第13章 数学活动 搭等边三角形与多边形的三角剖分&三角形 归纳与提升-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

数学活动 搭等边三角形与多边形的三角剖分【落实课标】 活动1搭等边三角形 活动2多边形的三角剖分 情境引入：如图，用3根相同的火柴棒搭一个三 数学抽象：多边形上或内部的一点与多边形各 角形： 顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三 角形.如图①，给出了四边形的三种具体分割方 法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三 角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验 动手操作1：你能用5根相同的火柴棒搭出两 研究四边形了. 个三角形吗？先用火柴棒摆一摆，再画出来 图① (1)请按照上述三种方法分别将如图②所示的 六边形进行分割，并写出每种方法所得到的 延伸问：在动手操作1的基础上，再增加1根相 小三角形的个数. 同的火柴棒，你能否拼出四个三角形？怎样拼？ (画出简图，可以考虑立体图形) 图② 第1个图被分割成 个小三角形； 第2个图被分割成 个小三角形； 动手操作2：如图，移动哪两根火柴棒可以组成 第3个图被分割成 个小三角形 四个三角形？先用火柴棒摆一摆，再把结果画 (2)如果按照上述三种分割方法分别分割n边 出来. 形，请写出每种方法所得到的小三角形的个 数.（用含n的代数式写出结论即可，不必 画图) 【变式题】如图，你能移动四根火柴棒组成三个 三角形吗？试试看， 第十三章三角形14 第十三章归纳与提升 思维导图梳理 三角形的概念和分类 与三角形有 三边关系一三角形两边的和 第三边；三角形两边的差 第三边 关的线段 中线、角平分线、高一定义、画法 形 三角形的内角和等于 ;直角三角形的两个锐角 三角形的内 三角形的内角 有两个角 的三角形是直角三角形 角与外角 三角形的外角 三角形的外角等于与它 的两个内角的和 核心考点突破 考点个三角形的有关概念及三边关系 1.下列长度的三条线段，能构成三角形的是 B ( A.9,6,4 B.11,6,5 5.(易错题)若一个等腰三角形的腰长为3，则 C.6,2,3 D.3,10,6 它的周长可能是 C.15 D.20 2.（2024·陕西中考)如图，在△ABC中， A.5 B.10 ∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC 考点2三角形的中线、角平分线、高及稳定性 的中点，连接AE,则图中的直角三角形共有 6.下面四个图形中，线段BD是△ABC的高 ( ) 的是 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 D 7.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD, D (第2题图) (第3题图) E,F,G,H,M,N分别是四条边上的点.为了 3.(易错题)如图，已知AB=AC,AD=BD= 稳固，需要在窗框上钉一根木条，则这根木条 DE=CE=AE,则下列说法不正确的是( 应钉在 ( ) A.△ADE为等边三角形 A.G,N两点处 B.B,D两点处 B.图中共有3个等腰三角形 C.E,F两点处 D.M,H两点处 C.图中共有6个三角形 D.含∠B的三角形有△ABD,△ABE,△ABC 4.直观想象数形结合下列图形中，每个盒子里 都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按 图中所示剪成两段，这两段小棒再与另一根 (第7题图) (第8题图) 小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是 8.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分 线，AF是中线，则下列说法错误的是() 15 数学八年级上册人教版 A.BF=CF B.∠C+∠CAD=90°15.学科融合光的反射如图，两面镜子AB,BC C.∠BAF=∠CAFD.S△ABC=2S△ABF 的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射， 9.(2024·德州中考)如图，在△ABC中，AD是 ∠1=∠2，∠3=∠4.若∠α=70°，则∠3的 高，AE是中线，AD=4,S△ABc=12,则BE的 度数是 () 长为 A.30°B.35° C.40° D.45° A.1.5 B.3 0 C.4 D.6 10.如图，点D是△ABC的重心，连接AD, (第15题图) (第16题图) BD,延长AD交BC于点E.若△ABD的面 16.把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放 积为3，则△ACE的面积为 在一起，其中∠E=∠C=90°，∠A=45°， ∠D=30°，则∠1+∠2的度数为 17.如图，在△ABC中，AD是高，AE,BF是角 平分线，AE,BF相交于点O,∠C=70°. B (第10题图) (第11题图) (1)∠AOB的度数为 考点3三角形的内角与外角 (2)若∠ABC=50°，求∠DAE的度数. 11.如图，直线AB∥CD,∠B=40°，∠C=50°， 则∠E的度数是 A.100°B.90° C.80° D.70° 12.在△ABC中，三个内角度数之比为2：3： 5,则△ABC的形状是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 13.如图，∠1=∠2=150°，则∠3的度数为 ) A.30° B.150° C.120° D.60° B (第13题图) (第14题图) 14.如图，AD是∠BAC的平分线，CE是 △ADC的边AD上的高.若∠BAC=80°， ∠ECD=25°，则∠B的度数为( A.40°B.35° C.25° D.65 提示 请完成易错小测（二）汇第十三章] 第十三章三角形16【变式题】120 第十三章归纳与提升 10.(1)证明：，BE平分∠ABC,,∠ABE=∠DBE.在△ABE和△DBE中， 4.解：(1)，∠MAN=90°，∴.∠ABC+∠ACB=90,,∠ABC和∠ACB的平分线交于 思维导图梳理 AB-DB, 点P,.∠CBP=∠ABC,∠BCP=∠ACB.∴∠P=180-(∠CBP+∠BCP)= 大于小于180°互余互余不相邻 ∠ABE=∠DBE,∴△ABE2△DBE(SAS).(2)解：65”(3)解：BC-10,DB-AB 核心考点突破 BE=BE, 1B0°-（∠ABC+∠ACB)-135.(2)同(1）可得∠CBP-专∠ABC,∠BCP- 1.A2.C3.B4.B5.B6.D7.B8.C9.B10.4.511.B12.D13.D -7,∴.CD=BC-BD-3.△ABE≌△DBE,∴.DE=AE.·△DCE的周长为CD+ 14.C15.C16.210 CE+DE=CD+CE+AE=CD+AC=8. 2∠ACB.÷∠P-180'-(∠CBP+∠BCP)-180-2(∠ABC+∠ACB)-180' 17.解：(1)125°(2)∠C=70°，∠ABC=50°，.∠BAC=180°-∠ABC-∠C-60° 11.1或1.2【点被】根据题意，得AP=tcm,则BP=(5-t)cm.已知∠A=∠B,分两 2(180-∠A)=90°+Z∠A.'∠A=∠P,∴∠P=2∠A.∴2∠A=90+2∠A :AE平分∠BAC,∠CAE=宁∠BAC=30.:AD是△ABC的商，∴∠ADC=90. 种情况进行讨论：当AC=BP,AP=BQ时，可判定△ACP≌△BPQ:当AC=BQ,AP =BP时，可判定△ACPC☑△BQP.分别进行计算即可解答. ∴.∠A=60.(3)∠P+∠Q=180°. .∠DAC=90°-∠C=20°.·∠DAE=∠CAE-∠DAC=10° 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 专题特训利用“8字型”“飞镖型转化求角度【教材延伸·通性通法】 第十四章全等三角形 1,全等ASA2.∠A=∠BCE(答案不唯一)3.9 1.140°2.210° 14.1全等三角形及其性质 4.证明：AB∥CD,AE∥CF,∠B=∠D,∠AEB=∠CFD.BF=DE,.BF+EF 3.解法一：解：设AB,CD交于点O.:∠ABC=64,∠BCD=46,∠COB=180° 1.B2.C3.D4.CDD0∠C5.△EDF F ED6.C7.C8.13 r∠B=∠D, ∠ABC-∠BCD=70'..∠AOD=∠COB=70°.易得∠AED=∠A+∠D+∠AOD= 9.(1)证明，：△ABC≌△CDE,,∠BAC=∠DCE.∴，AB∥CE.(2)解：，△ABC☑ =DE+EF,即BE=DF.在△ABE和△CDF中，BE-DF, △ABEa 110 ACDE...CD-AB-12.AC-CE-7.AD-CD-AC-5. ∠AEB=∠CFD, 解法二：解：连接AD.由题意，易得∠DAB十∠ADC=∠ABC+∠BCD=I10°. 10.D11.B12.8 △CDF(ASA)..AB=CD. ∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴∠DAE+∠ADE=(∠DAB+∠ADC)-∠BAE 13.解：(1)，△ABC≌△DEB,AB=DE=10,EB=BC=4,.AE=AB-EB=6, 5.D6.(1)ASA(2)AAS7,2 ∠CDE=70°.·∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110 (2)△ABC≌△DEB,.∠A-∠D-30°，∠C-∠DBA-70°..∠ABC=180°-∠A ∠C=∠D, 4.(1)180°(2)180°(3)360 -∠C=80°.∴，∠DBC=∠ABC-∠DBA=10°. 8.(1)证明：在△ABC和△BAD中，∠CBA=∠DAB,∴.△ABC≌△BAD(AAS). 【变式题】解：连接EF,由题意，得∠BOF=∠B+∠C=∠EFO+∠FEO=120°，∠A+ 14.解：(1)AC⊥CE.理由如下：：AB⊥BD,∠B-90°.∠A+∠ACB=90 AB=BA, ∠D=∠DFE+∠AEF,.∠A+∠D+∠CFD+∠AEB=∠DFE+∠AEF+∠CFD △ABC≌△CDE,.∠A=∠DCE..∠DCE+∠ACB=90'.'∠DCE+∠ACB+ (2)解：20 +∠AEB=∠EFO+∠FpO=120°，∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEB+∠CFD=240° ∠ACE=180°，.∠ACE=90°，，AC⊥CE.(2)AC⊥BE,理由如下，由平移的性质，得 9.A10.1111.0.4 数学活动搭等边三角形与多边形的三角剖分【落实课标】 BE∥CE.由(1)知AC⊥CE,.ACLBE.(3):SAe=12,AFCF=3:1,.S△e 12.证明，(1)BD平分∠ABC,OB平分∠EOF,·∠EBO=∠FBO,∠BOE= ∠BOE=∠BOF, 动手操作1：解：如图所示。 =Se=3,由平移的性质，得△BD'E'≌△CDE,△ABC≌△CDE,△ABC≌ ∠BOF.在△OBE和△OBF中，OB=OB, ∴.△OBE≌△OBF(ASA). △BDE'..SaDg=SAA=12.SWw郑amEF-SamE一SAe-9. ∠EBO-∠FBO. 14.2三角形全等的判定 (2):∠BOE=∠COD=180°-∠BC=60°，∴.∠BOF=∠BOE=60°.∴.∠COF= 第1课时用“SAS”判定三角形全等 ∠BOC-∠BOF=60°..∠COF-∠COD.:CE平分∠ACB,∴.∠FCO=∠DCO.在 延种问：解：先把3根火柴棒拼成一个等边三角形，再把剩下的3根火 1.C 2.C 3.AEB SAS ∠COD=∠COF, 紫棒与原来的3根火紫排组合成三棱雏，如图所示，三被锥有四个面 4,证明：：∠BAE=∠CAD,·∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC= △COD和△COF中，OC-OC, .△COD2△COF(ASA) 每个面都是一样大小的三角形， AB-AE, L∠DCO-∠FCO, 动手操作2，解：如图所示，移动最上面两根火柴棒即可， ∠EAD.在△ABC和△AED中，∠BAC=∠EAD,.△ABC≌△AED(SAS). 13.解：任务一①DC0OD②理由如下：，AO⊥OD,∠AOB=∠DOC-90°.在 AC=AD, ∠AOB=∠DOC, 5.证明：AB=CD,.AB+BD=CD+BD,即AD=CB.在△AED和△CFB中， △AOB和△DOC中，∠ABO=∠DCO,△AOB≌△DOC(AAS),∴.OA=OD. AE=CF. AB-DC. ∠A=∠C,.△AED≌△CFB(SAS)..∠ADE=∠CBF,.BF∥DE. 任务二同意.理由如下：：△AOB2△DOC,∴OB=OC,OA=OD,∠OAB=∠ODC. AD-CB. r∠CAE=∠BDE, 【变式题】解：如图所示 6.解：他的测量方法正确.理由如下：0是AD,BC的中点，AD=D0=号AD,B0 ∴，OA-OC=OD-OB,即AC=DB.在△ACE和△DBE中，∠AEC=∠DEB, AC=DB. -C0-BC.:AD-BC,A0-D0-BO-CO.在△AOB和△DOC中， .△ACE≌△DBE(AAS)..AE=DE. AO=DO, 第3课时用“SSS”判定三角形全等 ∠AOB=∠DOC.∴.△AOB2△DOC(SAS).AB=CD.∴.测量A,B两点之间的距 1.C2.C BO-CO. 3.证明：AE=BF,∴AE+EF=BF+EF,即AF=BE.在△ADF和△BCE中， 数学抽象：解：(1)如图所示。456(2)按照上述三种方法，#边形分别可以被分 离即可得到CD的长度 AD=BC, 制成节一2，n一1，#个三角形. 7.B8.D AF=BE,∴.△ADF≌△BCE(SSS) 9.解：由题意，得AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°，：D村在公路BC的中点处， DF-CE. AD-AD. 4.AOF SSS∠EAO=∠FAO全等三角形的对应角相等 .BD=CD.在△ADB和△ADC中，∠ADB=∠ADC,△ADB≌△ADC(SAS) AC=BC, BD=CD. 5.证明：C为AB的中点，AC=BC.在△ACD和△BCE中，CD=CE,,△ACD ,.AB=AC=3km..EF=AB-AE-BF=1.1km.∴斜拉桥EF至少有1.1km长 AD-BE. 5 6