于D，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项D不正确. 故选：B. 14．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 15．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 【答案】C 【分析】利用计算出，可得到则能得到与不互斥，不对立；再利用算出即可得到答案 【详解】由可得， 因为，则与不互斥，不对立， 由可得， 因为，所以与相互独立 故选：C 16．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【答案】②③ 【详解】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品； 两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误； 对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确； 对于③，B：“所取3件中至少有一件为次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品； 与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确； 对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； 两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 故答案为：②③ 17.（24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 【详解】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子，样本空间为， 事件包含的样本点为,. 故,. （2）由（1）知，. （3）由（1）知，, 故. 易错点4：忽略概率公式的使用条件 18．（25-26高二上·上海·单元测试）设A、B为任意两个随机事件，则下列各式中一定不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【详解】由于，所以ABC都有可能，D不可能， 故选：D 19．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知，记事件的对立事件为，则为 ． 【答案】 【详解】由对立事件的概率和为1可得， 故答案为：. 20．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则 ． 【答案】0.8 【详解】事件的对立事件为， ,则． 故答案为：0.8． 21．（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知，若A，B互斥，则 . 【答案】0.9 【详解】解：因为，且A，B互斥， 所以， 故答案为：0.9 22．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 ． 【答案】 【详解】因为事件A与事件B互斥， 所以， 故答案为： 23．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，，则 . 【答案】 【详解】因为事件与互斥，它们都不发生的概率为，且， ，解得， ， 故答案为：． 24.（24-25高二上·上海·阶段练习）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 【答案】 【详解】根据题意，设，则， 事件、互斥，它们都不发生的概率为， 则， 即， 解可得，即， 故答案为：. 25．（21-22高二上·上海黄浦·阶段练习）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 【答案】 【详解】因为事件互斥，它们都不发生的概率为，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 26．（25-26高二上·上海奉贤·阶段练习）设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为 . 【答案】 【详解】如下图所示：    由图可知，且， 所以事件与事件至少有一个发生的概率为. 故答案为：. 27．（24-25高二·上海·课堂例题）盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取两色均有的4个球．设事件A：4个球中有3个红球、1个白球，事件B：4个球中有1个红球、3个白球．已知，，求“4个球中红球与白球个数不同”的概率． 【答案】 【详解】因为试验为“从中任取两色均有的4个球”，则试验结果包括: 3个红球、1个白球；2个红球，2个白球和1个红球、3个白球三种， 故事件“4个球中红球与白球个数不同”包括：3个红球、1个白球和1个红球、3个白球两种结果， 可表示为：，因事件与事件互斥， 故其概率为： 28．（24-25高二·上海·随堂练习）（1）掷一颗均匀的骰子，设事件A：点数为奇数；事件B：点数不超过2．求． （2）已知样本空间Ω的事件A，B，C两两互斥，表示事件A，B，C中至少有一个发生．求证：． 【详解】（1）解：依题意掷一颗均匀的骰子出现的点数有6种结果，即基本事件总数为6，事件A包含的基本事件有1点、3点、5点，事件B包含的基本事件有1点、2点，则包含的基本事件有1点、2点、3点、5点共4个；故； （2）因为A，B，C两两互斥，故，C也是互斥事件， 所以，而A，B互斥，故， 故． 29．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 【详解】（1）数对的样本空间中所含样本点的个数个. （2）函数的对称轴为， 对于事件，则，即,因, 则满足事件的数对有，，共3个，故； 对于事件，则，则，满足事件的数对有，，，,，,共个，故. （3）由（2）可知，事件发生时有，事件发生时有，则事件与事件互斥， 则事件A、事件B至少一个发生的概率. 易错点5：对 “放回” 和 “不放回” 问题判断错误 30．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 【答案】 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 31．（23-24高二·上海·课堂例题）已知4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名学生依次抽取（抽出后不放回），他们的中奖概率是否一样？为什么？ 【详解】4名学生依次抽取（抽出后不放回），他们中奖的概率一样. 第一个人中奖的概率，第二个人中奖的概率， 第三个人中奖的概率，第四个人中奖的概率， 所以他们的中奖概率都是，中奖概率一样. 32．（22-23高二·全国·课堂例题）一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地抽取产品，每次取1个，求： (1)取两次，两次都取得一等品的概率； (2)取三次，第三次才取得一等品的概率． 【详解】（1）令为第i(i=1，2，3)次取得一等品． （1）． （2）． 33．（23-24高二下·上海·阶段练习）从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个.构成数对，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字．设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取出的数字是2”． (1)写出此试验的样本空间及的值； (2)判断A与B是否为互斥事件，并求． 【详解】（1）样本空间：， 所以.因为，， 所以，.从而，. （2）因为，故与不是互斥事件. 又.所以. 从而. 一、单选题 1．（24-25高二下·上海青浦·期末）有个质地大小相同的球，分别标有数字从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（   ）. A．甲与丙相互独立 B．乙与丙相互独立 C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立 【答案】D 【分析】利用古典概型的概率求得每个事甲，乙，丙，丁四事件的概，进而利用相互独立事件的定义逐项计算判断即可.. 【详解】分别标有数字从中有放回地随机取两次，总的方法数有种， 其中甲事件包含6种情况， 乙事件包含6种情况， 丙事件包含4种情况， 丁事件包含5种情况， 所以甲，乙，丙，丁. 对于A，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲与丙不相互独立，故A不正确； 对于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙与丙不相互独立，故B不正确； 对于C，丙丁，所以丙丁丙丁，所以丙与丁不相互独立，故C不正确； 对于D，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲与乙相互独立，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（　　） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个白球” C．“至少有一个黑球”与“都是白球” D．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” 【答案】D 【分析】根据互斥事件与对立的事件的概念判断即可. 【详解】事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”可同时发生，不是互斥事件，故A错误； “至少有一个黑球”与“至少有一个白球”可同时发生，不是互斥事件，故B错误； “至少有一个黑球”与“都是白球”，是互斥事件且对立，故C错误； “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”，互斥又不对立，故D正确； 故选：D. 3．（24-25高二下·上海杨浦·期末）某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门.已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比.现在等可能的从该校选取一名学生，设事件A为“该学生选报数学建模”，事件为“该学生选报物理实验”，事件为“该学生两门选修课都选报”，则下列结论错误的是（   ） A． B．A与不互斥 C． D．A与相互独立 【答案】D 【分析】因为每位学生至少选报一门，所以判断C；根据容斥原理求判断A；通过判断是否为0判断B；通过判断等式是否成立判断两事件是否相互独立. 【详解】因为每位学生至少选报一门，所以，C正确； 由容斥原理，所以， 所以，A正确； 因为，所以A与B不互斥，B正确； 因为，，所以A与C不独立，D错误. 故选：D 4．（24-25高二下·上海徐汇·期末）如果事件与事件独立，且，，、分别是、的对立事件，那么以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据独立事件、对立事件的概率公式判断． 【详解】因为事件与事件是相互独立事件，则事件与事件也是相互独立事件， 所以，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意. 故选：C 5．（24-25高二下·上海浦东新·期中）关于概率和频率，下列说法中正确的是（   ） A．任何事件的概率总在内 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．频率可用来估算概率，因而也称经验概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 【答案】C 【分析】由频率和概率的有关概念即可得出答案. 【详解】对于A，任何事件的概率总是在之间，其中必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0，“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A错误； 对于B，只有通过试验，才会得到频率的值，故频率不是客观存在的， 一般来说，当试验的次数不同，频率是不同的，它与试验次数有关，故B错误； 对于C，由频率的性质可知，随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故C正确； 对于D，概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关，试验前能确定，故D错误； 故选：C. 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（    ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为8 【答案】C 【分析】由事件相互独立的乘法公式，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， ，共18个基本事件，所以， 设事件为“第二次朝上面的数字是奇数”，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为“第二次朝上面的数字是2”，则，所以事件与事件不是独立事件，故B错误； 设事件为“两次朝上面的数字之和是9”，则共4个基本事件，则，因为事件，所以，所以，所以事件与事件相互独立，故C正确； 设事件为“两次朝上面的数字之和是8”，则共5个基本事件，则，因为事件，所以，所以，所以事件与事件不相互独立，故D错误. 故选：C． 7．（25-26高二上·上海奉贤·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则下述正确的是（   ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D． 【答案】C 【分析】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：；事件A包含的结果是：；事件B包含的结果是：，由对立互斥独立的概念逐一判断各个选项即可求解. 【详解】抛掷一枚骰子的所有可能结果是：； 事件A包含的结果是：； 事件B包含的结果是：. 因为未包含所有可能结果（如1，3没包含在内），A与B不对立，故A错误； 因为，A与B不互斥，故B错误； 因为，， 因此A与B相互独立，故C正确； ，，， 而，故D错误. 故选：C. 二、填空题 8．（24-25高二下·上海·期中）已知事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件、至少有一个发生的概率为 ． 【答案】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式可求得结果. 【详解】因为事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率， 则事件、至少有一个发生的概率为. 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海普陀·期中）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，那么第9次出现反面朝上的概率是 ； 【答案】 【分析】根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】每次试验出现正反面的概率是相等的，均为， 所以第9次出现反面朝上的概率是. 故答案为： 10．（24-25高二下·上海·期中）小明在书店随机地选一本书，设事件：小明选的书是数学书，事件：小明选的书是中文版的书，事件：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书，请写出表示的事件： . 【答案】选到一本2024年前出版的中文版的数学书 【分析】根据并事件、交事件、对立事件的定义判断即可； 【详解】因为{选到一本数学书}，{选到一本中文版的书}，{选到一本2024年或2024年以后出版的书}， 所以{选到一本2024年前出版的中文版的数学书}． 故答案为：选到一本2024年前出版的中文版的数学书 11．（24-25高二下·上海闵行·期中）甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为0.7，乙未投中的概率为0.2，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意，分为甲中乙未中和甲未中乙中，两种情况，结合相互独立事件的概率公式，进行计算，即可求解. 【详解】设事件“甲投中”，事件“乙投中”，可得，， 则两人中恰有1人投中的概率为. 故答案为：. 12．（22-23高二下·上海浦东新·期中）甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为0.8，0.5，已知两人是否投中互不影响，则两人中至少有一个人投中的概率为 . 【答案】 【分析】由事件的相互独立性计算两人都没有投中的概率，再根据对立事件的概率公式求两人至少有一人投中的概率即可. 【详解】由事件的相互独立性可知：两人都没有投中的概率为， 所以两人中至少有一个人投中的概率. 故答案为：. 13．（24-25高二下·上海·期中）小玲、小强两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人在罚球区各投1球．已知小玲、小强每轮投中的概率分别为，每轮比赛中两人是否投中互不影响，各轮比赛之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 . 【答案】 【分析】由“星队”在两轮比赛中共投中3球的可能情况结合互斥、对立事件的概率求法及独立事件乘法公式即可求解. 【详解】“星队”在两轮比赛中共投中3球，则两轮比赛中一轮甲、乙有一人未投中，一轮两人均投中， 所以其概率为：. 故答案为： 14．（24-25高二下·上海·期中）一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从五个球中任取两个， 共有种取法， 其中1，3；1，5；2，4；3，5四种取法数字之和为偶数， 利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为偶数的概率是， 故答案为：. 三、解答题 15．（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)事件A和事件B相互独立，理由见解析 【分析】（1）根据题意，用列举法进行求解即可； （2）根据相互独立事件的定义，结合古典概型公式进行求解即可. 【详解】（1）依题意试验的样本空间为： （2）事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以事件A和事件B相互独立. 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)，，相互独立，理由见解析 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）根据古典概型的概率公式求出，，，再根据独立事件的定义判断． 【详解】（1）依题意试验的样本空间，，，，，，，，； （2）事件和事件相互独立，理由如下： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立． 17．（24-25高二下·上海嘉定·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和小于8的概率； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，再放回后再抽取1张卡片，求这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列出符合题意的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得； （2）列出符合题意的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）一次抽取3张卡片所得的样本空间是，共有4个样本点，它们是等可能的， 其中样本点、的数字之和小于8， 则3张卡片上数字之和小于8的概率是． （2）这三次抽取的卡片上的数字的总的结果有种情况，每一种情况是等可能的． 极差大于2的情况，一定有1、4，、各有3种，、各有6种，共18种， 则概率为． 因此，这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率是． 18．（24-25高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 【答案】(1) (2)相互独立，理由见解析 【分析】（1）由题意可得共有16个基本事件，再列举出事件包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可得共有12个基本事件，再分别列举出事件和同时发生的基本事件，然后求出，再利用独立事件的定义分析判断即可. 【详解】（1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片， 共包含个基本事件， 其中事件：包含3个基本事件， 所以. （2）若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 事件，所以， 事件，所以， 当同时发生，即2张卡片上数宁之和是3的倍数同时积足4的倍数，有两种取法， 所以， 因为，所以事件与事件是独立的. 19．（24-25高二下·上海·阶段练习）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机地抽取3次，每次抽取1张. (1)若抽取是放回的，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c.求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率； (2)若抽取是不放回的，记事件A为第一次取出标记为1的卡片，事件B为第二次取出标记为2的卡片，判断事件A，B是否独立. 【答案】(1)； (2)不独立，理由见详解 【分析】（1）先根据古典概型，计算“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再由对立事件的概率求解即可； （2）列出样本空间，分别求出事件A,B及AB发生的概率，验证与是否相等即可. 【详解】（1）依题意，放回的随机地抽取3次，每次抽取1张共有种结果， 其中满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的有： ，共计3个， 故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为， ∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为. （2）根据题意，全体样本空间为，， 事件，，故， 事件，，故， 事件，,故， 因为，所以事件不相互独立. 20．（24-25高二上·上海·阶段练习）某类型题目需要从A，B，C，D四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分． (1)有一道考试题甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD，求考生甲本题得4分的概率； (2)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为得3分的概率为；考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙、丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由相互独立事件的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意甲同学选择的所有可能答案构成的样本空间为共10个样本点： 设事件表示“考生甲猜对本题得4分”， 则有3个样本点， 所以． （2）由题意乙得0分的概率为，丙得0分的概率为， 乙、丙总分刚好得18分的情形有以下几种： 情形一记为事件：乙得12分有一种情况，丙得6分有三种情况， 则， 情形二记为事件：乙得9分有两种情况，丙得9分有两种情况， 则， 事件：乙得6分有三种情况，丙得12分有一种情况， 则， 所以乙、丙总分刚好得18分的概率. 21．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. (2)①答案见解析；②不公平 【分析】（1）根据古典概型的计算公式求盒中红球、黄球、蓝球的个数. （2）①根据题意，列出样本空间即可； ②结合古典概型，分别求出甲乙获胜的概率，即可作出判断. 【详解】（1）设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个， 由题意：. 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. （2）①因为是有放回的随机抽取两次，每次抽取一球，所以样本空间为：，其中包含个样本点，并且每个样本点发生的可能性相同. ②因为红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5,6. 根据规则，甲获胜的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个样本点，所以甲获胜的概率为， 从而乙获胜的概率为：. 因为，所以这个游戏不公平. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $