13.3.1 三角形的内角-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

参考答案 12.解：(1)∠C=47°，∠CAE=22",∴.∠AEC=180°-（∠C+∠CAE)=111 ∠ABC-∠BCE-20'.DF∥CE,∴.∠F-∠BEC-20 .∠AEB-180°-∠AEC-69.∠CBD-30°，∴∠BFE-180°-∠AEB-∠CBD- 9.C10.C11.100 第十三章三角形 81°.(2)：∠BFE=81°，.∠AFB=180°-∠BFE=99,:∠BAF=2∠ABF,∠BAF 12.解：CD平分∠ACB,∠ACD=号∠ACB=35,∠BDF=∠A+∠ACD= 13.1三角形的概念 +∠ABF+∠AFB=180°，∴3∠ABF+99'=180..∠ABF=27 13.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.,∠BPC=90°， 100°.∴∠BFD=180°-∠ABE-∠BDF=55 1.C2.(1)△ABO.△ABC,△ABD△BOC,△ABC(2)∠OBC OB3.14 13.解：(1)AD1BC,∴.∠ADC=90°.：∠DAC=10°，∴∠ACB=90°-∠DAC=80°. 4.(1)△ABC,△ADB,△ACE,△ADE(2)△ADE5.C6.3 .∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90,'∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= 7.解：(1)△ABC△BPD,△CPD,△BAD,△CAD△BPA,△CPA(2)等腰三角 ∠ACB-∠PCB,·∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC (2)FAE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC,·∠MAE=专∠MAC,∠ABF= 形是△ABC,△ABP,△ACP,△BPC;等边三角形是△ABC. +∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A.(3)解：①30°②∠O 8.(1)3△ABD,△ACD,△BCD(2)9△ABD,△ABE,△BCD,△BCE,△BDE -Z∠A+45.【解析】由题意，易得∠A+∠ACP-∠P+∠ABP,∴∠ACP-∠ABP 合∠ABC.:∠MAE,∠MAC分别是△ABF,△ABC的外角，∠ME=∠ABF+ 13.2与三角形有关的线段 =90°-∠A.同理可得∠O+∠OBA=∠A+∠ACO,∴.∠O=∠A十∠ACO-∠OBA, ∠AFB,∠MAC-∠ABC+∠ACB.·∠AFB-∠MAE-∠ABF-∠MAC- 13.2.1三角形的边 'BO,CO分别平分∠ABP,∠ACP,∴∠OBA=∠ABP,∠ACO=号∠ACR.∴∠O ∠ABC-(∠MAC-∠ABC)=Z∠ACB=40 1.C2.A3.4(答案不唯一) 4.解：(1)3<x<7(2)第三边的长为奇数，且3<x<7,.x-5..三角形的周长为 -∠A+号∠ACP-2∠ABP-∠A+2(90'-∠A)-2∠A+45. 14.解：(1)10°(2)：∠B=g,∠BCA-B∴∠CAF-a十RAD平分∠CAF, 5十5十2=12(cm),:两条边的长为5cm,另外一条边的长为2cm,.这个三角形是底 第2课时直角三角形的性质与判定 ÷∠DAC=∠CAF=2(a+B.'∠BCA=∠D+∠DAC,∠D=∠BCA 边和腰不相等的等腰三角形， 1.D2.C3.D 5.三角形的稳定性6.D7.C8.2b-2a ∠DAC=B2(a+D=2(g-.PE⊥AD,∴∠DPE=90.∠PED=90-∠D 4.解：ADLBC,∠ADB=∠ADC=90.∠1+∠2=90°.∠1=∠2+4°，∴.∠2 9.解：(1)设底边长为acm,则稷长为3acm.由题意，得3a十3a十a=21,解得a=3. +4°+∠2=90°..∠2=43°.：∠C=64°，∴.∠DAC=90°-∠C=26°.∴∠BAC=∠2 -90-2(日a. ∴3a=9.∴.等腰三角形的三边长分别为3cm,9cm,9cm.(2)①当等厦三角形的底边 +∠DAC=-69°. 长为6cm时，腰长为(21一6)÷2=7,5(cm),期等腰三角形的三边长分别为6cm, 专题特训与三角形的双角平分线有关的解题模型【教材延伸】 5.直角6.D7.120°8.120 7.5cm,7.5cm,能构成三角形：②当等稷三角形的腰长为6cm时，底边长为21一2× 母题：解：：∠A=100°，∴，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°，即∠1+∠2+∠3+∠4 9.(1)解：：∠A=30°，∠B=60°，∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=90°.CE平分 6=9(cm),则等腰三角形的三边长分别为6cn,6cm,9cm,能构成三角形.故等腰三角 -80°.∠1-∠2，∠3-∠4，.2∠2+2∠4-80.∠2+∠4=40°，.x-180°- 形其他两边的长为7.5cm,7,5cm或6cm,9cm ∠ACB,·∠ACE=号∠ACB=45.(2)证期：CDLAB,∠B=60',∴∠BCD=90°- (∠2+∠4)=140°，即x=140. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 ∠B-30.:CE平分∠ACB,·∠BCE-∠ACE=45'.∠DCF-∠BCE-∠BCD= 【延伸问】解，：∠A=n',∠ABC+∠ACB=180°一∠A=180°一n,即∠1+∠2+∠3 1.B2.A3.204.C5.D6.B7.A8.5【变式题4.89.C10.45 15°..∠DCF十∠CDF=90°.△CFD是直角三角形. +∠4-180°-m°.∠1-∠2，∠3-∠4，.2∠2+2∠4-180°-n.∠2+∠4-90 专题特训三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 -2.∴x=180°-（∠2+∠4）=90+2，即x=90+2m 11.3 母题：解：∠B-30°，∠ACB-110°，∠BAC-180°-∠B-∠ACB=40°.AE平分 12.解：EF是△BDE的角平分线.理由如下：：DE∥AC,EF∥AD,∴∠BED= 【变式题1】解：(1)：∠ACB=70°，∴∠ACD=180°-∠ACB=110°.：B0平分 ∠BAC,∠BEF=∠BAD.:AD平分∠BAC,·∠BAD=∠BAC.÷∠BEF= ∠BAC,·∠BAE=2∠BAC=20,”AD是BC边上的商，·∠D=90,·∠BAD= ∠ABC,C0平分∠ACD,∴∠CB0=号∠ABC=30°，∠DC0=号∠ACD=55.·∠0 90°-∠B=60.÷∠DAE-∠BAD-∠BAE=40. ?∠BED,即EF平分∠BED.EF是△BDE的角平分线. 【变式题1】解：(1)：∠B=36°，∠C=70°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=74°，AD平 -∠DC0-∠CB0-25,(2)∠0-壹∠A理由知下：B0平分∠ABC,C0平分 13.解：(1)如图所示.(2)AD为△ABC的中线，BC-10,S△0 分∠BAC,∠CAD=÷∠BAC-37'AELBC,∠AEC=90,∴∠CAE-90-∠C∠ACD,·.∠DC0=号∠ACD,∠CBO=号∠ABC..∠0=∠DC0-∠CB0= =7SaAc=20,BD=5.同理可得5Ae=含56@=10.：Sam =20,∠DAE=∠CAD-∠CAE=17.(2)AD平分∠BAC,∠CAD= (∠AcD-∠ABC)=含∠A -合BD,EF六壹X5EF-10.∴EP-4. 是∠BAC-是180-∠C-∠B.:AE1BC,∠ABC-9g.∴∠CAE-90-∠C 【变式题2】解：(1)：∠C=70°，.∠CAB+∠CBA=180°-∠C=110°..∠EAB+ ∴∠DAE-∠CAD-∠CAE-ZI80-∠C-∠B)-(90'-∠O-Z(∠C-∠B)-10, ∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)-250,:AD,BD是△ABC的外角平分线， 14.48【变式题】36 微专题与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 ∴∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=125.·∠D=180°-（∠DAB+∠DBA) 【变式题2】解：猜想：∠DEF=(∠C-∠B).证明如下：过点A作AG⊥BC于点G. 1.A【延伸同132.(1)号(2)4 :EF⊥BC,∴.AG∥ER.∴∠DAG=∠DER.易得∠DAG=号（∠C-∠B),∠DEF =55.(2)∠D=90-专∠C.理由如下：∠CAB+∠CBA=180-∠C,六∠EAB+ 13.3三角形的内角与外角 ∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=360°-(180°-∠C)=180°+∠C.:AD,BD是 13.3.1三角形的内角 =2(∠C-∠B. △ABC的外角平分线，∠DAB+∠DBA-是（∠EAB+∠FBA)-Z(180'+∠C 第1课时三角形的内角和 【拓展应用1)∠F-(∠C-∠B围)（2)32(3)2z 1.A2.B3.B4.B5.606.23 =90+2∠C∴∠D=180-(∠DAB+∠DRA)=180-(90+7∠C)=90-7∠C 13.3.2三角形的外角 7.解：(1)∠BAC=95°，∠B=25°，.∠C=180°-∠BAC-∠B=60°.(2)：∠CAD= 1.B2.30°60° 1.D2.C3.C4.B5.120°6.(1)60(2)40 75°，.∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45 3.解：延长BM,CN交于点A.∠BMN=130,∠CNM=100°，∠AMN=180° 7.解：：∠A=50°，∠ACF=105,.∠B=∠ACF-∠A=55..∠BDF=180-∠B 8.B9.D10.50 ∠BMN=50°，∠ANM=180°-∠CNM=80°.∴∠A=180°-（∠AMN+∠ANM)= -∠F=100°， 11.解：由题意，得∠DAB=85°，∠BCE=45,∠ACE=50°.∴.∠ACB=∠ACE+ 8.解：(1)∠A=30°，∠ABC-70°，.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.CE是∠BCD 50.:BD平分∠MBC,CD平分∠NCE,·∠DBC-∠ABC,∠DCE-Z∠ACE ∠BCE=95.:AD∥CE,∴∠DAC=∠ACE=50°.，∠CAB=∠DAB-∠DAC 35.在△ABC中，∠B=180°-∠CAB-∠ACB=50°. 的平分线，∠BCE=号∠BCD=50.(2:∠BCE=50,∠ABC=70,∠BEC= ∴∠D=∠DCE-∠DBC=Z(∠ACE-∠ABC=2∠A=25 1 2 一313.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 A分点训练 。夺实基础 离后到达观测点B,测得仰角∠CBD=60°， 点D,A,B共线，则从点C处观测A,B两处 知识点三角形的内角和定理 的视角∠ACB的度数是 1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则∠C的 7.如图，在△ABC中，∠BAC=95°，∠B=25°， 度数是 ( ) ∠CAD=75° A.80° B.90° C.100° D.105° (1)求∠C的度数； 2.在△ABC中，∠C=40°，∠B=4∠A,则∠A (2)求∠ADC的度数. 的度数为 ( A.26° B.28° C.30° D.40° 3.(教材P13练习T2变式)如图，点E,D分别 在AB,AC上.若∠B=35°，∠C=45°，则 ∠1+∠2的度数为 ( ) A.85 B.80 C.75° D.70° (第3题图) (第4题图) 4.(教材P12例1变式)如图，在△ABC中，AD B综合运用 。提升能力 是∠BAC的平分线，过点C作射线CE∥ 8.如图，在△ABC中，∠B+∠C=110°，AM平 AD.若∠B=60°，∠ACB=30°，则∠ACE的 分∠BAC,交BC于点M,MN∥AB,交AC 度数为 ( 于点N,则∠AMN的度数是 () A.40° B.45 C.55 D.60° A.30° 5.(教材P16习题T1变式)如图，x的值为 B.35° C.40° D.55 1616 9.(教材P16习题T2变式)一个三角形的三个 内角中 ( (第5题图) (第6题图) A.至少有一个等于90° 6.(教材P13练习T1变式)如图，某气象小组 B.至少有一个大于90° 在观测点A处测得探空气球底端C的仰角 C.不可能有两个大于89 ∠A=37°，随后向气球方向水平移动一段距 D.不可能都小于60° 5 数学八年级上册人教版 10.如图，在△ABC中，∠A= C创新拓展 ⊙发展素养 55°，∠B=75°，将三角形的 13.逻辑推理类比探究如图①，点P在△ABC 一角折叠，点C的对应点 C 内，连接BP,CP,且∠P=90° C'落在△ABC内.若∠CDA=20°，则 ∠CED的度数为 11.情境题建筑测量（教材P12例2变式）利 用课后服务时间，同学们在操场上进行实地 图① 图② 测量.如图，在A处测得建筑物B在北偏东 (1)若∠A=60°，则∠ABC+∠ACB的度数 85°的方向上，在C处测得建筑物B在南偏 为 东45°的方向上，原测量点A在南偏西50 (2)求证：∠ABP+∠ACP=90°-∠A. 的方向上，则在建筑物B处测得A,C两处 (3)将题干中“点P在△ABC内”改成“点P在 的视角∠B是多少度？ △ABC外”，其他条件不变，如图②所示. ①若∠A=60°，则∠ACP-∠ABP的度 数为 ； ②若BO,CO分别平分∠ABP,∠ACP,直 接写出∠O与∠A之间的数量关系. 12.如图，在△ABC中，∠CAE=22°，∠C= 47°，∠CBD=30°. (1)求∠BFE的度数； (2)若∠BAF=2∠ABF,求∠ABF的度数. 第十三章三角形（ 6 第2课时 直角三角形的性质与判定 A分点训练 。夯实基础 B综合运用 。提升能力 知识点①直角三角形的性质 6.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形 1.在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，则∠A的 的是 () 度数为 A.∠A+∠B=∠C A.25 B.75° C.55° D.65° B.∠A-∠B=∠C 2.如图，直线l∥AB,CD⊥l于点D.若∠C= C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=∠B=3∠C 40°，则∠1的度数是 ( A.30° B.40° D.60° 7.学科融合受力分析一只杯子静止在斜面上， C.50° 其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下， 40 支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方 向与斜面平行.若斜面的坡角α=30°，则摩擦力 -B F2与重力G方向的夹角β的度数为 (第2题图) (第3题图) 3.(教材P14练习T1变式)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,则下 列结论不一定成立的是 ( B (第7题图) (第8题图) A.∠A与∠1互余B.∠B与∠2互余 8.如图，在△ABC中，已知∠ABC=66°， C.∠A=∠2 D.∠1=∠2 ∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,∠1= 上的高，BE,CF交于点H,则∠EHF的度 ∠2+4°，∠C=64°，求∠BAC的度数. 数是 9.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CE 平分∠ACB. (1)求∠ACE的度数； (2)若CD⊥AB于点D,点F在CE上， ∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形. 知识点2直角三角形的判定 5.(教材P14练习T2变式)如图， 在△ABC中，E是AC边上的一 点，过点E作ED⊥AB,垂足为 D.若∠1=∠2，则△ABC是 三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”) 7 数学八年级上册人教版 专题特训三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB= 【变式题2】角平分线+高线→角平分线十高线 110°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC,求 的平行线 ∠DAE的度数. 【构造模型】如图，在△ABC中，AD是∠BAC 的平分线，∠B<∠C,点E在AD上，EF⊥BC 于点F,猜想∠DEF与∠B,∠C之间的数量关 系，并证明. 小明受到前面题目的启发，提出可过点A作 AG⊥BC于，点G,快速做出猜想.请你按照小明 的思路完成此题. 【变式题1】改变背景：钝角三角形→锐角三角形 如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E,AD平分 ∠BAC. (1)若∠B=36°，∠C=70°，求∠DAE的度数； (2)若∠C-∠B=20°，求∠DAE的度数 【拓展应用】(1)如图①，在△ABC中，∠C>∠B, AD平分∠BAC,点F在DA的延长线上， FELBC于点E,直接写出∠F与∠C,∠B之 间的数量关系： E BD 图① 图② 图③ 方法总结：三角形一个角的平分线与这个角的对边 (2)如图②，在△ABC中，AE平分∠BAC,F是 上的高形成的夹角等于另外两个角之差（大角减小 EA的延长线上一点，FD⊥BC于点D.若 角)的一半 ∠ABC=88°，∠C=24°，则∠F的度数为 已知：如图，在△ABC中，AD⊥ BC,AE平分∠BAC,∠B>∠C. (3)如图③，在△ABC中，AE平分∠BAC,F是 易得∠DAE=∠B∠C 2 AE的延长线上一点，FD⊥BC于点D.若 利用上述关系可以快速解决相关小题 ∠B=32°，∠C=76°，则∠F的度数为 第十三章三角形8