第12章 概率初步（复习讲义）高二数学沪教版2020必修第三册

第12章 概率初步（复习讲义） 1.能清晰阐述随机事件、必然事件、不可能事件的定义，准确区分三类事件并举例说明；​ 2.熟练掌握频率与概率的关系，理解概率的统计定义，明确频率的稳定性是概率的现实基础，能通过频率估 计简单随机事件的概率；​ 3.精准记忆古典概型的两大特征（有限性、等可能性），能准确判断具体问题是否属于古典概型；​ 4.掌握互斥事件、对立事件的定义及区别与联系，能结合实例辨别互斥事件与对立事件。 知识点01：随机现象与样本空间 1．随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2．样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用w表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn} 3.随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 4.必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 5.不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 6.确定事件包括必然事件和不可能事件 知识点02：古典概率 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 常用结论： 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 知识点03： 频率与概率 1.概率与频率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2.事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω， 则A与B对立 常用结论： 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 知识点04： 随机事件的独立性 1、随机事件独立性的定义 （1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2、独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则 题型一 随机现象 【例1】（24-25高二上·上海·课前预习）一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现（发生）的结果所组成的集合称为一个 ，用 表示，其中的元素称为 ． 【变式1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）从0、1、2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字． (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)写出“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间． 【变式1-2】（22-23高二上·上海·单元测试）设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合． (1)写出该事件的样本空间； (2)写出事件A、事件B包含的样本点； (3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？ 题型二 判断事件是否是随机事件 【例2】（24-25高二上·上海·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 【变式2-1】（23-24高二下·上海·阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（    ）个． ①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为； ③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上． A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·上海·单元测试）下列事件： ①在空间内取三个点，可以确定一个平面； ②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份； ③某电影院某天的上座率会超过50%； ④函数在定义域上是严格减函数； ⑤从一个装有100000只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球； ⑥一次抛掷3颗骰子，3颗掷得的点数和不小于3． 其中， 是不确定事件， 是必然事件， 是不可能事件．（填写序号） 【变式2-3】（23-24高二下·上海·期中）出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 题型三 计算古典概型问题的概率 【例3】（24-25高二上·上海金山·期末）掷一颗质地均匀的骰子出现点数是2的概率为 . 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期末）不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是 . 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为 ． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面. (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集并求出这一事件的概率. 题型四 判断所给事件是否是互斥关系 【例4】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷一颗骰子，设事件A：落地时向上的点数是奇数，事件B：落地时向上的点数是偶数，事件C：落地时向上的点数小于3，事件D：落地时向上的点数大于5，则下列每对事件中，不是互斥事件的为是（    ） A．A与B； B．B与C； C．A与D； D．C与D． 【变式4-1】（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式4-2】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【变式4-3】（23-24高二下·上海·阶段练习）从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个.构成数对，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字．设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取出的数字是2”． (1)写出此试验的样本空间及的值； (2)判断A与B是否为互斥事件，并求． 题型五 利用对立事件的概率公式求概率 【例5】（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则 ． 【变式5-1】（24-25高二上·上海浦东新·期末）记事件A的对立事件为，若，则为 . 【变式5-2】（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知，记事件的对立事件为，则为 ． 【变式5-3】（25-26高二上·上海奉贤·阶段练习）设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为 . 题型六 互斥事件的概率加法公式 【例6】（25-26高二上·上海·单元测试）设A、B为任意两个随机事件，则下列各式中一定不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式6-1】（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知，若A，B互斥，则 . 【变式6-2】（22-23高二下·上海浦东新·期末）甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为 . 【变式6-3】（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知事件与事件互斥，且，，则 ． 题型七 利用互斥事件的概率公式求概率 【例7】（23-24高二下·上海杨浦·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是 ． 【变式7-1】（22-23高二上·上海·单元测试）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是甲级品的概率为 ． 【变式7-2】（22-23高二上·上海虹口·期末）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 【变式7-3】（21-22高二上·上海崇明·期末）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是 . 题型八 计算频率 【例8】（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是 . 【变式8-1】（25-26高二上·上海·单元测试）某同学进行了15局的赛车游戏，其中10局取得胜利，则取得胜利的频率是 ． 【变式8-2】（24-25高二上·上海·课后作业）一家药物公司试验一种新药，在1000个病人中试验，其中857人有明显疗效，80人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率（经验概率）是 . 【变式8-3】（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 题型九 独立事件的乘法公式 【例9】（24-25高二上·上海金山·期末）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.6，则目标被甲乙同时击中的概率为 . 【变式9-1】（24-25高二上·上海·期末）已知A，B为两个独立事件，且，，则 ． 【变式9-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）A、B相互独立，，，则 【变式9-3】（25-26高二上·上海·单元测试）在一个装有红球、蓝球和白球的口袋中摸出一个，若摸到红球、蓝球的概率分别为和．从中摸出一个放回去再摸出一球，则恰好两次都摸到白球的概率是 ． 题型十 独立事件的实际应用 【例10】（23-24高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【变式10-1】在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求： (1)甲乙同时射中目标的概率； (2)甲乙中至少有一人击中目标的概率. 【变式10-2】（22-23高二上·上海徐汇·期末）俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率. 【变式10-3】一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗正六面体骰子次，每次掷得的点数均相互独立，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关. (1)这个游戏最多过几关？ (2)某人连过前两关的概率是？ (3)某人连过前三关的概率是？ 基础巩固通关测 1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海徐汇·期末）设是一个随机事件，则的取值范围是 . 3．（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为 ． 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上的概率是 ． 5．（24-25高二上·上海·期末）袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 112 342 241 244 342 142 431 233 214 344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 ． 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 7．（24-25高二上·上海长宁·期末）甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 8．（23-24高二上·上海虹口·期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙都不命中的概率； (3)甲和乙至少一人命中的概率． 9．（24-25高二上·上海·期末）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 能力提升进阶练 1．（24-25高二上·上海黄浦·期末）同时掷两颗骰子，则所得点数互不相等的概率是（   ）. A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）如果A与B是独立事件，与分别是A与B的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）一个袋子中有2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次都取到白球的概率为 . 4．（22-23高二上·上海嘉定·期中）甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 . 5．（22-23高二上·上海徐汇·期末）为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一辆雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.83，则抽到一等品的概率为 ． 6．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知事件与事件互斥，如果，，那么 . 7．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在某道路A，B两处设有红灯、绿灯交通信号，汽车在A，B两处通过（即通过绿灯）的概率分别是和，某辆汽车在这条道路上匀速行驶，则两处都不停车的概率为 . 8．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）同时掷两颗骰子，求 (1)所得点数之和为7的概率： (2)所得点数之和小于5或大于10的概率； 9．（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 概率初步（复习讲义） 1.能清晰阐述随机事件、必然事件、不可能事件的定义，准确区分三类事件并举例说明；​ 2.熟练掌握频率与概率的关系，理解概率的统计定义，明确频率的稳定性是概率的现实基础，能通过频率估 计简单随机事件的概率；​ 3.精准记忆古典概型的两大特征（有限性、等可能性），能准确判断具体问题是否属于古典概型；​ 4.掌握互斥事件、对立事件的定义及区别与联系，能结合实例辨别互斥事件与对立事件。 知识点01：随机现象与样本空间 1．随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2．样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用w表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn} 3.随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 4.必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 5.不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 6.确定事件包括必然事件和不可能事件 知识点02：古典概率 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 常用结论： 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 知识点03： 频率与概率 1.概率与频率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2.事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω， 则A与B对立 常用结论： 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 知识点04： 随机事件的独立性 1、随机事件独立性的定义 （1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2、独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则 题型一 随机现象 【例1】（24-25高二上·上海·课前预习）一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现（发生）的结果所组成的集合称为一个 ，用 表示，其中的元素称为 ． 【答案】 样本空间 样本点 故答案为：样本空间；；样本点 【变式1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）从0、1、2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字． (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)写出“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）这个随机试验的样本空间为. （2）“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间为. 【变式1-2】（22-23高二上·上海·单元测试）设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合． (1)写出该事件的样本空间； (2)写出事件A、事件B包含的样本点； (3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？ 【详解】（1）＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}． （2）A：S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10； B：S7，S8，S9，S10. （3）铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种， 从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种， 合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)； 题型二 判断事件是否是随机事件 【例2】（24-25高二上·上海·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 【答案】C 【详解】对于A，标有数字4的标签可能取到，也可能取不到，不是必然事件，A不是； 对于B，底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，不是必然事件，B不是； 对于C，平行于同一条直线的两条直线互相平行，一定能发生，是必然事件，C是； 对于D，有公共点的两个圆可能相交，也可能相切，不是必然事件，D不是. 故选：C 【变式2-1】（23-24高二下·上海·阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（    ）个． ①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为； ③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于事件①，某人购买福利彩票一注，中奖万元，该事件为随机事件； 对于事件②，三角形的内角和为，该事件为必然事件； 对于事件③，地球上，没有空气和水，人类可以生存下去，该事件为不可能事件； 对于事件④，同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上，该事件为随机事件. 因此，随机事件的个数为. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·上海·单元测试）下列事件： ①在空间内取三个点，可以确定一个平面； ②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份； ③某电影院某天的上座率会超过50%； ④函数在定义域上是严格减函数； ⑤从一个装有100000只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球； ⑥一次抛掷3颗骰子，3颗掷得的点数和不小于3． 其中， 是不确定事件， 是必然事件， 是不可能事件．（填写序号） 【答案】 ①③⑤ ②⑥ ④ 【详解】①空间中不共线的三点可确定一个平面，故①是随机事件； ②一年中有12个月份，故13个人中，一定有至少2个人的生日在同一个月份，为必然事件； ③是随机事件； ④当时，函数在定义域内为减函数，故④为不可能事件； ⑤是随机事件． 故答案为：①③⑤；②；④ 【变式2-3】（23-24高二下·上海·期中）出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 【答案】可能 【详解】根据概率的意义，刮出500元的概率是， 表示刮出500元的可能性是，所以这件事可能发生. 故答案为：可能 题型三 计算古典概型问题的概率 【例3】（24-25高二上·上海金山·期末）掷一颗质地均匀的骰子出现点数是2的概率为 . 【答案】 【详解】掷一颗质地均匀的骰子，出现点数的基本事件总数， 出现的点数是包含的基本事件个数， 所以，掷一颗质地均匀的骰子出现点数是的概率为. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期末）不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是 . 【答案】 【详解】因为不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同， 所以从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是： ， 故答案为． 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为 ． 【答案】 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子,基本事件总数， 观察两枚骰子出现“两个点数相等”包含的基本事件有：共6个， 观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为． 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面. (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集并求出这一事件的概率. 【详解】（1）用、分别表示正面与反面，则抛掷3枚硬币的样本空间为 ； （2）由（1）可知“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集为 ，则， 所以“恰有两枚正面向上”这一事件的概率为. 题型四 判断所给事件是否是互斥关系 【例4】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷一颗骰子，设事件A：落地时向上的点数是奇数，事件B：落地时向上的点数是偶数，事件C：落地时向上的点数小于3，事件D：落地时向上的点数大于5，则下列每对事件中，不是互斥事件的为是（    ） A．A与B； B．B与C； C．A与D； D．C与D． 【答案】B 【详解】对于A，因为落地时向上的点数是奇数与落地时向上的点数是偶数不可能同时发生， 所以事件A与B是互斥事件，所以A错误， 对于B，因为落地时向上的点数是偶数与落地时向上的点数小于3可能同时发生，如落地时向上的点数为2， 所以事件B与C不是互斥事件，所以B正确， 对于C，因为落地时向上的点数是奇数与落地时向上的点数大于5不可能同时发生， 所以事件A与D是互斥事件，所以C错误， 对于D，因为落地时向上的点数小于3与落地时向上的点数大于5不可能同时发生， 所以事件C与D是互斥事件，所以D错误. 故选：B 【变式4-1】（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】对于A，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项A不正确； 对于B，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点数是”， ∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B正确； 对于C，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项C不正确； 对于D，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项D不正确. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【答案】②③ 【详解】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品； 两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误； 对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确； 对于③，B：“所取3件中至少有一件为次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品； 与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确； 对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； 两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 故答案为：②③ 【变式4-3】（23-24高二下·上海·阶段练习）从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个.构成数对，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字．设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取出的数字是2”． (1)写出此试验的样本空间及的值； (2)判断A与B是否为互斥事件，并求． 【详解】（1）样本空间：， 所以.因为，， 所以，.从而，. （2）因为，故与不是互斥事件. 又.所以. 从而. 题型五 利用对立事件的概率公式求概率 【例5】（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则 ． 【答案】0.8 【详解】事件的对立事件为， ,则． 故答案为：0.8． 【变式5-1】（24-25高二上·上海浦东新·期末）记事件A的对立事件为，若，则为 . 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知，记事件的对立事件为，则为 ． 【答案】 【详解】由对立事件的概率和为1可得， 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高二上·上海奉贤·阶段练习）设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为 . 【答案】 【详解】如下图所示：    由图可知，且， 所以事件与事件至少有一个发生的概率为. 故答案为：. 题型六 互斥事件的概率加法公式 【例6】（25-26高二上·上海·单元测试）设A、B为任意两个随机事件，则下列各式中一定不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【详解】由于，所以ABC都有可能，D不可能， 故选：D 【变式6-1】（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知，若A，B互斥，则 . 【答案】0.9 【详解】解：因为，且A，B互斥， 所以， 故答案为：0.9 【变式6-2】（22-23高二下·上海浦东新·期末）甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为 . 【答案】 【详解】甲和乙下中国象棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为， 甲乙和棋的概率为： 故答案为：. 【变式6-3】（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知事件与事件互斥，且，，则 ． 【答案】 【详解】因为随机事件与互斥，且，， 所以. 故答案：. 题型七 利用互斥事件的概率公式求概率 【例7】（23-24高二下·上海杨浦·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是 ． 【答案】 【详解】用频率估计概率，可知这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率. 故答案为： 【变式7-1】（22-23高二上·上海·单元测试）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是甲级品的概率为 ． 【答案】 【详解】依题意可知，抽检一件是甲级品的概率为. 故答案为： 【变式7-2】（22-23高二上·上海虹口·期末）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 【答案】 【详解】因为事件A、B都不发生的概率为， 所以, 又因为代入上式可得， 所以， 故答案为: . 【变式7-3】（21-22高二上·上海崇明·期末）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是 . 【答案】 【详解】由题意，任意取出粒棋子，不考虑先后顺序，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子种可能， 设事件：取出粒都是黑子，事件：取出粒都是白子，事件：取出粒恰好是一粒黑子一粒白子，则，，两两互斥， 由已知有，， ∵， ∴， ∴从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是. 故答案为：. 题型八 计算频率 【例8】（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是 . 【答案】0.51 【详解】由题意，出现正面的频率为. 故答案为：0.51. 【变式8-1】（25-26高二上·上海·单元测试）某同学进行了15局的赛车游戏，其中10局取得胜利，则取得胜利的频率是 ． 【答案】 【详解】取得胜利的频率是， 故答案为： 【变式8-2】（24-25高二上·上海·课后作业）一家药物公司试验一种新药，在1000个病人中试验，其中857人有明显疗效，80人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率（经验概率）是 . 【答案】0.143 【详解】没有明显疗效的频率（经验概率）是， 故答案为：0.143 【变式8-3】（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 【答案】 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案为：0.56 题型九 独立事件的乘法公式 【例9】（24-25高二上·上海金山·期末）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.6，则目标被甲乙同时击中的概率为 . 【答案】0.48 【详解】记事件为甲击中目标，事件为乙击中目标， 由题意得，与相互独立，且，. 则目标被甲乙同时击中的概率. 故答案为：0.48. 【变式9-1】（24-25高二上·上海·期末）已知A，B为两个独立事件，且，，则 ． 【答案】0.28 【详解】因为A，B为两个独立事件，且，， 则． 故答案为：. 【变式9-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）A、B相互独立，，，则 【答案】 【详解】因为A、B相互独立，，， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式9-3】（25-26高二上·上海·单元测试）在一个装有红球、蓝球和白球的口袋中摸出一个，若摸到红球、蓝球的概率分别为和．从中摸出一个放回去再摸出一球，则恰好两次都摸到白球的概率是 ． 【答案】 【详解】摸到白球的概率为， 恰好两次都摸到白球的概率是， 故答案为：. 题型十 独立事件的实际应用 【例10】（23-24高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【答案】 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 【变式10-1】在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求： (1)甲乙同时射中目标的概率； (2)甲乙中至少有一人击中目标的概率. 【详解】（1）设“甲击中目标”为事件，“乙击中目标”为事件， 则，且事件，相互独立， 所以甲乙同时射中目标的概率为. （2）设“甲乙中至少有一人击中目标”为事件， 则它的对立事件为“甲乙都没有击中目标”记为：， 则. 【变式10-2】（22-23高二上·上海徐汇·期末）俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率. 【详解】由题知，俞女士每次投篮的命中率只有0.2，每次投篮结果互不影响， 记俞女士每次投篮命中为事件，即， 因为连续两次命中就结束投篮练习， 所以 投篮次数为2次就能结束的概率为， 投篮次数为3次就能结束的概率为， 投篮次数为4次就能结束的概率为， 所以她至多四次投篮就能结束的概率为. 【变式10-3】一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗正六面体骰子次，每次掷得的点数均相互独立，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关. (1)这个游戏最多过几关？ (2)某人连过前两关的概率是？ (3)某人连过前三关的概率是？ 【详解】（1）因为骰子出现的点数最大为，当时，，而，所以时，这次抛掷所出现的点数之和均小于，所以最多只能过关. （2）记一次抛掷所出现的点数之和大于为事件，基本事件总数为个，符合题意的点数为，共个，所以；记两次抛掷所出现的点数之和大于为事件，基本事件总数为个，不符合题意的点数为，共个，则由对立事件的概率得，所以连过前两关的概率为; （3）前两次和为，第三次点数为 则考虑 再考虑 2种 3种 4种 5种 6种 5种 4种 3种 2种 1种 所以满足共有. 因此某人连过前三关的概率是. 基础巩固通关测 1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将一枚质地均匀的硬币抛掷一次，出现正面，还是反面，是随机事件，且是等可能的， ∴无论抛多少次，每一次抛掷出现反面的概率都为. ∴第99次抛掷出现反面的概率是. 故选：D. 2．（23-24高二上·上海徐汇·期末）设是一个随机事件，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】随机事件的概率， 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为 ． 【答案】{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 【详解】由题意可得样本空间为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 故答案为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上的概率是 ． 【答案】 【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为， 所以第98次出现反面朝上的概率是． 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期末）袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 112 342 241 244 342 142 431 233 214 344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 ． 【答案】 【详解】恰好抽取三次就停止的事件有：221，132，112，241，142，共有5种情况， 故恰好抽取三次就停止的概率为， 故答案为： 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】16 【详解】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有16个. 故答案为：16 7．（24-25高二上·上海长宁·期末）甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 【答案】875 【详解】甲连胜两局后， 乙最后获胜的情况为后面三局必须乙胜，其概率为：， 即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为， 故甲分得奖金元才公平. 故答案为：875. 8．（23-24高二上·上海虹口·期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙都不命中的概率； (3)甲和乙至少一人命中的概率． 【详解】（1）设甲命中为事件，概率为，乙罚球时命中为事件，概率为， 则设甲和乙同时命中为事件,则. （2）设甲和乙都不命中为事件，则. （3）甲和乙至少一人命中为事件，. 9．（24-25高二上·上海·期末）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 【详解】（1）由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点” 所以事件对应的集合为， 则； （2）若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为， 则事件，事件至少一个发生对应的集合， 则. 能力提升进阶练 1．（24-25高二上·上海黄浦·期末）同时掷两颗骰子，则所得点数互不相等的概率是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用列举法求古典概型的概率. 【详解】掷两颗骰子，所有情况如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由上表，一共有36种情况，所得点数互不相等有30种情况， 所以所求概率为. 故选：B 2．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）如果A与B是独立事件，与分别是A与B的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A与B是独立事件，则与也是独立事件，与，与也是独立事件， 所以，， 由，则不一定成立， 故选：D． 3．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）一个袋子中有2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次都取到白球的概率为 . 【答案】 【详解】由题意得两次随机取两球有种取法， 其中两次都取到白球的取法有2种， 故两次都取到白球的概率为， 故答案为：． 4．（22-23高二上·上海嘉定·期中）甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 . 【答案】 【详解】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为， 乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为， 所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为. 故答案为：. 5．（22-23高二上·上海徐汇·期末）为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一辆雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.83，则抽到一等品的概率为 ． 【答案】 【详解】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，，， 则，解得， 所以抽到一等品的概率为0.76. 故答案为：6. 6．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知事件与事件互斥，如果，，那么 . 【答案】 【详解】事件与事件互斥，则，， 故. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在某道路A，B两处设有红灯、绿灯交通信号，汽车在A，B两处通过（即通过绿灯）的概率分别是和，某辆汽车在这条道路上匀速行驶，则两处都不停车的概率为 . 【答案】 【详解】因为汽车在A，B两处通过（即通过绿灯）的概率分别是和， 所以两处都不停车的概率为， 故答案为： 8．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）同时掷两颗骰子，求 (1)所得点数之和为7的概率： (2)所得点数之和小于5或大于10的概率； 【详解】（1）投掷两颗骰子这个试验的样本空间为， ， 点数之和为7的情况为：，共6种情况， 所以所得点数之和为7的概率为. （2）所得点数之和小于5的情况为：，共6种情况， 点数之和大于10的情况为：，共3种情况， 所以所得点数之和小于5或大于10的概率为. 9．（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $