第1章 勾股定理（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

第一章 勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 √知识梳理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 如果用a,b和c分别表 勾股定理 b 示直角三角形的两直角边和斜边，那么 勾股定理 如图，△ABC是直角三角形，图中三个正方形的面积之间的关系为S1= 与面积 (1)运用勾股定理时，若直角边和斜边不确定，往往需要进行分类讨论； 解题策略 (2)勾股定理常与方程思想相结合，通过设未知数，运用勾股定理列方程解题； (3)若题中未给出直角三角形，可通过作辅助线构造直角三角形，从而运用勾股定理解题 √针对训练 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4.在△ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a, 1,AC=2,则AB2的值为 ( AC=b. A.1 B.3 C.4 D.5 (1)若a=7,b=24,则c的值为 (2)若a=12,c=13,则b的值为 225 289 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为 ■ A AB上一点，过点B作CD的垂线，交 (第1题图) (第3题图) CD的延长线于点E,AC=8,AB=17, 2.在△ABC中，∠A=90°，则下列结论成 BE=9,求CE的长. 立的是 ( ) A.BC=AB+BC B.AC=AB+BC C.AB=AC+BC D.BC=AB2+AC 3.如图，以一个直角三角形的三边为边分 别向外作正方形，两个较大正方形的面 积分别为225,289，则字母A所代表的 正方形的面积为 ( A.4 B.8 C.16 D.64 ·1· 第2课时验证勾股定理及其简单应用 知识梳理 拼图法是验证勾股定理最常用的一种方法，通过拼图前后图形的面积相等，列出 勾股定理的验证 等式，经过恒等变形，从而验证勾股定理 D b 常见图例 Aa √针对训练 1.有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，4.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东 使用了如图所示的钢架，其中∠ACB= 走了8km,乙往南走了6km,这时两人 90°，AC=1.2m,BC=0.9m,则AB的 相距km. 长为 ( 5.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲 A.1.2m B.1.5m 船以16 n mile,/h的速度向北偏东40°航 C.1.8m D.15m 行，乙船向南偏东50航行，2h后，甲船 5m 到达C岛，乙船到达B岛.若BC两岛相 12m 距17 n mile,则乙船的航速是多少？ (第1题图) (第2题图) 北 2.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面 5m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 12m处，则旗杆折断之前的高度是( ) 南 A.5m B.12m C.13m D.18m 3.如图，四个完全一样的直角三角形（两直 角边长分别为a,b,斜边长为c)与一个 小正方形不重叠无缝隙地拼接成一个大 正方形，此图可以验证的式子为( A.a2+b2=c2 B.(a-b)2=a2-2ab+62 C.a2-b2=(a+b)(a-b) b D.(a+b)2=a2+2ab+b2 ·2· 2一定是直角三角形吗 √知识梳理 直角三角形的判定 如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形 勾股数 满足a2+b2=c2的三个 ,称为勾股数.例如，3,4,5；8,15,17 易错警醒 在判断一组数据是否是勾股数时，易忽略三个数均为正整数 √针对训练 1.下列各组数分别为一个三角形的三边 方形网格的格点上，判断△ABC的形 长，其中能构成直角三角形的是( 状，并说明理由. A.2,3,4 B.6,7,8 C.6,8,10 D.10,12,13 2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别 为a,b,c,且a2一b2=c2,则下列说法正 确的是 ( ) A.∠C是直角 B.∠B是直角 C.∠A是直角 D.∠A是锐角 3.△ABC的三边长分别为a,b,c,下列条 7.如图，这是某品牌婴儿车的简化结构示 件不能判定△ABC是直角三角形的是 意图.根据安全标准，需满足BC⊥CD, 现测得AB=CD=60cm,BC=30cm, A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 AD=90cm,其中AB与BD之间由一 B.∠A=∠B-∠C 个角度固定为90°的零件连接（即 C.a:b:c=3:4:5 ∠ABD=90),通过计算说明该车是否 D.a2=b2+c2 符合安全标准。 4.一组勾股数中，有一个数是15，这组勾 股数可以是 ,（写出一组 即可) 5.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长 为60cm,宽为32cm,对角线长为68cm, 则这个桌面 ·（填“合格”或“不 合格”) 6.如图，正方形网格中的每个小正方形的 边长都是1，△ABC的各个顶点都在正 3 3 勾股定理的应用 √针对训练 1.如图，小亮家的木门左下角有一点受潮， 求电杆上两固定点A和A1的距离. 他想检测门是否变形，准备采用如下方 法：先测量门的边AB和BC的长，再测 量点A和点C之间的距离，由此可推断 ∠B是否为直角，这样做的依据是( A.勾股定理 B.三角形内角和定理 C.勾股定理的逆定理 D.直角三角形的两锐角互余 2.如图，A,C两地隔有一湖，已知∠C= 5.如图，八(2)班数学课外活动小组的同学 90°，测得AB=50m,BC=40m,则A,C 测量学校旗杆AB的高度时，发现升旗 两地之间的距离为 的绳子（无弹性）长度比旗杆多1m,当 A.30m B.40m 他们把绳子拉直，绳子末端C刚好接触 C.50m D.60m 地面时，此时绳子末端C与旗杆的距离 为5m.设旗杆AB的高度为xm. 书店 (1)BC的长为 m,用含x的式子 表示AC的长为 m; 邮局 小明家 (2)求旗杆AB的高度， (第2题图) (第3题图) 3.如图，小明从家走到邮局用了8min,然 后右转弯用同样的速度走了6min到达 书店.已知书店距离邮局660m,则小明 mmm地面 家距离书店 ( ) A.880m B.1100m C.1540m D.1760m 4.如图，线段AB是电杆的一条固定拉线， AB=2.5m,BC=1.5m,另一条拉线 A1B1在地面上的固定点B1到杆底C的 距离B1C=2.4m,拉线A1B1=2.5m. 。4。则-号x+15=0,解得x=9.A(9,0).B(9,15.(2):B(9,15,C(0,15),A(9,0), 0.7=1.3(m).答，电杆上两固定点A和A1的距离是1.3m 5.解：(1)10-/-10=-10=-100.(2)0.512-0.8=0.8. 5,解：(1)5(x十1)(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC+AB=AC,即5+2 ∴BC=9,OC=15,OA=9.由折叠的性质，得DE=EA,BD=AB=15,CD= =(x十1)，解得x=12.答：旗杆AB的高度为12m 8-2-2.4)-要-)-（号）-号 √BD-BC=12.OD=OC-CD=3,设EA=DE=x.∴，OE=OA-EA=9-x.在 第二章实数 6.解：由题意，得x+4-9,3x十y-1-27,解得x一5，y-13,所以2一x2-144.所以 Rt△ODE中，由勾股定理，得OD+OE-DE,即32+(9一x)-x2,解得x=5..EA 1认识实数 y2一x的算术平方根为12. =5,(3》存在，作点E关于y轴的对称点E,连接BE,交y轴于点P,连接PE,此时 知识梳理 第4课时估算及用计算幕开方 △PBE的周长最小.由(2)知，OE=OA一EA=4,,E(4,0).,E(一4,0)，设直线BE 无限不循环有理数无理数0一一对应一a0一a 针对训练 19m十n=15, 针对训练 1.B2.A3.B4.C5.3(答案不雅一) 的函数表达式为y=mx+m.将B(9,15),E(一4,0)代入，得 解得 一4m十n=0, 1.C2.B3.B4.D 6.(1)9.11(2)-1,49(3)2.74 7.解：(1)因为25<27.所以25<3.(2)因为11<11.56，所以√/1T<3.4.(3》因为4< - 六直线BE的函数表达式为y一骨+碧令=0，则y一餐P(o) 5.()-2.43,-9,13.140,-1-41（2),-2.10101001…(相邻两个1 之间0的个数逐次加1) 6,所以2<后.所以-D辰.(0因为>，所w>2,厅-1>1所以>号 6.解：（一2）2=4，一1一3引=一3，把数（一2）2，一2.5，元，一1一3引在数轴上表示出来如图 8.解：这种正方体纸盒的棱长为70而cm.因为8<700<9'，所以8<√/70丽<9.所以 所示，曲图可知一|一3引<-2.5<x<(-2)2. 课堂训练 它的棱长介于8cm和9cm之间. (-2y2 3二次根式 第一章勾股定理 6古4方之古十立方方右 第1课时二次根式及其桌除运算 1探素勾股定理 2平方根与立方根 知识梳理 第1课时认识句股定理 第1谋时算术平方根 知识梳理 知识梳理 aa>0)压√日 平方a2+6=c252+S 平方a根号a00aa一a 针对训炼 针对训练 针对训练 1.B2.C3.54.23 1.B2,D3.D4.(1)25(2)5 1.B2.D3.A4.C5.(1)36(2)333 5.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB-AC-225.在Rt△BCE中，由勾股 5解：1原式-3×2x5X5=30,(2原式-√×√厚-√号×雪-后.（③）原式 6.解：(1)7的算术平方根是7.(2)因为1,3=1.69，所以1.69的算术平方根是1.3. 定理，得CE=BC-BE=144,所以CE=12. -x+√会×=3+片=94原式=画-厘-=5-4=1.(5)原式 第2深时：验证均股定理及其简单应用 (3)因为（号）广-赞，所以赞的算术平方根是号.(0因为100-10，所以10的算术 22 针对调炼 平方根是100. (23)2-(W6)2=12-6=6.(6)原式=1-2×1×5+(W5)=1-2√5+5=6-25. 1.B2.D3.A4.10 7.解：根据题意，得v=√gd=√9.8×20=14(m/s).答：其行进的速度为14m/g 第2时二次根式的性魔及其加减运算 5.解：由题意，得∠BAC=90,在R△ABC中，AC=号×16=8ama,BC=17ame,由 第2课时平方根 知识梳理 知识桩理 勾股定理，得AB=BC-AC=17-8=225,所以AB=15 n mile.所以乙船的航速 ā·石三分母并得尽方最简相同 平方土√ā正，负根号a两个相反数0 为15+-30amie/. 针对训纸 针对训练 1.B2.A3.D4.B5.A6.±37.(1)11-/1T(2)2 1.B2.A3.C 2一定是直角三角形吗 知识梳理 8.解：(1)因为（士1.3）2=1.69，所以1.69的平方根是土1.3，即土1,69=士1.3. 4解：1)原式=×丽=6原，2)原式=画=早(8)原式=-严-平 a2+=2正整数 ②)因为（±》'-器所以号的平方根是士号，即士√需-士号(3）因为10- (4)原式=√5×√144=125. 针对调练 1.C2.C3.A4.9,12,15(答案不唯一)5.合格 0.01,(士0,1)3=0.01，所以10-的平方根是±0.1，即±√10可=±0,1. 5.解：原式=55+4v=9反(2原式=25-后-5(8原式-3号+ 6.解：△ABC是直角三角形.理由如下：由题意，得AB=12+2=5,AC=2+4= 9.解：由题意.得a十6十2a一9-0，解得a=1.所以(a十6)3-49，即这个正数是49. 20,BC-3十4=25，所以AB十AC=BC.所以△ABC是直角三角形. 第3谋时生方根 2E=3vE.(4)原式=3E+2-25-3+9 7.解：在R△ABD中，由勾股定理，得BD=AD一AB=902一602=4500.因为BC 知识梳理 第3深时二次根式的混合运算 十CD=450O,所以BC十CD=BD.所以△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°.所 立方a三次根号a正数0负数 知识梳理 以BC⊥CD.所以该车符合安全标准. 针对训练 乘方乘除加减 3勾股定理的应用 1.C2.B3.C 针对训练 针对训练 4.解：(1)因为7户=343，所1以343的立方根是7，即343=7.(2)0的立方根是0.(3)因 1.B2.A3.6+2 1.C2.A3.B 4.解：在R△ABC和Rt△A1B1C中，AC=AB一BC-2.5-1.5=4,A:C=A1B11 为-2号-一酷，(-专)'-一骑所以-2号的立方根是-子即√2号-一÷ 4.解：(1)原式=4w5-2√5=2√3.(2)原式=(45+2√10)÷√5=4十2②.(3)原式 -B,C=2.5-2.4=0.49.所以AC=2m,A,C=0.7m.所以AA1=AC-A,C=2- (4)-3的立方根是一3一一5. -40— 一41 -42