第12章 概率初步（单元测试·基础卷）高二数学沪教版2020必修第三册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第12章 概率初步·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. {（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 2. 3. 4. 6 5. 取出的2球都是红球 6. 7. 可能 8. 9. 10 11. 0.4 12. 1600 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C A B A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面. (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集并求出这一事件的概率. 【详解】（1）用、分别表示正面与反面，则抛掷3枚硬币的样本空间为 ；……（7分） （2）由（1）可知“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集为 ，则， 所以“恰有两枚正面向上”这一事件的概率为.……（14分） 18．（14分）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【详解】（1）依题意试验的样本空间，，，，，，，，；……（7分） （2）事件和事件相互独立，理由如下： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立．……（14分） 19．（14分）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 【详解】（1）由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点” 所以事件对应的集合为， 则；……（7分） （2）若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为， 则事件，事件至少一个发生对应的集合， 则.……（14分） 20．（18分）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即.……（9分） （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即.……（18分） 21．（18分）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 【详解】（1）设取得两个红球为事件，取得两个绿球为事件，至少取得一个红球为事件， 易知，为互斥事件，，为对立事件；7个红玻璃球，3个绿玻璃球， 从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有（个）， 其中事件发生所包含的基本事件有（个）， 事件发生所包含的基本事件有（个）， 所以， 所以取得两个红球的概率为：.……（6分） （2）取得两个同颜色的球的概率为：.……（12分） （3）至少取得一个红球的概率为：.……（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第12章 概率初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为 ． 2．小璐同学抛一枚质量均匀的硬币，抛了2023次都是正面朝上，那他抛第2024次正面朝上的概率为 ． 3．若事件与互斥，且，，则 ． 4．从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 . 5．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，事件“取出的2球中至少有1个白球”的对立事件是 . 6．如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上的概率是 ． 7．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 8．某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 9．已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 10．当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 . 11．已知在一次随机试验中，定义两个随机事件，，且，，，则 . 12．两个打牌，单局赢的概率是，三局两胜，赌金是1800元，现在一局后， 先赢一局后赌局中止，那么应当拿走 元. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 14．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 15．掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 16．下列结论：①如果，那么为必然事件： ②若事件与是互斥事件，则； ③概率是随机的，试验前不能确定； ④若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件． 其中是正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面. (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集并求出这一事件的概率. 18．（14分）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 19．（14分）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 20．（18分）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 21．（18分）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第12章 概率初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为 ． 2．小璐同学抛一枚质量均匀的硬币，抛了2023次都是正面朝上，那他抛第2024次正面朝上的概率为 ． 3．若事件与互斥，且，，则 ． 4．从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 . 5．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，事件“取出的2球中至少有1个白球”的对立事件是 . 6．如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上的概率是 ． 7．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 8．某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 9．已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 10．当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 . 11．已知在一次随机试验中，定义两个随机事件，，且，，，则 . 12．两个打牌，单局赢的概率是，三局两胜，赌金是1800元，现在一局后， 先赢一局后赌局中止，那么应当拿走 元. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 14．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 15．掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 16．下列结论：①如果，那么为必然事件： ②若事件与是互斥事件，则； ③概率是随机的，试验前不能确定； ④若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件． 其中是正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面. (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集并求出这一事件的概率. 18．（14分）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 19．（14分）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 20．（18分）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 21．（18分）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第12章 概率初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为 ． 【答案】{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 【详解】由题意可得样本空间为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 故答案为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 2．小璐同学抛一枚质量均匀的硬币，抛了2023次都是正面朝上，那他抛第2024次正面朝上的概率为 ． 【答案】 【详解】每次抛硬币都是独立的， 所以他不论抛多少次，正面朝上的概率都是， 故答案为：. 3．若事件与互斥，且，，则 ． 【答案】 【详解】由于事件与互斥，且，所以, 故,所以， 故答案为： 4．从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 . 【答案】6 【详解】设第一次取出的球标号为，第二次取出的球标号为， 记基本事件为，， 则所有的基本事件为，共6个. 所以上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是6. 故答案为：6 5．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，事件“取出的2球中至少有1个白球”的对立事件是 . 【答案】取出的2球都是红球 【详解】从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，结果有“取出的2球都是红球”，“取出的2球是一红一白”，“取出的2球都是白球”， 所以事件“取出的2球中至少有1个白球”的对立事件是“取出的2球都是红球”. 故答案为：取出的2球都是红球. 6．如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上的概率是 ． 【答案】 【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为， 所以第98次出现反面朝上的概率是． 故答案为：. 7．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 【答案】可能 【详解】根据概率的意义，刮出500元的概率是， 表示刮出500元的可能性是，所以这件事可能发生. 故答案为：可能 8．某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【答案】 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 9．已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 【答案】 【详解】因为事件A与事件B互相独立，且，， 则. 故答案为：. 10．当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 . 【答案】 【详解】根据题意可得出现偶数的概率为，出现奇数的概率为， 则骰子滚动了两次，两次都是偶数的概率为， 两次都是奇数的概率为， 则两次出现的数字之和为偶数的概率是. 故答案为： 11．已知在一次随机试验中，定义两个随机事件，，且，，，则 . 【答案】0.4 【详解】由题意. 故答案为：0.4. 12．两个打牌，单局赢的概率是，三局两胜，赌金是1800元，现在一局后， 先赢一局后赌局中止，那么应当拿走 元. 【答案】1600 【详解】单局赢的概率是，则单局赢的概率是； 因为先赢一局后赌局中止，所以赢若继续比赛下去，则 赢的情况有：胜胜胜；胜败胜，其胜概率为； 赢的情况有：败胜胜，其胜的概率为； 所以，赢与赢的概率之比为， 所以应当拿走（元）. 故答案为：1600. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 【答案】C 【详解】对于A，标有数字4的标签可能取到，也可能取不到，不是必然事件，A不是； 对于B，底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，不是必然事件，B不是； 对于C，平行于同一条直线的两条直线互相平行，一定能发生，是必然事件，C是； 对于D，有公共点的两个圆可能相交，也可能相切，不是必然事件，D不是. 故选：C 14．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 15．掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】对于A，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项A不正确； 对于B，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点数是”， ∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B正确； 对于C，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项C不正确； 对于D，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项D不正确. 故选：B. 16．下列结论：①如果，那么为必然事件： ②若事件与是互斥事件，则； ③概率是随机的，试验前不能确定； ④若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件． 其中是正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】必然事件的概率是，所以①错误. 若事件与是互斥事件，则，所以②错误. 概率是理论值，是固定值，与实验前后无关，所以③错误. 若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件，所以④正确. 所以正确的有个. 故选：A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面. (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集并求出这一事件的概率. 【详解】（1）用、分别表示正面与反面，则抛掷3枚硬币的样本空间为 ；……（7分） （2）由（1）可知“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集为 ，则， 所以“恰有两枚正面向上”这一事件的概率为.……（14分） 18．（14分）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【详解】（1）依题意试验的样本空间，，，，，，，，；……（7分） （2）事件和事件相互独立，理由如下： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立．……（14分） 19．（14分）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 【详解】（1）由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点” 所以事件对应的集合为， 则；……（7分） （2）若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为， 则事件，事件至少一个发生对应的集合， 则.……（14分） 20．（18分）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即.……（9分） （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即.……（18分） 21．（18分）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 【详解】（1）设取得两个红球为事件，取得两个绿球为事件，至少取得一个红球为事件， 易知，为互斥事件，，为对立事件；7个红玻璃球，3个绿玻璃球， 从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有（个）， 其中事件发生所包含的基本事件有（个）， 事件发生所包含的基本事件有（个）， 所以， 所以取得两个红球的概率为：.……（6分） （2）取得两个同颜色的球的概率为：.……（12分） （3）至少取得一个红球的概率为：.……（18分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $