第13章 专题特训 与三角形的双角平分线有关的解题模型&利用“8字型飞镖型转化求角度-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

专题特训 与三角形的双角平分线有关的解题模型【教材延伸】 母题：（教材P17习题T9原题呈现）如图，在△ABC 【变式题2】两内角平分线→两外角平分线 中，∠A=100°，∠1=∠2，∠3=∠4，求x的值. 如图，在△ABC中，∠C=70°，AD,BD是 △ABC的外角平分线，AD与BD交于点D. 1009 (1)求∠D的度数； (2)若去掉“∠C=70”这个条件，试写出∠C与 ∠D之间的数量关系，并说明理由. 【延伸问】若将“∠A=100”改为“∠A=n°”，求 x的值. 【变式题1】两内角平分线>一内角一外角平分线 如图，在△ABC中，∠ABC与外角∠ACD的平 分线相交于点O. (1)若∠ABC=60°，∠ACB=70°，求∠O的度数； (2)请探究∠A和∠O之间的数量关系，并说明 理由. 模型总结：如图，BP,CP是△ABC的两条内角平分 线，CM,BN,CN是△ABC的三条外角平分线，则有： ①∠BPC=90°+2∠A; @∠M=7∠A: @∠N=90°-∠A: ④∠PBN-∠PCN=90°. 利用上述关系可以快速解决相关问题！ 11数学八年级上册人教版 针对训练 4.已知∠MAN,B,C分别是AM,AN上的点， 1.如图，BE,CF都是△ABC的角平分线，且 ∠ABC和∠ACB的平分线交于点P. M ∠EDC=70°，则∠A的度数为 ( ) A.50° B.40° C.70° D.35° 图① 图② 图③ (1)如图①，若∠MAN=90°，求∠P的度数； (第1题图) (第2题图) (2)如图@，若∠A=∠P,求∠A的度数： 2.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线 (3)如图③，∠CBM和∠BCN的平分线交于 交于点O,D是外角与内角平分线的交点，E 点Q,直接写出∠P和∠Q之间的数量关 是外角平分线的交点.若∠BOC=120°，则∠D 系，不需要证明。 的度数为 ,∠E的度数为 3.【构造基本模型解题】如图，在四边形MNCB 中，BD平分∠MBC,且与四边形MNCB的 外角∠NCE的平分线CD交于点D.若 ∠BMN=130°，∠CNM=100°，求∠D的度数. 0 【变式题】四边形：一内角与外角平分线→两 内角平分线 如图，在四边形ABCD中， BP平分∠ABC,CP平分 ∠BCD.若∠BAD=110°，6 ∠ADC=130°，则∠P的度数为 第十三章三角形12 专题特训 利用“8字型”“飞镖型”转化求角度【教材延伸·通性通法】 基本模型提炼：“8字型”：如图①，∠1十∠2=∠3十∠4； 解法二：（构造“8字型”） “飞镖型”：如图②，连接AO并延长（或延长BO,交 AC于点D或连接BC等)，易得∠BOC=∠B+ ∠BAC+∠C. 图① 图② 4.(教材P22复习题T9变式)在数学学习中， (一)直接运用基本模型 整体思想与转化思想是我们常用到的数学思 1.一个零件形状的示意图如图所示，∠B=20°， 想.如图①，求∠A十∠B+∠C+∠D+∠E ∠D=30°.若按规定∠A=90°时这个零件合 的度数时，我们可以连接CD,利用三角形的 格，则此时∠BCD的度数为 内角和，则有∠B十∠E=∠ECD十∠BDC, 这样∠A,∠B,∠C,∠D,∠E的和就转化到 同一个△ACD中，即∠A+∠B+∠C+ (第1题图) (第2题图) ∠D+∠E=180° 2.小明一笔画成的图形如图所示，若∠C=30°， 则∠A+∠B+∠D+∠E的度数为 A 图① 网④ (二)构造基本模型 3.【一题多解】一把帆布折椅的侧面示意图如图 (1)如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的 所示，∠A=28°，∠D=12°，∠ABC=64°， 度数为 ∠BCD=46°，求椅面和椅背的夹角∠AED (2)如图③，∠A+∠B+∠C十∠D+∠E的 的度数.（请将下面解题过程补充完整） 度数为； 解法一：（直接运用“飞镖型”结论） (3)如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F的度数为 D 【变式题】如图，∠BOF=120°，求∠A十 ∠B十∠C+∠D+∠E十∠F的度数. 13数学八年级上册人教版参考答案 12.解：(1)∠C=47°，∠CAE=22",∴.∠AEC=180°-（∠C+∠CAE)=111 ∠ABC-∠BCE-20'.DF∥CE,∴.∠F-∠BEC-20 .∠AEB-180°-∠AEC-69.∠CBD-30°，∴∠BFE-180°-∠AEB-∠CBD- 9.C10.C11.100 第十三章三角形 81°.(2)：∠BFE=81°，.∠AFB=180°-∠BFE=99,:∠BAF=2∠ABF,∠BAF 12.解：CD平分∠ACB,∠ACD=号∠ACB=35,∠BDF=∠A+∠ACD= 13.1三角形的概念 +∠ABF+∠AFB=180°，∴3∠ABF+99'=180..∠ABF=27 13.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.,∠BPC=90°， 100°.∴∠BFD=180°-∠ABE-∠BDF=55 1.C2.(1)△ABO.△ABC,△ABD△BOC,△ABC(2)∠OBC OB3.14 13.解：(1)AD1BC,∴.∠ADC=90°.：∠DAC=10°，∴∠ACB=90°-∠DAC=80°. 4.(1)△ABC,△ADB,△ACE,△ADE(2)△ADE5.C6.3 .∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90,'∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= 7.解：(1)△ABC△BPD,△CPD,△BAD,△CAD△BPA,△CPA(2)等腰三角 ∠ACB-∠PCB,·∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC (2)FAE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC,·∠MAE=专∠MAC,∠ABF= 形是△ABC,△ABP,△ACP,△BPC;等边三角形是△ABC. +∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A.(3)解：①30°②∠O 8.(1)3△ABD,△ACD,△BCD(2)9△ABD,△ABE,△BCD,△BCE,△BDE -Z∠A+45.【解析】由题意，易得∠A+∠ACP-∠P+∠ABP,∴∠ACP-∠ABP 合∠ABC.:∠MAE,∠MAC分别是△ABF,△ABC的外角，∠ME=∠ABF+ 13.2与三角形有关的线段 =90°-∠A.同理可得∠O+∠OBA=∠A+∠ACO,∴.∠O=∠A十∠ACO-∠OBA, ∠AFB,∠MAC-∠ABC+∠ACB.·∠AFB-∠MAE-∠ABF-∠MAC- 13.2.1三角形的边 'BO,CO分别平分∠ABP,∠ACP,∴∠OBA=∠ABP,∠ACO=号∠ACR.∴∠O ∠ABC-(∠MAC-∠ABC)=Z∠ACB=40 1.C2.A3.4(答案不唯一) 4.解：(1)3<x<7(2)第三边的长为奇数，且3<x<7,.x-5..三角形的周长为 -∠A+号∠ACP-2∠ABP-∠A+2(90'-∠A)-2∠A+45. 14.解：(1)10°(2)：∠B=g,∠BCA-B∴∠CAF-a十RAD平分∠CAF, 5十5十2=12(cm),:两条边的长为5cm,另外一条边的长为2cm,.这个三角形是底 第2课时直角三角形的性质与判定 ÷∠DAC=∠CAF=2(a+B.'∠BCA=∠D+∠DAC,∠D=∠BCA 边和腰不相等的等腰三角形， 1.D2.C3.D 5.三角形的稳定性6.D7.C8.2b-2a ∠DAC=B2(a+D=2(g-.PE⊥AD,∴∠DPE=90.∠PED=90-∠D 4.解：ADLBC,∠ADB=∠ADC=90.∠1+∠2=90°.∠1=∠2+4°，∴.∠2 9.解：(1)设底边长为acm,则稷长为3acm.由题意，得3a十3a十a=21,解得a=3. +4°+∠2=90°..∠2=43°.：∠C=64°，∴.∠DAC=90°-∠C=26°.∴∠BAC=∠2 -90-2(日a. ∴3a=9.∴.等腰三角形的三边长分别为3cm,9cm,9cm.(2)①当等厦三角形的底边 +∠DAC=-69°. 长为6cm时，腰长为(21一6)÷2=7,5(cm),期等腰三角形的三边长分别为6cm, 专题特训与三角形的双角平分线有关的解题模型【教材延伸】 5.直角6.D7.120°8.120 7.5cm,7.5cm,能构成三角形：②当等稷三角形的腰长为6cm时，底边长为21一2× 母题：解：：∠A=100°，∴，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°，即∠1+∠2+∠3+∠4 9.(1)解：：∠A=30°，∠B=60°，∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=90°.CE平分 6=9(cm),则等腰三角形的三边长分别为6cn,6cm,9cm,能构成三角形.故等腰三角 -80°.∠1-∠2，∠3-∠4，.2∠2+2∠4-80.∠2+∠4=40°，.x-180°- 形其他两边的长为7.5cm,7,5cm或6cm,9cm ∠ACB,·∠ACE=号∠ACB=45.(2)证期：CDLAB,∠B=60',∴∠BCD=90°- (∠2+∠4)=140°，即x=140. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 ∠B-30.:CE平分∠ACB,·∠BCE-∠ACE=45'.∠DCF-∠BCE-∠BCD= 【延伸问】解，：∠A=n',∠ABC+∠ACB=180°一∠A=180°一n,即∠1+∠2+∠3 1.B2.A3.204.C5.D6.B7.A8.5【变式题4.89.C10.45 15°..∠DCF十∠CDF=90°.△CFD是直角三角形. +∠4-180°-m°.∠1-∠2，∠3-∠4，.2∠2+2∠4-180°-n.∠2+∠4-90 专题特训三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 -2.∴x=180°-（∠2+∠4）=90+2，即x=90+2m 11.3 母题：解：∠B-30°，∠ACB-110°，∠BAC-180°-∠B-∠ACB=40°.AE平分 12.解：EF是△BDE的角平分线.理由如下：：DE∥AC,EF∥AD,∴∠BED= 【变式题1】解：(1)：∠ACB=70°，∴∠ACD=180°-∠ACB=110°.：B0平分 ∠BAC,∠BEF=∠BAD.:AD平分∠BAC,·∠BAD=∠BAC.÷∠BEF= ∠BAC,·∠BAE=2∠BAC=20,”AD是BC边上的商，·∠D=90,·∠BAD= ∠ABC,C0平分∠ACD,∴∠CB0=号∠ABC=30°，∠DC0=号∠ACD=55.·∠0 90°-∠B=60.÷∠DAE-∠BAD-∠BAE=40. ?∠BED,即EF平分∠BED.EF是△BDE的角平分线. 【变式题1】解：(1)：∠B=36°，∠C=70°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=74°，AD平 -∠DC0-∠CB0-25,(2)∠0-壹∠A理由知下：B0平分∠ABC,C0平分 13.解：(1)如图所示.(2)AD为△ABC的中线，BC-10,S△0 分∠BAC,∠CAD=÷∠BAC-37'AELBC,∠AEC=90,∴∠CAE-90-∠C∠ACD,·.∠DC0=号∠ACD,∠CBO=号∠ABC..∠0=∠DC0-∠CB0= =7SaAc=20,BD=5.同理可得5Ae=含56@=10.：Sam =20,∠DAE=∠CAD-∠CAE=17.(2)AD平分∠BAC,∠CAD= (∠AcD-∠ABC)=含∠A -合BD,EF六壹X5EF-10.∴EP-4. 是∠BAC-是180-∠C-∠B.:AE1BC,∠ABC-9g.∴∠CAE-90-∠C 【变式题2】解：(1)：∠C=70°，.∠CAB+∠CBA=180°-∠C=110°..∠EAB+ ∴∠DAE-∠CAD-∠CAE-ZI80-∠C-∠B)-(90'-∠O-Z(∠C-∠B)-10, ∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)-250,:AD,BD是△ABC的外角平分线， 14.48【变式题】36 微专题与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 ∴∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=125.·∠D=180°-（∠DAB+∠DBA) 【变式题2】解：猜想：∠DEF=(∠C-∠B).证明如下：过点A作AG⊥BC于点G. 1.A【延伸同132.(1)号(2)4 :EF⊥BC,∴.AG∥ER.∴∠DAG=∠DER.易得∠DAG=号（∠C-∠B),∠DEF =55.(2)∠D=90-专∠C.理由如下：∠CAB+∠CBA=180-∠C,六∠EAB+ 13.3三角形的内角与外角 ∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=360°-(180°-∠C)=180°+∠C.:AD,BD是 13.3.1三角形的内角 =2(∠C-∠B. △ABC的外角平分线，∠DAB+∠DBA-是（∠EAB+∠FBA)-Z(180'+∠C 第1课时三角形的内角和 【拓展应用1)∠F-(∠C-∠B围)（2)32(3)2z 1.A2.B3.B4.B5.606.23 =90+2∠C∴∠D=180-(∠DAB+∠DRA)=180-(90+7∠C)=90-7∠C 13.3.2三角形的外角 7.解：(1)∠BAC=95°，∠B=25°，.∠C=180°-∠BAC-∠B=60°.(2)：∠CAD= 1.B2.30°60° 1.D2.C3.C4.B5.120°6.(1)60(2)40 75°，.∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45 3.解：延长BM,CN交于点A.∠BMN=130,∠CNM=100°，∠AMN=180° 7.解：：∠A=50°，∠ACF=105,.∠B=∠ACF-∠A=55..∠BDF=180-∠B 8.B9.D10.50 ∠BMN=50°，∠ANM=180°-∠CNM=80°.∴∠A=180°-（∠AMN+∠ANM)= -∠F=100°， 11.解：由题意，得∠DAB=85°，∠BCE=45,∠ACE=50°.∴.∠ACB=∠ACE+ 8.解：(1)∠A=30°，∠ABC-70°，.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.CE是∠BCD 50.:BD平分∠MBC,CD平分∠NCE,·∠DBC-∠ABC,∠DCE-Z∠ACE ∠BCE=95.:AD∥CE,∴∠DAC=∠ACE=50°.，∠CAB=∠DAB-∠DAC 35.在△ABC中，∠B=180°-∠CAB-∠ACB=50°. 的平分线，∠BCE=号∠BCD=50.(2:∠BCE=50,∠ABC=70,∠BEC= ∴∠D=∠DCE-∠DBC=Z(∠ACE-∠ABC=2∠A=25 1 2 一3 【变式题】120 第十三章归纳与提升 10.(1)证明：，BE平分∠ABC,,∠ABE=∠DBE.在△ABE和△DBE中， 4.解：(1)，∠MAN=90°，∴.∠ABC+∠ACB=90,,∠ABC和∠ACB的平分线交于 思维导图梳理 AB-DB, 点P,.∠CBP=∠ABC,∠BCP=∠ACB.∴∠P=180-(∠CBP+∠BCP)= 大于小于180°互余互余不相邻 ∠ABE=∠DBE,∴△ABE2△DBE(SAS).(2)解：65”(3)解：BC-10,DB-AB 核心考点突破 BE=BE, 1B0°-（∠ABC+∠ACB)-135.(2)同(1）可得∠CBP-专∠ABC,∠BCP- 1.A2.C3.B4.B5.B6.D7.B8.C9.B10.4.511.B12.D13.D -7,∴.CD=BC-BD-3.△ABE≌△DBE,∴.DE=AE.·△DCE的周长为CD+ 14.C15.C16.210 CE+DE=CD+CE+AE=CD+AC=8. 2∠ACB.÷∠P-180'-(∠CBP+∠BCP)-180-2(∠ABC+∠ACB)-180' 17.解：(1)125°(2)∠C=70°，∠ABC=50°，.∠BAC=180°-∠ABC-∠C-60° 11.1或1.2【点被】根据题意，得AP=tcm,则BP=(5-t)cm.已知∠A=∠B,分两 2(180-∠A)=90°+Z∠A.'∠A=∠P,∴∠P=2∠A.∴2∠A=90+2∠A :AE平分∠BAC,∠CAE=宁∠BAC=30.:AD是△ABC的商，∴∠ADC=90. 种情况进行讨论：当AC=BP,AP=BQ时，可判定△ACP≌△BPQ:当AC=BQ,AP =BP时，可判定△ACPC☑△BQP.分别进行计算即可解答. ∴.∠A=60.(3)∠P+∠Q=180°. .∠DAC=90°-∠C=20°.·∠DAE=∠CAE-∠DAC=10° 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 专题特训利用“8字型”“飞镖型转化求角度【教材延伸·通性通法】 第十四章全等三角形 1,全等ASA2.∠A=∠BCE(答案不唯一)3.9 1.140°2.210° 14.1全等三角形及其性质 4.证明：AB∥CD,AE∥CF,∠B=∠D,∠AEB=∠CFD.BF=DE,.BF+EF 3.解法一：解：设AB,CD交于点O.:∠ABC=64,∠BCD=46,∠COB=180° 1.B2.C3.D4.CDD0∠C5.△EDF F ED6.C7.C8.13 r∠B=∠D, ∠ABC-∠BCD=70'..∠AOD=∠COB=70°.易得∠AED=∠A+∠D+∠AOD= 9.(1)证明，：△ABC≌△CDE,,∠BAC=∠DCE.∴，AB∥CE.(2)解：，△ABC☑ =DE+EF,即BE=DF.在△ABE和△CDF中，BE-DF, △ABEa 110 ACDE...CD-AB-12.AC-CE-7.AD-CD-AC-5. ∠AEB=∠CFD, 解法二：解：连接AD.由题意，易得∠DAB十∠ADC=∠ABC+∠BCD=I10°. 10.D11.B12.8 △CDF(ASA)..AB=CD. ∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴∠DAE+∠ADE=(∠DAB+∠ADC)-∠BAE 13.解：(1)，△ABC≌△DEB,AB=DE=10,EB=BC=4,.AE=AB-EB=6, 5.D6.(1)ASA(2)AAS7,2 ∠CDE=70°.·∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110 (2)△ABC≌△DEB,.∠A-∠D-30°，∠C-∠DBA-70°..∠ABC=180°-∠A ∠C=∠D, 4.(1)180°(2)180°(3)360 -∠C=80°.∴，∠DBC=∠ABC-∠DBA=10°. 8.(1)证明：在△ABC和△BAD中，∠CBA=∠DAB,∴.△ABC≌△BAD(AAS). 【变式题】解：连接EF,由题意，得∠BOF=∠B+∠C=∠EFO+∠FEO=120°，∠A+ 14.解：(1)AC⊥CE.理由如下：：AB⊥BD,∠B-90°.∠A+∠ACB=90 AB=BA, ∠D=∠DFE+∠AEF,.∠A+∠D+∠CFD+∠AEB=∠DFE+∠AEF+∠CFD △ABC≌△CDE,.∠A=∠DCE..∠DCE+∠ACB=90'.'∠DCE+∠ACB+ (2)解：20 +∠AEB=∠EFO+∠FpO=120°，∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEB+∠CFD=240° ∠ACE=180°，.∠ACE=90°，，AC⊥CE.(2)AC⊥BE,理由如下，由平移的性质，得 9.A10.1111.0.4 数学活动搭等边三角形与多边形的三角剖分【落实课标】 BE∥CE.由(1)知AC⊥CE,.ACLBE.(3):SAe=12,AFCF=3:1,.S△e 12.证明，(1)BD平分∠ABC,OB平分∠EOF,·∠EBO=∠FBO,∠BOE= ∠BOE=∠BOF, 动手操作1：解：如图所示。 =Se=3,由平移的性质，得△BD'E'≌△CDE,△ABC≌△CDE,△ABC≌ ∠BOF.在△OBE和△OBF中，OB=OB, ∴.△OBE≌△OBF(ASA). △BDE'..SaDg=SAA=12.SWw郑amEF-SamE一SAe-9. ∠EBO-∠FBO. 14.2三角形全等的判定 (2):∠BOE=∠COD=180°-∠BC=60°，∴.∠BOF=∠BOE=60°.∴.∠COF= 第1课时用“SAS”判定三角形全等 ∠BOC-∠BOF=60°..∠COF-∠COD.:CE平分∠ACB,∴.∠FCO=∠DCO.在 延种问：解：先把3根火柴棒拼成一个等边三角形，再把剩下的3根火 1.C 2.C 3.AEB SAS ∠COD=∠COF, 紫棒与原来的3根火紫排组合成三棱雏，如图所示，三被锥有四个面 4,证明：：∠BAE=∠CAD,·∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC= △COD和△COF中，OC-OC, .△COD2△COF(ASA) 每个面都是一样大小的三角形， AB-AE, L∠DCO-∠FCO, 动手操作2，解：如图所示，移动最上面两根火柴棒即可， ∠EAD.在△ABC和△AED中，∠BAC=∠EAD,.△ABC≌△AED(SAS). 13.解：任务一①DC0OD②理由如下：，AO⊥OD,∠AOB=∠DOC-90°.在 AC=AD, ∠AOB=∠DOC, 5.证明：AB=CD,.AB+BD=CD+BD,即AD=CB.在△AED和△CFB中， △AOB和△DOC中，∠ABO=∠DCO,△AOB≌△DOC(AAS),∴.OA=OD. AE=CF. AB-DC. ∠A=∠C,.△AED≌△CFB(SAS)..∠ADE=∠CBF,.BF∥DE. 任务二同意.理由如下：：△AOB2△DOC,∴OB=OC,OA=OD,∠OAB=∠ODC. AD-CB. r∠CAE=∠BDE, 【变式题】解：如图所示 6.解：他的测量方法正确.理由如下：0是AD,BC的中点，AD=D0=号AD,B0 ∴，OA-OC=OD-OB,即AC=DB.在△ACE和△DBE中，∠AEC=∠DEB, AC=DB. -C0-BC.:AD-BC,A0-D0-BO-CO.在△AOB和△DOC中， .△ACE≌△DBE(AAS)..AE=DE. AO=DO, 第3课时用“SSS”判定三角形全等 ∠AOB=∠DOC.∴.△AOB2△DOC(SAS).AB=CD.∴.测量A,B两点之间的距 1.C2.C BO-CO. 3.证明：AE=BF,∴AE+EF=BF+EF,即AF=BE.在△ADF和△BCE中， 数学抽象：解：(1)如图所示。456(2)按照上述三种方法，#边形分别可以被分 离即可得到CD的长度 AD=BC, 制成节一2，n一1，#个三角形. 7.B8.D AF=BE,∴.△ADF≌△BCE(SSS) 9.解：由题意，得AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°，：D村在公路BC的中点处， DF-CE. AD-AD. 4.AOF SSS∠EAO=∠FAO全等三角形的对应角相等 .BD=CD.在△ADB和△ADC中，∠ADB=∠ADC,△ADB≌△ADC(SAS) AC=BC, BD=CD. 5.证明：C为AB的中点，AC=BC.在△ACD和△BCE中，CD=CE,,△ACD ,.AB=AC=3km..EF=AB-AE-BF=1.1km.∴斜拉桥EF至少有1.1km长 AD-BE. 5 6