13.3 三角形的内角与外角(练本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 重庆专版）

13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时 三角形的内角 A基础过关 逐点击破。 知识点2三角形内角和定理与三角形的 知识点1三角形内角和定理 角平分线、平行线的综合 1.在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，则△ABC 4.(教材P12例1变式)如图，AD是△ABC的 是 BC边上的高，AE平分∠BAC.若∠B=48°， A.锐角三角形 B.直角三角形 ∠C=68°，则∠DAE的度数是 ( C.钝角三角形 D.等边三角形 A.10° B.12 2.(2025·南开中学期中)如果一个三角形三 C.14° D.16° 个内角的度数之比是5：3：1，那么这个三 角形最大内角的度数是 3.三角形的内角和定理是初中数学学习中的 一个重要定理，下面给出了该定理的一种证 (第4题图) (第5题图) 明方法. 5.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD 已知：如图①，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 平分∠BAC,交BC于点D,DE∥AB,交AC 于点E,则∠ADE的度数为 ( 证明：如图②，作BC的延长线CD,在△ABC 外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A A.40° B.43 .CE∥AB(内错角相等，两直线平行) C.46° D.54 ∴.∠B=∠ECD( 知识点3三角形内角和定理的应用 :∠ACB,∠ACE,∠ECD组成一个平角， 6.(教材P12例2变式)如图，C岛在A岛的北 ∴.∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的 偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向 定义)， 上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则从C岛 ∴.∠ACB+∠A+∠B=180°( 看A,B两岛的视角∠ACB的度数为( A.80° B.95 C.110° D.140° 北 图① 图② 北 (1)请将上面的推理“依据”补充完整； (2)该定理有多种证明方法，请再写出一种 证明方法 (第6题图) (第7题图) 7.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边 形ABCD,其中∠B=40°，∠CAD=60°，则 ∠BCD的度数为 5【数学1八年级上册 B能力提升 整合运用⑦ C思维拓展 学科素养⊙ 8.(2024·渝北区校级期中)如图，三角形纸片 11.综合探究： ABC中，∠A=65°，∠B=70°，将∠C沿DE 如图①，将三角尺（△MPN,∠MPN=90°） 对折，使点C落在△ABC外的点C'处.若 放置在△ABC上（点P在△ABC内），三角 ∠1=20°，则∠2的度数为 尺的两边PM,PN恰好经过点B和点C, A.80° B.90° C.100° D.110° 我们来探究∠ABP与∠ACP是否存在某 种数量关系。 (1)【特例探究】若∠A=50°，则∠PBC+ ∠PCB= ,∠ABP+∠ACP= (第8题图) (第9题图) ； 9.(2024·忠县期中)如图，△ABC的角平分线 (2)【类比探究】探究∠ABP+∠ACP与 CD,BE相交于点F,∠A=90°，EG∥BC,且 ∠A之间的数量关系； CG⊥EG于点G,下列结论：①∠CEG= (3)【变式探究】如图②，改变三角尺的位 2∠DCB;②∠DFB=3∠CGE:③∠ADC= 置，使点P在△ABC外，三角尺的两边 PM,PN仍恰好经过点B和点C,探究 ∠GCD;④CA平分∠BCG.其中，正确的个 ∠ABP,∠ACP,∠A之间的数量关系 数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图，已知△ABC,过点A作∠DAE= ∠BAC,且AB∥DE,∠1=∠2. 图① 图② (1)求证：AD∥BC; (2)若AE平分∠BAC,∠C=40°，求∠BAD 的度数， 第十三章三角形6 第2课时 直角三角形中两个锐角的关系 A基础过关 逐点击破⑦ B能力提升 整合运用 知识点1直角三角形的两个锐角互余 6.如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠ACB= 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°， 70°，AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC交 则∠A的度数为 AC于点E,交AD于点F,则∠BFD的度 A.34 数是 B.44° A.30° C.124° B.50 D.134° C.60 2.(2024·广东)如图，将一把直尺和两个含 D.70° 30°角的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度 7.数学思想分类讨论已知BD,CE是△ABC的 数为 高，直线BD,CE相交所成的角中有一个角 A.120° B.90° C.60° D.30° 为50°，则∠BAC的度数为 8.(教材P14例3变式)【探究与证明】 如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D, B D CE⊥AB于点E. (第2题图) (第3题图) (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由； 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，若∠A: (2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结 ∠ABC=5:4,则∠CBD的度数为 论是否还成立？并说明理由， 知识点2 有两个角互余的三角形是直 角三角形 4.已知∠A=42°，∠B=48°，则△ABC为( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 图① 图② 5.(教材P14练习T2变式)如图，AB,ED分别 垂直于BD,点B,D是垂足，且∠ACB= ∠CED.求证：△ACE是直角三角形 7数学1八年级上册 13.3.2三角形的外角 A基础过关 逐点击破。 6.(2024·江北区校级期中)将一副直角三角 知识点1三角形外角的定义 尺如图放置，使含30°角的三角尺的短直角 边和含45°角的三角尺的一条直角边重合， 1.下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( 则∠1的度数为 ( A.75 B.60° C.45 D.30° 令 No) /x+70)° (第6题图) (第7题图) 7.(教材P16习题T1变式)在如图所示的三角形 2.如图， 是△ABC的一个外角. 中，x的值是 8.(教材P,习题T6变式)如图，AE∥BD,∠1= 95°，∠2=28°，求∠C的度数， D (第2题图) (第3题图) 知识点2 三角形外角的性质 3.如图，△ABC的外角∠DAC=95°，∠B= 55°，则∠C的度数为 ( ) A.55° B.50 C.45° D.40° 4.下列说法错误的是 A.一个三角形中至少有两个锐角 B.一个三角形中，一个外角大于任意一个 9.如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一 内角 点，DF⊥AB于点F,且交AC于点E, C.三角形的外角和等于360° ∠A=30°，∠D=55°.求∠ACD的度数和 D.若三角形有一个外角为锐角，则这个三角 ∠FEC的度数. 形一定是钝角三角形 5.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP 是△ABC外角的平分线.如果∠ABP=20°， ∠ACP=50°，则∠A+∠P等于 ( A.70° B.80° 209 50 C.90° D.100° 第十三章三角形8 B能力提升 整合运用⑦ C思维拓展 学科素养。 10.如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系 12.综合与探究：爱思考的小明在学习过程中， 式是 ( ) 对课本有一道习题做了一定变式，让我们 来一起看一下吧.在△ABC中，∠ABC与 A.∠1+∠2=∠3+∠4 ∠ACB的平分线相交于点P. B.∠1+∠2=∠4-∠3 (1)如图①，如果∠A=80°，那么∠BPC的 C.∠1+∠4=∠2+∠3 4 3 度数为 D.∠1+∠4=∠2-∠3 (2)如图②，作△ABC的外角∠MBC, 11.【探索归纳】 ∠VCB的平分线交于点Q,试探究 ∠Q与∠BPC的数量关系； (3)如图③，在(2)的条件下，延长线段BP, QC交于点E,在△BQE中，若∠Q= 图① 图② 图③ 4∠E,求∠A的度数. (1)如图①，已知△ABC为直角三角形， ∠A=90°.若沿图中虚线剪去∠A,则 ∠1+∠2的度数为 ( A.90° B.135° 图① 图② 图③ C.270° D.3159 (2)如图②，已知在△ABC中，剪去∠A后 得到四边形BCEF,试探究∠1+∠2与 ∠A的关系，并说明理由； (3)如图③，若没有剪掉，而是把它折成如 图③的形状，试探究∠1+∠2与∠A的 关系，并说明理由. 9【数学1八年级上册练本答案 ∴AB.CG=合AB·DE+AC·DF.:AB=AC, 第十三章三角形 .CG=DE十DF.【延伸设问】7【规律总结】①等于 13.1三角形的概念 ②等于 基础过关 13.3三角形的内角与外角 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD 13.3.1三角形的内角 (2)∠DCD(3)BC(4)ABBE3.B4.35.41 第1课时三角形的内角 能力提升 基础过关 6.B7.解：(1)图中共有5个三角形；(2)△ACE,△DCE, △BCE:(3)△DBE与△CBE,△BAC与△CBE,△DBE与 1.C2.100°3.解：(1)两直线平行，同位角相等等量 代换 (2)如答图， -D过点A作AD∥BC, △BAC.8.解：(1)3610152128(2)共连接了 8个点：3)2(n+1)(a+2) 13.2与三角形有关的线段 答图 13.2.1三角形的边 ∴∠DAC=∠C(两直线平行，内错角相等)，∠BAD十∠B 基础过关 =180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠BAC十∠DAC十 1.B2.A3.小EF+EG>FG4.解：(1)a=4,b= ∠B=180°.∴.∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）. 6,∴.2<c<10:(2):c的长为小于8的偶数，∴c=4,或c= 4.A5.A6.C7.160° 6.当c=4时，△ABC的周长为4十4十6=14：当c=6时， 能力提升 △ABC的周长为6十4+6=16.综上所述，△ABC的周长 8.D9.C10.解：(1)AB∥DE,.∠BAC=∠1.∠1 为14或16.5.A6.D =∠2，.∠BAC=∠2.∠DAE=∠BAC,.∠DAE= 能力提升 ∠2，.AD∥BC:(2)AD∥BC,·∠C=∠DAC=40 7.B8.99.解：由于B,C两处可以转动，当A,B,C,D '∠DAE=∠BAC,即∠DAC+∠EAC=∠BAE+ 形成一条线段时，AD最长，它等于AB十BC+CD=1+2 ∠EAC,∴.∠DAC=∠BAE.AE平分∠BAC,∠EAC 十5=8(cm);当A,B,C拉直，B,A落在CD上时，AD最 =∠BAE=∠DAC=40°，.∠BAD=∠BAE+∠EAC+ 短，它等于CD-AB-BC=5-1-2=2(cm).答：这根橡皮 ∠DAC=120°. 筋的最大长度为8cm,最短长度为2cm. 思维拓展 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 11.解：(1)90°40°(2)：（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP 基础过关 +∠ACP)+∠A=180°，.90°+（∠ABP+∠ACP)+∠A 1.C2.BCBC S△cDS△Ax63.234.31 =180°，∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A;(3)设AB交PC 5.解：DE∥AC.理由如下：CD是△ABC的角平分线， 于点O.:∠AOC=∠POB,∠ACO+∠A+∠AOC=∠P ∴∠ACD=∠1.：∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，.DE∥AC +∠PBO+∠POB=180°，∴.∠ACO+∠A=∠P+ ∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,.∠ACP 6.B 7.A 8.ADLBC ADC 90BC AD 9.解： ∠ABP=90°-∠A. (①S=之BC·AD=令X10X4=20:(2)作图如图。 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 由1知Sx=20.又Sae=号AC· 1.A2.C3.140°4.C5.证明：：AB⊥BD,ED⊥BD, .∠ABC=∠CDE=90°，.∠ACB+∠BAC=90°，∠CED +∠DCE=90°.：∠ACB=∠CED,∴.∠BAC=∠DCE, ∴∠ACB+∠DCE=90°，∴.∠ACE=180°-（∠ACB+ ∠DCE)=180°-90°=90°，∴△ACE是直角三角形. BE20..BE-5. 能力提升 能力提升 6.C7.50°或130°8.解：(1)∠1=∠2.理由如下：CE 10.C11.112.40°或80°13.解：(1)是.证明如下： ⊥AB,AD⊥BC,∴∠CEB=∠ADB=90°，.∠2+∠B= DE∥AB,DF∥AC,∴.∠EDA=∠DAB,∠EAD= 90°，∠1十∠B=90°，∴.∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成 ∠ADF.AD是∠CAB的平分线，∠EAD=∠DAB, 立.理由如下：，AD⊥BC,CE⊥AB,∴.∠D=∠E=90°， .∠EDA=∠ADF,.DO是∠EDF的平分线：(2)正确 ∴∠2+∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°，又：∠ABD= 选择命题：若DO是∠EDF的平分线，DE∥AB,DF∥AC, ∠CBE,∴.∠1=∠2. 则AD是∠CAB的平分线.证明：：DE∥AB,DF∥AC, 13.3.2三角形的外角 ∴∠EDA=∠DAB,∠EAD=∠ADF.IDO是∠EDF的 基础过关 平分线，∠EDA=∠ADF,∠EAD=∠DAB,.AD是 1.D2.∠ACD3.D4.B5.C6.A7.608.解： ∠CAB的平分线.（命题及其证明不唯一） :AE∥BD,.∠ADB=∠1=95.又∠ADB=∠C+ 思维拓展 ∠2，∴∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°.9.解：DF 14.解：(1)当点D是BC的中点时，DE=DF.证明如下：连 ⊥AB,∠BFD=∠AFE=90°，.∠B=90°-∠D=35°， ∴.∠ACD=∠B+∠A=35°+30°=65°，∠FEC=∠A+ 接AD.:点D为BC的巾点San=Sam,即子AB: ∠AFE=30°+90°=120 能力提升 DE-AC.DF.AB-AC,DE-DF:(2)CG-DE+ 10.D11.解：(1)C(2)∠1+∠2=∠A+180°.理由如 DF.理由如下：连接AD.:S△Ax=SADB十SAAD, 下：·'∠1=∠A+∠AEF,∠2=∠A+∠AFE,.∠1+ 参芳答案 第18页（共47页） ∠2=∠A+∠AEF+∠A十∠AFE.又：∠A+∠AEF+ ∠AFE=180°，.∠1+∠2=∠A+180°，(3)∠1+∠2= ∠ACP+∠ACQ=2∠ACB+2∠ACF=（∠ACB+ 2∠A.理由如下：△EFP是由△EFA折叠得到的， ∴∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,∴.∠1=180° ∠ACF)=X180=90.∠Q=∠DPC-∠PCQ=15 2∠AFE,∠2=180°-2∠AEF,∴.∠1+∠2=360° 一90°=25°.∴.当∠B的度数发生变化时，∠DPC,∠Q的 2(∠AFE+∠AEF).又∠AFE+∠AEF=180°-∠A, 度数不发生变化.6.①②③7.解：(1)BE平分 ∴.∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. ∠ABD,∠ABE=∠DBE=Z∠ABD.∠DBE= 思维拓展 12.解：(1)130°(2)外角∠MBC,∠NCB的平分线交于 ∠ACB+∠E,∠BAC=∠ABE+∠E,.∠BAC=∠ACB +∠E+∠E=∠ACB十2∠E:(2)由(1)，得∠BAC= 点Q,∴∠QBC= ∠MBC,∠QCB=∠NCB.∴∠Q= ∠ACB+2∠E.,CF平分∠ACB,∴：∠BCF=∠ECF= 180°-（∠QBC+∠QCB)=180°-号（∠MBC+∠NCB) ∠ACB:∠BFC=∠E+∠BCR,∠BFC=∠E+ =180°- 合(180°-∠ABC+180-∠ACB)=(∠ABC ∠ACB-(∠ACB+2∠E,∠BC-号∠BAC +∠ACB)=号(180°-∠A)=90°-2∠A.:BP,CP分 (3)由5∠ABC=4∠E,设∠E=5x,则∠ABC=4x.由 别平分∠ABC,∠ACB,∠PBC=∠ABC.∠PCB ∠BFC=2∠ABM,∠BFC=号∠BAC,设∠ABM=,则 有∠BFC=2y,∠BAC=4y,设∠BCF=∠ECF=a.:BM z∠ACB.·∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180° ⊥EC,∴.∠BMA=90°.∠BAC=∠ABM+∠BMA,即 4y=y+90°，解得y=30°，.∠ABM=30°，∠BFC=60°， 合（∠ABC+∠ACB)=180-2(180-∠A)=90+ ∠BAC=120°.在Rt△BMC中，∠BMC=90°，∴.∠MBC+ ∠BCM=90°，即30°+4x十2a=90°，∴.4x十2a=60°.① 号∠A,∠Q+∠BPC=180,(3)延长BC至R.CQ为 由(1)，得∠BAC=∠ECB+2∠E,.120°=2a+10x.② △ABC的外角∠NCB的平分线，∴.CE是△ABC的外角 ∠ACF的平分线，∴.∠ACF=2∠ECF.:BE平分∠ABC, 联立8和女b解E==n ∴.∠ABC=2∠EBC.:∠ECF=∠EBC+∠E,∴.2∠ECF 8.解：(1)：BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线， =2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E.又·∠ACF ∴∠1=号∠ABC,∠2=合∠ACB,∠1+∠2 =∠ABC+∠A,∴∠A=2∠E.∠Q=4∠E,∴∠Q= 2∠A由(2)知，∠Q=90-合∠A,∴2∠A=90-∠A, 合（∠ABC+∠ACB.:∠A+∠ABC+∠ACB=1SO, .∠A=36° ∠1+∠2+∠D=180°，.∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 专题突破（一）探究与三角形角平分线相关的结论 ·∠D=180°-∠1-∠2=180°-（∠ABC+∠ACB)= 1.解：(1)CE是△ABC的高，∴∠AEC=90°，∴.∠ACE +∠BAC=90°.：∠BAC=50°，∴∠ACE=40°；(2)：AD 180°-(180-∠A0=90+2∠A:(2)①∠D与∠A之 是△ABC的角平分线，：∠DAC=号∠BAC=号X50 1 间的等量关系是∠D=90”-号∠A.理由如下：BD,CD 25°..∠ACE=40°，∠BCE=30°，..∠ACD=∠ACE+ 分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线， ∠BCE=40°+30°=70°，∴.∠ADB=∠DAC+∠ACD= 25°+70°=95°.2.解：：∠A=62°，∠B=74°，∴.∠ACB ∴∠DBC=∠EBC.∠DCB=∠FCB.:∠EBC- =180°-∠A-∠B=180°-62°-74°=44°.：CD是 ∠ACB+∠A,∠FCB=∠A+∠ABC,∠A+∠ABC+ ∠ACB的平分线∠BCD=合∠ACB=号X41=22. ∠ACB=180°，∴.∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180° DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD=22°.3.C4.解：：AD 3∠EBC-合∠FCB=180-名（∠EBC+∠FCB)- 是高，∠ADC=90°.∠C=70°，.∠DAC=90°-∠C= 90°-70°=20°.在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠C 180°-号（∠ACB+∠A+∠A+∠ABC)=180 =180°-50°-70°=60°.：AE,BF是角平分线，∴.∠OAB 7∠BAC=2X50=25∠0BA=∠ABC=名× 1 号180+∠0=90°-∠A:②∠D与∠A之间的等量 60°=30°..∠B0A=180°-∠OAB-∠OBA=180°-25 关系是∠D=合∠A.理由如下：BD,CD分别是△ABC -30°=125.5.解：(1)115°25°(2)∠DPC,∠Q的度 的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线， 数不发生变化.理由如下：：∠A=50°，.∠ACB十∠B= ∴.∠ABC=2∠DBC,∠ACE=2∠DCE.·∠A+∠ABC= 180°-∠A=180°-50°=130°.：DE∥BC,∴.∠ADE= ∠ACE,∴.∠A+2∠DBC=2∠DCE,又∠DCE=∠D+ ∠B,∠PGD=∠PCB.:DP平分∠ADE,CP平分 ∠DBC,.∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC,∴∠A= ∠ACB,·∠PDE=3∠ADE=∠B,∠PCB 2∠D,即∠D=号∠A,(3)12.5[解析：由(1，得∠D=90 2∠ACB=∠PGD.·∠DPC=180°-（∠PDE+∠PGD) +7∠A,:∠A=80,∠D=90+2X80=130,由 =180-号（∠B+∠ACB)=180-号×130=115 (2)0,得∠E=90°-号∠D=90°-号×130°=25.由(2) CQ平分∠ACF,·∠ACQ=号∠ACF,∠PCQ= ②，得∠F=2∠E,∠F=令×25-12.5门 参芳答案 第19页（共47页）