13.1 三角形的概念&13.2 与三角形有关的线段-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十三章三角形 13.1三角形的概念 ④分点训练 。夯实基础 6.新趋势新定义若有一条公共 知识点1三角形的有关概念 边的两个三角形称为一对“共边 1.下列由三条线段组成的图形中，是三角形 三角形”，则图中以BC为公共 的是 边的“共边三角形”有 对 7.如图，在△ABC中，AB=AC=BC,AD⊥BC 于点D,P是AD上一点，连接BP,CP. (1)图中的锐角三角形是 ;直角三角 B 形是 ;钝角三角形是 ； 2.(教材P4习题T1变式)看图填空： (2)若AP=BP=CP,找出图中的等腰三角 (1)图中以AB为边的三角形有 形和等边三角形. ；含∠ACB的三角形有 (2)在△BOC中，OC的对角是 ∠OCB的对边是 ) CB D (第2题图)（第3题图） (第4题图) 知识点2三角形的分类 3.如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AD⊥BC于 点D,过点D作DE⊥AC于点E,则图中一共有 C创新拓展 。发展素养 个钝角三角形，有个直角三角形 8.逻辑推理演绎思想（教材P4习题T5变式） 4.(教材P3例题变式)如图，在△ABC中，点 如图，已知点A,B,C在直线n上，点D在直 D,E在边BC上，AB=AC,BD=DE= 线m上. EC-AD-AE. (1)图中的等腰三角形是 (1)以点A,B,C,D中的任意 三点作为三角形的顶点，一 (2)图中的等边三角形是 共可以组成 个三角 ABcn B综合运用 。提升能力 形，分别为 (2)若在直线m上增加一点E,以点A,B,C, 5.下列给出的四个三角形都有一部分被遮挡， D,E中的任意三点作为三角形的顶点， 如果按角的大小来进行分类，那么其中不能 一共可以组成 个三角形，其中以点 判断三角形类型的是 B为顶点的三角形是 数学八年级上册人教版 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 A分点训练 。夯实基础 知识点②三角形的稳定性 知识点①三角形的三边关系 5.情境题工程安全设计如图，在生活中，为了 1.下列长度的三条线段中，不能组成三角形 保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成 的是 ( 三角形，这是利用了 A.3,4,5 B.3,6,7 B综合运用 。提升能力 C.4,5,9 D.6,6,11 6.(教材P7练习T2变式)将周长是12cm的 2.如图，人字梯的支架AB,AC的长度都为2m 三角形三条边展开，展开图正确的是( ) (连接处的长度忽略不计)，则B,C两点之间 6 cm 4cm 2cm 6 cm 3 cm 3 cm 的距离可能是 ( A B 7cm A.3 m B.4.2mC.5m D.6 m 3 cm 2 cm 5 cm 2cm C D 7.直观想象数形结合三根底端对齐的小棒中 有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示. 若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒 (第2题图)（第5题图)（第7题图） 的长度可以是 ( 3.新趋势半开放性题(2024·西宁中考)若长 A.2 B.3 C.4或5D.6 度分别为3,6，a的三条线段能组成一个三角 8.若△ABC的三条边长分别为a,b,c,则化简 形，则整数a的值可以是 .(写出一 |a-b-c|-|a十c-b的结果是 个即可) 9.(教材P6例题变式)已知等腰三角形的周长 4.已知一个三角形的一边长为5cm,另一边长 为21cm. 为2cm,若第三边长为xcm. (1)若腰长是底边长的3倍，求各边长； (1)第三边长x的取值范围为 (2)若一边长为6cm,求其他两边长. (2)当第三边长为奇数时，求这个三角形的周 长，并指出它是什么三角形（按边分类）， 第十三章三角形 2 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 A分点训练 ⊙夯实基础 7.如图，在△ABC中，边BC上的高是( 知识点三角形的中线 A.线段AE 1.如图，已知AD是△ABC的中线，BD=2,则 B.线段CD BC的长为 C.线段AF A.3 B.4 C.5 D.6 D.线段BF E 8.(教材P10习题T7变式)如图，在△ABC中， FG AD与CE是△ABC的两条高，AB=CE= (第1题图) (第2题图) 4,BC=5,则AD的长为 2.如图，在正方形网格中，点A,B,C,D,E,F, G均在格点上，则△ABC的重心是( A.点DB.点EC.点FD.点G 3.如图，在△ABC中，AB=7,AC=5,AD是 (第8题图) (变式题图) △ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长 【变式题】背景改变：锐角三角形→直角三角形 之差为 ,面积之差为 如图，已知AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分别是 C,D.若AC=6,BC=8,AB=10,则点C到 AB的距离是 (第3题图) (第5题图) B综合运用 。提升能力 知识点2三角形的角平分线 9.新趋势动手操作如图，下面是三名同学的折 4.三角形的角平分线是 A.直线 B射线 纸示意图，则AD依次是△ABC的( C.线段 D.以上均不对 5.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论错误 的是 B'C B(C 图① 图② 图③ A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 A.中线，角平分线，高 C.∠ACB=2∠3 B.高，中线，角平分线 D.CE是△ABC的角平分线 C.角平分线，高，中线 知识点3三角形的高 D.角平分线，中线，高 6.如图，在△ABC中，利用三角尺作BC边上 10.如图，AD,AE分别是 的高正确的是 △ABC和△ABD的角平 分线，且∠BAC=60°，则 ∠EAC的度数为 3 数学八年级上册人教版 11.如图，在△ABC中，AD, (2)若△ABC的面积为40，BC=10,求EF AE分别是边BC上的中 的长 线和高，点D在点E的左B 侧.已知AE=4,DE=1,S△ABC=16,则CE 的长为 12.(教材P10习题T8变式)如图，在△ABC 中，AD是角平分线，DE∥AC,交AB于点 E,EF∥AD,交BC于点F.试问：EF是 △BDE的角平分线吗？请说明理由. C创新拓展 。发展素养 14.如图，在△ABC中 (ACAB),AC=2BC, BC边上的中线AD把A △ABC的周长分成60cm和40cm两部分， 则边AC的长为 cm. 【变式题】无图时，需分类讨论 13.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD 在△ABC中，AC=2BC,BC边上的中线 的中线。 AD把△ABC的周长分成70和50两部分， (1)作△BED的边BD上的高EF; 则AB的长为 微专题与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 1.如图，D为BC的中点，E为AD的中点.若2.在△ABC中，已知D,E,F分别为BC, △ABC的面积为6，则图中阴影部分的面 AD,CE的中点. 积为 (1)如图①，若S△Bc=1cm2,则△BEF的面 A. 积为 cm2; (2)如图②，若S△rc=1cm2,则△ABC的 面积为 cm2. C.1 D.2 【延伸问】连接BE,则SAABE十SACDE的值为 D D 图① 图② 提示 猜完成阶段小测(-)[13.1~13.2] 第十三章三角形参考答案 12.解：(1)∠C=47°，∠CAE=22",∴.∠AEC=180°-（∠C+∠CAE)=111 ∠ABC-∠BCE-20'.DF∥CE,∴.∠F-∠BEC-20 .∠AEB-180°-∠AEC-69.∠CBD-30°，∴∠BFE-180°-∠AEB-∠CBD- 9.C10.C11.100 第十三章三角形 81°.(2)：∠BFE=81°，.∠AFB=180°-∠BFE=99,:∠BAF=2∠ABF,∠BAF 12.解：CD平分∠ACB,∠ACD=号∠ACB=35,∠BDF=∠A+∠ACD= 13.1三角形的概念 +∠ABF+∠AFB=180°，∴3∠ABF+99'=180..∠ABF=27 13.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.,∠BPC=90°， 100°.∴∠BFD=180°-∠ABE-∠BDF=55 1.C2.(1)△ABO.△ABC,△ABD△BOC,△ABC(2)∠OBC OB3.14 13.解：(1)AD1BC,∴.∠ADC=90°.：∠DAC=10°，∴∠ACB=90°-∠DAC=80°. 4.(1)△ABC,△ADB,△ACE,△ADE(2)△ADE5.C6.3 .∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90,'∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= 7.解：(1)△ABC△BPD,△CPD,△BAD,△CAD△BPA,△CPA(2)等腰三角 ∠ACB-∠PCB,·∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC (2)FAE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC,·∠MAE=专∠MAC,∠ABF= 形是△ABC,△ABP,△ACP,△BPC;等边三角形是△ABC. +∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A.(3)解：①30°②∠O 8.(1)3△ABD,△ACD,△BCD(2)9△ABD,△ABE,△BCD,△BCE,△BDE -Z∠A+45.【解析】由题意，易得∠A+∠ACP-∠P+∠ABP,∴∠ACP-∠ABP 合∠ABC.:∠MAE,∠MAC分别是△ABF,△ABC的外角，∠ME=∠ABF+ 13.2与三角形有关的线段 =90°-∠A.同理可得∠O+∠OBA=∠A+∠ACO,∴.∠O=∠A十∠ACO-∠OBA, ∠AFB,∠MAC-∠ABC+∠ACB.·∠AFB-∠MAE-∠ABF-∠MAC- 13.2.1三角形的边 'BO,CO分别平分∠ABP,∠ACP,∴∠OBA=∠ABP,∠ACO=号∠ACR.∴∠O ∠ABC-(∠MAC-∠ABC)=Z∠ACB=40 1.C2.A3.4(答案不唯一) 4.解：(1)3<x<7(2)第三边的长为奇数，且3<x<7,.x-5..三角形的周长为 -∠A+号∠ACP-2∠ABP-∠A+2(90'-∠A)-2∠A+45. 14.解：(1)10°(2)：∠B=g,∠BCA-B∴∠CAF-a十RAD平分∠CAF, 5十5十2=12(cm),:两条边的长为5cm,另外一条边的长为2cm,.这个三角形是底 第2课时直角三角形的性质与判定 ÷∠DAC=∠CAF=2(a+B.'∠BCA=∠D+∠DAC,∠D=∠BCA 边和腰不相等的等腰三角形， 1.D2.C3.D 5.三角形的稳定性6.D7.C8.2b-2a ∠DAC=B2(a+D=2(g-.PE⊥AD,∴∠DPE=90.∠PED=90-∠D 4.解：ADLBC,∠ADB=∠ADC=90.∠1+∠2=90°.∠1=∠2+4°，∴.∠2 9.解：(1)设底边长为acm,则稷长为3acm.由题意，得3a十3a十a=21,解得a=3. +4°+∠2=90°..∠2=43°.：∠C=64°，∴.∠DAC=90°-∠C=26°.∴∠BAC=∠2 -90-2(日a. ∴3a=9.∴.等腰三角形的三边长分别为3cm,9cm,9cm.(2)①当等厦三角形的底边 +∠DAC=-69°. 长为6cm时，腰长为(21一6)÷2=7,5(cm),期等腰三角形的三边长分别为6cm, 专题特训与三角形的双角平分线有关的解题模型【教材延伸】 5.直角6.D7.120°8.120 7.5cm,7.5cm,能构成三角形：②当等稷三角形的腰长为6cm时，底边长为21一2× 母题：解：：∠A=100°，∴，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°，即∠1+∠2+∠3+∠4 9.(1)解：：∠A=30°，∠B=60°，∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=90°.CE平分 6=9(cm),则等腰三角形的三边长分别为6cn,6cm,9cm,能构成三角形.故等腰三角 -80°.∠1-∠2，∠3-∠4，.2∠2+2∠4-80.∠2+∠4=40°，.x-180°- 形其他两边的长为7.5cm,7,5cm或6cm,9cm ∠ACB,·∠ACE=号∠ACB=45.(2)证期：CDLAB,∠B=60',∴∠BCD=90°- (∠2+∠4)=140°，即x=140. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 ∠B-30.:CE平分∠ACB,·∠BCE-∠ACE=45'.∠DCF-∠BCE-∠BCD= 【延伸问】解，：∠A=n',∠ABC+∠ACB=180°一∠A=180°一n,即∠1+∠2+∠3 1.B2.A3.204.C5.D6.B7.A8.5【变式题4.89.C10.45 15°..∠DCF十∠CDF=90°.△CFD是直角三角形. +∠4-180°-m°.∠1-∠2，∠3-∠4，.2∠2+2∠4-180°-n.∠2+∠4-90 专题特训三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 -2.∴x=180°-（∠2+∠4）=90+2，即x=90+2m 11.3 母题：解：∠B-30°，∠ACB-110°，∠BAC-180°-∠B-∠ACB=40°.AE平分 12.解：EF是△BDE的角平分线.理由如下：：DE∥AC,EF∥AD,∴∠BED= 【变式题1】解：(1)：∠ACB=70°，∴∠ACD=180°-∠ACB=110°.：B0平分 ∠BAC,∠BEF=∠BAD.:AD平分∠BAC,·∠BAD=∠BAC.÷∠BEF= ∠BAC,·∠BAE=2∠BAC=20,”AD是BC边上的商，·∠D=90,·∠BAD= ∠ABC,C0平分∠ACD,∴∠CB0=号∠ABC=30°，∠DC0=号∠ACD=55.·∠0 90°-∠B=60.÷∠DAE-∠BAD-∠BAE=40. ?∠BED,即EF平分∠BED.EF是△BDE的角平分线. 【变式题1】解：(1)：∠B=36°，∠C=70°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=74°，AD平 -∠DC0-∠CB0-25,(2)∠0-壹∠A理由知下：B0平分∠ABC,C0平分 13.解：(1)如图所示.(2)AD为△ABC的中线，BC-10,S△0 分∠BAC,∠CAD=÷∠BAC-37'AELBC,∠AEC=90,∴∠CAE-90-∠C∠ACD,·.∠DC0=号∠ACD,∠CBO=号∠ABC..∠0=∠DC0-∠CB0= =7SaAc=20,BD=5.同理可得5Ae=含56@=10.：Sam =20,∠DAE=∠CAD-∠CAE=17.(2)AD平分∠BAC,∠CAD= (∠AcD-∠ABC)=含∠A -合BD,EF六壹X5EF-10.∴EP-4. 是∠BAC-是180-∠C-∠B.:AE1BC,∠ABC-9g.∴∠CAE-90-∠C 【变式题2】解：(1)：∠C=70°，.∠CAB+∠CBA=180°-∠C=110°..∠EAB+ ∴∠DAE-∠CAD-∠CAE-ZI80-∠C-∠B)-(90'-∠O-Z(∠C-∠B)-10, ∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)-250,:AD,BD是△ABC的外角平分线， 14.48【变式题】36 微专题与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 ∴∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=125.·∠D=180°-（∠DAB+∠DBA) 【变式题2】解：猜想：∠DEF=(∠C-∠B).证明如下：过点A作AG⊥BC于点G. 1.A【延伸同132.(1)号(2)4 :EF⊥BC,∴.AG∥ER.∴∠DAG=∠DER.易得∠DAG=号（∠C-∠B),∠DEF =55.(2)∠D=90-专∠C.理由如下：∠CAB+∠CBA=180-∠C,六∠EAB+ 13.3三角形的内角与外角 ∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=360°-(180°-∠C)=180°+∠C.:AD,BD是 13.3.1三角形的内角 =2(∠C-∠B. △ABC的外角平分线，∠DAB+∠DBA-是（∠EAB+∠FBA)-Z(180'+∠C 第1课时三角形的内角和 【拓展应用1)∠F-(∠C-∠B围)（2)32(3)2z 1.A2.B3.B4.B5.606.23 =90+2∠C∴∠D=180-(∠DAB+∠DRA)=180-(90+7∠C)=90-7∠C 13.3.2三角形的外角 7.解：(1)∠BAC=95°，∠B=25°，.∠C=180°-∠BAC-∠B=60°.(2)：∠CAD= 1.B2.30°60° 1.D2.C3.C4.B5.120°6.(1)60(2)40 75°，.∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45 3.解：延长BM,CN交于点A.∠BMN=130,∠CNM=100°，∠AMN=180° 7.解：：∠A=50°，∠ACF=105,.∠B=∠ACF-∠A=55..∠BDF=180-∠B 8.B9.D10.50 ∠BMN=50°，∠ANM=180°-∠CNM=80°.∴∠A=180°-（∠AMN+∠ANM)= -∠F=100°， 11.解：由题意，得∠DAB=85°，∠BCE=45,∠ACE=50°.∴.∠ACB=∠ACE+ 8.解：(1)∠A=30°，∠ABC-70°，.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.CE是∠BCD 50.:BD平分∠MBC,CD平分∠NCE,·∠DBC-∠ABC,∠DCE-Z∠ACE ∠BCE=95.:AD∥CE,∴∠DAC=∠ACE=50°.，∠CAB=∠DAB-∠DAC 35.在△ABC中，∠B=180°-∠CAB-∠ACB=50°. 的平分线，∠BCE=号∠BCD=50.(2:∠BCE=50,∠ABC=70,∠BEC= ∴∠D=∠DCE-∠DBC=Z(∠ACE-∠ABC=2∠A=25 1 2 一3