精品解析：福建省莆田第二十五中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年度莆田第二十五中学八上数学月考试卷 一、选择题 1. 下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，不满足三角形三边关系， ∴，，不能摆成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，不满足三角形三边关系， ∴，，不能摆成三角形，故此选项不符合题意； C、∵，不满足三角形三边关系， ∴，，不能摆成三角形，故此选项不符合题意； D、∵，满足三角形三边关系， ∴，，能摆成三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列图中，作边上的高正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高线，根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，是从顶点出发，引对边的垂线段，据此，符合题意的是选项B； 故选B． 3. 已知，的周长为，若，，的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得的长，从而可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为，若， ∴． 故选：B． 4. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（）， 故选：B． 5. 如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握“”．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 要根据“”证明，还要添加一个条件是． 故选：A 6. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三条边的距离相等，喷泉的位置应选在（ ） A. 花坛三条中线的交点 B. 花坛三边的中垂线的交点 C. 花坛三条高所在直线的交点 D. 花坛三条角平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．根据角平分线的性质定理解答即可得． 【详解】解：要使喷泉到花坛三条边的距离相等，喷泉的位置应选在花坛三条角平分线的交点， 故选：D． 7. 如图，在中，，平分．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直定义．先由垂直的定义得出，求出，由平分线的定义得出，求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（ ）度 A. 50 B. 55 C. 80 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线定义得出，，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，求出，则，即可求解． 【详解】解：平分，平分， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形网格，全等三角形的判定和性质，邻补角的性质，通过三角形全等求解是解题的关键．通过全等三角形的性质，邻补角的性质即可求解． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． ， 10. 如图，中，，的角平分线相交于点P，延长至F，使，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（　　） A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③ D. ①②⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线可求，则，可判断①的正误；则，证明，则，，，可求，即，可判断②的正误；由，，，证明，可判断③的正误；由，，可知当时，即时，，，由的大小未知，可判断④的正误；由，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵，的角平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即，②正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，③正确，故符合要求； ∴， 由题意知，，， 当时，即时，，， ∵的大小未知， ∴④错误，故不符合要求； 由题意知，，⑤正确，故符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边是解题的关键． 二、填空题 11. 三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2、7、a， ∴a的取值范围是：，即． 故答案为：． 12. 等腰三角形的两边为a、b，且满足，那么它的周长为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，非负性，根据非负性求出的值，根据三角形的三边关系确定底边和腰长，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当为腰长时，不能构成三角形， ∴6为腰长， ∴等腰三角形的周长为：； 故答案为：15． 13. 如图，在中， ，平分，交 于点D，，则点 D到的距离是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相等．利用角平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 过点作于点， 平分， ， 点 D到的距离是4， 故答案为： 4． 14. 如图，是的中线，点E，F分别为的中点，若的面积为，则的面积是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：点F分别为的中点，， ， 点E分别为的中点， ，， ， 故答案为：16． 15. 如图，在中，于点，于点，，，则_____________． 【答案】  【解析】 【分析】本题考查了三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 根据三角形面积计算公式即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 16. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为______时，与有可能全等． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 三、解答题(共9题；共86分) 17. 已知的边长分别是、、，化简． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．先根据三角形的三边关系可得，则，再化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【详解】解：∵的边长分别是、、， ∴， ∴， ∴ ． 18. 如图，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，求∠1和∠2的度数. 【答案】∠1=40°，∠2=85° 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠1的度数，利用外角的性质求出∠2的度数即可. 【详解】∵AB∥CD， ∴∠1=∠A， ∵∠A=40°， ∴∠1=40°， ∵∠D=45°， ∴∠2=∠D+∠1=45°+40°=85° 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；熟练掌握相关性质是解题关键. 19. 如图，．求证． 【答案】 证明：在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】先利用“（边边边）” 判定定理证明和全等，再根据全等三角形对应角相等得出 ．本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质（全等三角形对应角相等），熟练掌握判定定理和全等三角形性质是解题的关键． 【详解】略 20. 尺规作图： 已知线段和射线，在射线上求作一点E，使得；(不写作法，保留作图痕迹) 【答案】 点E即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图；作角平分线，作一个角等于已知角．先作的平分线，再作，即可求解． 【详解】略 21. 已知，如图，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF=BF，求证：点F在∠A的平分线上. 【答案】 证明：连接AF， 因为BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E， 所以， 又，， 所以△CFD≌△BFE， 所以，， 所以，即， 又，， 所以△ADB≌△AEC， 所以，又，， 所以△ACF≌△ABF， 所以， 所以点F在∠A的平分线上. 【解析】 【分析】本题通过全等三角形的证明以及全等三角形的性质，通过多次对全等三角形的应用，可以求出． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，题目难度一般，学生需要掌握对全等三角形的全面认识. 22. 如图，在中，，，于，于． （1）求证： （2），，求的长度． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）先结合（1）的结论可得，再根据线段的和差可得，然后根据全等三角形的性质即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，， ． 23. 如图，是的中线，延长至点E，使，连接． （1）证明； （2）若，设，求x的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用： （1）由三角形中线的定义得到，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形三边的关系可得，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 24. 问题情境 （1）如图，在中，平分交于点D，于点E，延长交于点F，求证：； 实际应用 （2）如图是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，唐叔叔想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①取的平分线；②过点A作于点D，已知，，的面积为90，请求出的面积； 拓展延伸 （3）如图，在中，，，平分交于点D，交延长线于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】 （1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴． （2）30； （3），证明如下： 延长与，它们的延长线相交于点F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）由平分得到，由得到，从而通过“”即可证明； （2）延长交于点E，同（1）可得，，得到，，然后求出，然后得到，然后根据的面积为90得到，进而求解即可； （3）延长与，它们的延长线相交于点F，证明，推出，再证明，进而完成解答． 【详解】解：（1）略 （2）延长交于点E， 同（1）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）略 25. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）90； （2）①，理由：∵， ∴． 即． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β． 【解析】 【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题； （2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题； ②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题． 【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 故答案为：； （2）①略 ②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°， 即：∠BCE+∠BAC=180°， ∴α+β=180°， 如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE， ∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE． ∴α=β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β． 【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度莆田第二十五中学八上数学月考试卷 一、选择题 1. 下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列图中，作边上的高正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，的周长为，若，，的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 4. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三条边的距离相等，喷泉的位置应选在（ ） A. 花坛三条中线的交点 B. 花坛三边的中垂线的交点 C. 花坛三条高所在直线的交点 D. 花坛三条角平分线的交点 7. 如图，在中，，平分．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（ ）度 A. 50 B. 55 C. 80 D. 65 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，的角平分线相交于点P，延长至F，使，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（　　） A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③ D. ①②⑤ 二、填空题 11. 三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是______． 12. 等腰三角形的两边为a、b，且满足，那么它的周长为__________． 13. 如图，在中， ，平分，交 于点D，，则点 D到的距离是_____． 14. 如图，是的中线，点E，F分别为的中点，若的面积为，则的面积是______． 15. 如图，在中，于点，于点，，，则_____________． 16. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为______时，与有可能全等． 三、解答题(共9题；共86分) 17. 已知的边长分别是、、，化简． 18. 如图，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，求∠1和∠2的度数. 19. 如图，．求证． 20. 尺规作图： 已知线段和射线，在射线上求作一点E，使得；(不写作法，保留作图痕迹) 21. 已知，如图，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF=BF，求证：点F在∠A的平分线上. 22. 如图，在中，，，于，于． （1）求证： （2），，求的长度． 23. 如图，是的中线，延长至点E，使，连接． （1）证明； （2）若，设，求x的取值范围． 24. 问题情境 （1）如图，在中，平分交于点D，于点E，延长交于点F，求证：； 实际应用 （2）如图是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，唐叔叔想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①取的平分线；②过点A作于点D，已知，，的面积为90，请求出的面积； 拓展延伸 （3）如图，在中，，，平分交于点D，交延长线于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 25. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $