第2章 实数（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

第二章实数 1认识实数 √知识梳理 无理数 小数称为无理数 和 统称实数 正有理数 有理数 实数 分类如下：实数 、负有理数 正无理数 无理数 负无理数 实数与数轴的关系 实数与数轴上的点是 的 (a>0), 实数的相反数、 数a的相反数是 ;al= (a=0), 绝对值和倒数 数a的例复是片a0》 (a<0); √针对训练 1.下列各数是无理数的是 π，-2.1010010001…（相邻两个1之 间0的个数逐次加1). A.0.7 B司 c D.-8 (1)有理数： 2.-5的相反数是 ( (2)无理数： A.-5 c.3 D.- 1 B.5 6.把数（一2）2，一2.5，π，-|一3在下面的 数轴上表示出来，并用“<”把它们连接 3.下列各数没有倒数的是 起来 A.3.6 B.0 C.-x D.4.3030030003… -6-5-4-3-2-10123456 4.下列说法正确的是 ( ) A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数 C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数 5.将下列各数填在相应的横线上： -243,917314,0-14, ·5· 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 √知识梳理 般地，如果一个正数x的 等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的算 术平方根，记作 ,读作“ ” 算术平方根 特别地，我们规定：0的算术平方根是 ,即√6= 当a≥0时，√a= ,(Wa)2= ；当a<0时，√aZ= √针对训练 1.3的算术平方根可表示为 ( (4)104. A.士√3B.√3 C.√9 D.土√9 2.9的算术平方根是 ( A.±3 B.±3 C.√3 D.3 3.计算√4的值是 ( A.2 B.±2 C.-2 D.√2 4.下列各数中，没有算术平方根的是( A.0.1 B.9 C.(-1)3 D.0 7.海啸的行进速度可按公式o=√gd计 算，其中v(m/s)表示海啸的速度，d(m) 5.(1)已知√元=6，则x=; 表示海水的深度，g表示重力加速度 (2)√32=，√(-3)2=，(3)2= 9.8m/s2.若在海洋深度20m处发生海 啸，求其行进的速度 6.求下列各数的算术平方根： (1)7; (2)1.69; 60 第2课时 平方根 √知识梳理 一般地，如果一个数x的 等于a,即x2=a,那么这个数x就叫作 定义 a的平方根（也叫作二次方根） 平方根 表示方法 正数a的平方根记作 ,读作“ 正数有 平方根，它们互为 ；0的平方根是：负数 性质 没有平方根 开平方 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方 针对训练 1.4的平方根是 )8.求下列各数的平方根： A.2 B.±2 (1)1.69; (2)21 49: (3)102. C.√2 D.-2 2.“36的平方根是士6”用式子表示为 ( A.士√36=士6 B.√36=士6 C.√36=6 D.-√36=-6 3.下列各数没有平方根的是 ( ) A.34 B.(-2)2 C.0 D.-9 4.下列计算正确的是 A.√16=士4 B.-√0.81=-0.9 9.已知一个正数的两个不相等的平方根是 C.±人93 49_7 D.土√(-6)2=-6 a+6与2a一9，求a的值及这个正数， 5.平方根等于它本身的数是 ( A.0 B.1 C.2 D.4 6.若a2=(一3)2，则a的值为 7.(1)已知某数的一个平方根是√/T,则这 个数是 ,它的另一个平方根是 (2)若数x一2的平方根只有一个，则x 的值是· 。7 第3课时 立方根 √知识梳理 一般地，如果一个数x的 等于a,即x3=a,那么这个数x就叫作a 定义 的立方根（也叫作三次方根） 立方根 表示方法 每一个数a都有一个立方根，记作 ,读作“ 性质 正数的立方根是 ,0的立方根是 ,负数的立方根是 开立方 求一个数a的立方根的运算，叫作开立方 (1)负数也有立方根，任意一个数都有唯一一个立方根； 解题策略 (2)立方根等于它本身的数有-1,0,1； (3)(a)3=a,a=a ◇针对训练 1.一8的立方根是 )5.求下列各式的值： A.±2 B.2 C.-2 D.4 (1)8-106; (2)30.512; 2.化简一27的结果为 ( A.3 B.-3 C.±3 D.3 3.下列说法正确的是 ( ) A.64的立方根是士4 (3)(-27)3； )- 343 125 B.0.25的立方根是0.5 C.0的立方根是0 D.立方根是它本身的数是0 4.求下列各数的立方根： （1343,20:(3)-2号：（④）-3. 6.已知x十4的平方根是士3,3x十y一1的 立方根是3，求y2-x2的算术平方根. ·8· 第4课时估算及用计算器开方 √针对训练 1.利用科学计算器求值时，小明的按键顺 (2)√11和3.4； 序为石4三，则计算器面板显示的 结果为 ( ) A.-2 B.2 C.±2 D.4 (3)一2和一√6； 2.下列各数中，小于一2的数是（ A.-√5 B.-√5 C.-√2 D.-1 3.估算√14的值在 ( A.2和3之间 B.3和4之间 和 C.4和5之间 D.5和6之间 4.与无理数√31最接近的整数是( A.4 B.5 C.6 D.7 5.写出一个比√2大且比√17小的整数： 6.用计算器求下列各式的值：（结果精确到 8.某工厂生产一种用于寄送小件快递的正 0.01) 方体纸盒如图所示，体积为700cm3.这 种正方体纸盒的棱长为多少厘米？它的 (1)√83≈ 棱长介于哪两个整数之间？ (2)3-3.28≈ (3)√/24-810≈ 7.通过估算比较下列各组数的大小： (1)/25和3； 9 3二次根式 第1课时二次根式及其乘除运算 √知识梳理 二次根式 一 般地，形如 的式子叫作二次根式，a叫作被开方数 二次根式的乘法法则 √a·√b= (a≥0，b≥0) 二次根式的除法法则 da- (a≥0，b>0) 针对训练 1.下列各式一定是二次根式的是（ (35+)× A.√ B.√2 C.√-4 D.5 2.二次根式√x一3中，x的取值范围是 ( A.x>3 B.x≠3 C.x≥3 D.x≥0 (4)50-32 3.计算0 的结果是 √2 √2 4.若一个长方形的长为2√6cm,宽为 I cm,则它的面积为 cm2. 5.计算： (5)(2√3+√6)(2√3-√6)； (1)3√5×2√5； 4÷ 2 (6)(1-√5)2. (2)√5÷√ ·10 第2课时二次根式的性质及其加减运算 √知识梳理 二次根式的性质 Vab- (a≥0，b≥0)/ a (a≥0，b>0) 一般地，被开方数不含 ,也不含能 的因数或因式，这 最简二次根式 样的二次根式，叫作最简二次根式 二次根式加减时，可以先将二次根式化成 二次根式，再将被开方数 二次根式的加减法 的二次根式进行合并 √针对训练 1.下列二次根式是最简二次根式的是 5.计算： ( ) (1)√75+48； A B.√7 C.√⑧ D.√0.3 2.计算4√3一√3的结果是 ( ) (2)25-√ 5 A.33 B.4 C.√3 D.3 3.若√6+√6=√，则x的值为 ( ) A.8 B.12 C.24 D.36 4.化简： 9 -169 (1)√/3X36; (2) 9； (3)W2-√2 (3)- 10 V49 (4)√(-5)×(-144. 432+2-√/得 ·11· 第3课时二次根式的混合运算 √知识梳理 运算顺序：先算 ,再算 ,最后算 ,有括号的先计算 二次根式的混合运算 括号里的 易错警醒 二次根式混合运算的结果应写成最简形式 针对训练 1.计算√12× F一8÷2的结果是( 42+5-12÷: √5 A.2 B.0 C.-2 D.一√2 2.下列各数中，与2一√3的乘积是有理数 的是 ( ) A.2+√3 B.2-√3 C.3-2 D.3 (5)(√2+3)（√2-5）. 3.若三角形的底边长为√⑧，底边上的高为 (3十√2)，则三角形的面积为 4.计算： (1)2√12-√2X6; 5.先化简，再求值：(a-√3)(a+3)-a(a- 5),其中a=√5+1. (2)(√80+√40)÷√5； (3)+ √63 -√24； ·12·则-号x+15=0,解得x=9.A(9,0).B(9,15.(2):B(9,15,C(0,15),A(9,0), 0.7=1.3(m).答，电杆上两固定点A和A1的距离是1.3m 5.解：(1)10-/-10=-10=-100.(2)0.512-0.8=0.8. 5,解：(1)5(x十1)(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC+AB=AC,即5+2 ∴BC=9,OC=15,OA=9.由折叠的性质，得DE=EA,BD=AB=15,CD= =(x十1)，解得x=12.答：旗杆AB的高度为12m 8-2-2.4)-要-)-（号）-号 √BD-BC=12.OD=OC-CD=3,设EA=DE=x.∴，OE=OA-EA=9-x.在 第二章实数 6.解：由题意，得x+4-9,3x十y-1-27,解得x一5，y-13,所以2一x2-144.所以 Rt△ODE中，由勾股定理，得OD+OE-DE,即32+(9一x)-x2,解得x=5..EA 1认识实数 y2一x的算术平方根为12. =5,(3》存在，作点E关于y轴的对称点E,连接BE,交y轴于点P,连接PE,此时 知识梳理 第4课时估算及用计算幕开方 △PBE的周长最小.由(2)知，OE=OA一EA=4,,E(4,0).,E(一4,0)，设直线BE 无限不循环有理数无理数0一一对应一a0一a 针对训练 19m十n=15, 针对训练 1.B2.A3.B4.C5.3(答案不雅一) 的函数表达式为y=mx+m.将B(9,15),E(一4,0)代入，得 解得 一4m十n=0, 1.C2.B3.B4.D 6.(1)9.11(2)-1,49(3)2.74 7.解：(1)因为25<27.所以25<3.(2)因为11<11.56，所以√/1T<3.4.(3》因为4< - 六直线BE的函数表达式为y一骨+碧令=0，则y一餐P(o) 5.()-2.43,-9,13.140,-1-41（2),-2.10101001…(相邻两个1 之间0的个数逐次加1) 6,所以2<后.所以-D辰.(0因为>，所w>2,厅-1>1所以>号 6.解：（一2）2=4，一1一3引=一3，把数（一2）2，一2.5，元，一1一3引在数轴上表示出来如图 8.解：这种正方体纸盒的棱长为70而cm.因为8<700<9'，所以8<√/70丽<9.所以 所示，曲图可知一|一3引<-2.5<x<(-2)2. 课堂训练 它的棱长介于8cm和9cm之间. (-2y2 3二次根式 第一章勾股定理 6古4方之古十立方方右 第1课时二次根式及其桌除运算 1探素勾股定理 2平方根与立方根 知识梳理 第1课时认识句股定理 第1谋时算术平方根 知识梳理 知识梳理 aa>0)压√日 平方a2+6=c252+S 平方a根号a00aa一a 针对训炼 针对训练 针对训练 1.B2.C3.54.23 1.B2,D3.D4.(1)25(2)5 1.B2.D3.A4.C5.(1)36(2)333 5.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB-AC-225.在Rt△BCE中，由勾股 5解：1原式-3×2x5X5=30,(2原式-√×√厚-√号×雪-后.（③）原式 6.解：(1)7的算术平方根是7.(2)因为1,3=1.69，所以1.69的算术平方根是1.3. 定理，得CE=BC-BE=144,所以CE=12. -x+√会×=3+片=94原式=画-厘-=5-4=1.(5)原式 第2深时：验证均股定理及其简单应用 (3)因为（号）广-赞，所以赞的算术平方根是号.(0因为100-10，所以10的算术 22 针对调炼 平方根是100. (23)2-(W6)2=12-6=6.(6)原式=1-2×1×5+(W5)=1-2√5+5=6-25. 1.B2.D3.A4.10 7.解：根据题意，得v=√gd=√9.8×20=14(m/s).答：其行进的速度为14m/g 第2时二次根式的性魔及其加减运算 5.解：由题意，得∠BAC=90,在R△ABC中，AC=号×16=8ama,BC=17ame,由 第2课时平方根 知识梳理 知识桩理 勾股定理，得AB=BC-AC=17-8=225,所以AB=15 n mile.所以乙船的航速 ā·石三分母并得尽方最简相同 平方土√ā正，负根号a两个相反数0 为15+-30amie/. 针对训纸 针对训练 1.B2.A3.D4.B5.A6.±37.(1)11-/1T(2)2 1.B2.A3.C 2一定是直角三角形吗 知识梳理 8.解：(1)因为（士1.3）2=1.69，所以1.69的平方根是土1.3，即土1,69=士1.3. 4解：1)原式=×丽=6原，2)原式=画=早(8)原式=-严-平 a2+=2正整数 ②)因为（±》'-器所以号的平方根是士号，即士√需-士号(3）因为10- (4)原式=√5×√144=125. 针对调练 1.C2.C3.A4.9,12,15(答案不唯一)5.合格 0.01,(士0,1)3=0.01，所以10-的平方根是±0.1，即±√10可=±0,1. 5.解：原式=55+4v=9反(2原式=25-后-5(8原式-3号+ 6.解：△ABC是直角三角形.理由如下：由题意，得AB=12+2=5,AC=2+4= 9.解：由题意.得a十6十2a一9-0，解得a=1.所以(a十6)3-49，即这个正数是49. 20,BC-3十4=25，所以AB十AC=BC.所以△ABC是直角三角形. 第3谋时生方根 2E=3vE.(4)原式=3E+2-25-3+9 7.解：在R△ABD中，由勾股定理，得BD=AD一AB=902一602=4500.因为BC 知识梳理 第3深时二次根式的混合运算 十CD=450O,所以BC十CD=BD.所以△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°.所 立方a三次根号a正数0负数 知识梳理 以BC⊥CD.所以该车符合安全标准. 针对训练 乘方乘除加减 3勾股定理的应用 1.C2.B3.C 针对训练 针对训练 4.解：(1)因为7户=343，所1以343的立方根是7，即343=7.(2)0的立方根是0.(3)因 1.B2.A3.6+2 1.C2.A3.B 4.解：在R△ABC和Rt△A1B1C中，AC=AB一BC-2.5-1.5=4,A:C=A1B11 为-2号-一酷，(-专)'-一骑所以-2号的立方根是-子即√2号-一÷ 4.解：(1)原式=4w5-2√5=2√3.(2)原式=(45+2√10)÷√5=4十2②.(3)原式 -B,C=2.5-2.4=0.49.所以AC=2m,A,C=0.7m.所以AA1=AC-A,C=2- (4)-3的立方根是一3一一5. -40— 一41 -42 5√2+3√2-15=-13-22 3轴对称与坐标变化 5.第：原式=a2-3-d2+h5d=√5a一3.当a=5+1时，原式=√5(w5+1)-3=2+5. 如识梳理 第三章位置与坐标 相同互为相反数相同互为相反数 1确定位置 针对训练 -3-2170123x 针对训练 1.A2.A3.D4.A5.(1)-16(2)3-4 1.A2.D 6.解：(1)如图，△A1B,C和△AaB2C即为所求.(2)A1(一2，一3)，A2(2,3). 第2课时一次函数的图象和性质 3.解：(1)(2,4)(5,1)(2)(3)如图所示 知识梳理 晓 秋干摩天轮是 →东 增大诚小 针对训练 2跳跳床。」 旋转木马 1.D2.B3.C4.B5.B6.1 1 大门 碰成车 0123456 第四章一次函数 7.解：令y一0得寺一4-0，解得工一3.所以函数y一专一4的图象与x轴的交点坐 2平面直角坐标系 1盈数 标为(3,0).令x=0,得y=一4.所以函数y=号x-4的图象与y轴的交点坐标为(0， 第】课时平面直角坐标系 针对训练 针对调练 1.C2.D3.y=2x 一4.函数图象如图所示所以它的图象与x轴y轴所围成的图形的面积为之×3×4 1.B2.CD3.32 4.解：(1)剩余水的体积Q(m)与时间t(h)之间的两数关系式为Q=600一50.(2)自变 =6. 4.解：(1)A(3,2),B(-1,3),C(-2,-2),D(0.3).E(-5,0).(2)点F,G如图所示. 量1的取值范围是0≤≤12.(3)当1=8时，Q=600一501=200.所以放水8h后，池中 还有200m2的水. 2认识一次函数 第1课时一次菌数与正比例画数的有关概舍 针对训练 4一次盈数的应用 1.C2.号3.y=300-80:4.(1)是(2)8 第1深时情助一次函数关系式解决简单应用问题 针对训练 第2课时与一次函数有美的方案，分登计壹问通 第2课时平面直角坐标系中点的皇标特点 1.B2.C3.D4.A5.y=-6x+4 针对训练 针对调练 6.解：(1)设过A,C两点的直线的函数表达式为y=kx十a.将A(一1,4)，C(0,6)代入， 1.(1).x-20(2)乙(3)0<x<20 1.B2.A3.A4.(0.7) 2.解：(1)100(2)当0≤x≤10时，y=10x.当x>10时，y=100+0.7×10(x10)■ 得一十b=4,=6,解得0=2.所以过A,C两点的直线的函数表达式为y=2x十6. 5.解：(1)由题意，得2m一3=1，解得m=2.所以m十1=3.所以点M的坐标为(1,3). (2)A,B,C三点不在同一条直线上.理由如下：当x=一3时，y=2×(一3)十6=0≠2， 110x(0≤x10), (2)因为点M的坐标为(2m一3，m十1)，点N的坐标为(5，-1)，且MN∥y轴，所以2m 7x十30.所以y与x之间的函数关系式为y■ 7x+30(x>10). 所以点B(一3,2)不在过A,C两点的直线上，即点A,B,C三点不在同一条直线上， 一3=5，解得m=4.所以m十1=5.所以点M的坐标为(5,5). 7.解：(1)设T关于h的函数表达式为T-h十k.将(0,15)，(3,13.2)代人，得b=15, 3.解：(1)当0<x≤3时，y=8,当x>3时，y=8+1.4(x-3)=1.4x+3.8.(2)将x= 第3课时建立平面直角坐标系描述图形的位置 13代人y=1.4x十3.8，得y=1.4×13+3,8=22.答：王老师乘坐13km需付费22元. 3k+b=13.2,解得k=-0.6.所以T关于h的函数表达式为T=一0.6h+15.(2)当h 针对调练 4.解：(1)为=100+10z,次=18x.(2)当x=30时，为=100+10×30=400，为=18× =5时，T=一0.6×5+15=12.所以高度为5百米时的气混为12℃. 1.C2.(2,2) 第2深时单个一次函数困象的应用 30=540.因为400<540，所以y1<.所以该同学需要办VIP卡. 3.解：(1)如图所示，A(-4,0),B(0,0),C(2,2),D(0,3).(2)SABCD=SAAs0十SAcD 知识梳理 3一次函数的图象 =号×4×3+号×3X2=9, 0横 第1课时正比例函数的图象和性质 针对训练 知识梳理 1.D2.B3.164.400 原点(0,0)一，三二，四增大减小 5.解：(1)7(2)设蜡烛在燃烧过程中的高度y与时间x之间的函数关系式为y=x十 针对训练 b.把(0,15》，(1,7)代人，得6=15，+b=7,解得k=-8.所以蜡烛在燃烧过程中的高 1.c2c3B4n>为5-片 度y与时间x之间的函数关系式为y=一8x十15，(3)令y=0,即一8x+15=0,解得x (O)B 6解：1)如图所示.(2)一，三(3)当x=-6时y-号×(-6)=一9. 一号所以经过号，蜡越燃烧完华。 为 44一 -45