13.1 三角形的概念&13.2 与三角形有关的线段(练本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 重庆专版）

第十三章三角形 13.1 三角形的概念 A基础过关 逐点击破 B能力提升 整合运用@ 知识点1三角形的有关概念 6.下列说法中，正确的是 ( 1.观察下列图形，其中是三角形的是 ( A.所有的等腰三角形都是锐角三角形 B.等边三角形属于等腰三角形 ∠ΛXA C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形 的三角形 2.(教材P,习题T1,T2变式)如图. D.一个三角形里有两个锐角，则它一定是锐 角三角形 7.(原创题)如图，数一数，写一写. (1)图中共有多少个三角形？ (1)图中共有 个三角形，分别是 (2)写出其中以EC为边的三角形； (3)若有一个公共角的两个三角形称为一对 (2)△CDE和△BCD的公共角是 “共角三角形”，则以∠B为公共角的“共 公共边是 角三角形”有哪些？ (3)在△ABC中，∠A的对边是 (4)在△ABC和△BEC中，∠ACB是边 和 的对角。 知识点2三角形的分类 3.用A表示等边三角形，B表示等腰三角 8.从特殊到一般如图，在△ABC中，A1,A2, 形，C表示三边都不相等的三角形，则下 A,…,A.为AC边上不同的n个点，首先连 列四个分类图中，能正确表示它们之间关 接BA1,图中出现了3个不同的三角形，再连 系的是 接BA2,图中便有6个不同的三角形… (1)完成下表； B 连接点个数 123 45 6 A 出现三角形个数 B (2)若出现了45个三角形，则共连接了多少 4.图中直角三角形共有 个点？ (3)若一直连接到A,则图中共有 个三角形.（用含n的式子表示） (第4题图) (第5题图) 5.(教材P4习题T4变式)如图，已知AB=AC, AD=BD=DE=CE=AE,则图中共有 个等腰三角形，有 个等边三角形. 1数学I八年级上册 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 A基础过关 逐点击破 6.(2025·南开中学期中)网课已经成为学习 的一种方式，小南在上网课时把手机放在如 知识点1 三角形的三边关系 图所示的一个支架上面，就能非常方便地支 1.(2025·重庆八中期中)下列长度的三条线 起手机，该支架采用了三角形结构，这样设 段能构成三角形的是 计的原理是 A.1,2,3 B.2,3,4 A.垂线段最短 C.5,6,11 D.3,5,9 B.两点确定一条直线 2.(2025·南开中学期中)木工师傅要把两根 C.两点之间，线段最短 长分别为30cm,50cm的木条钉成三角形 D.三角形具有稳定性 木架，第三根木条不能选取的长为( A.20 cm B.30 cm B能力提升 整合运用⊙ C.40 cm D.50 cm 7.情境题窗框如图，工人师傅做 3.如图，将五边形ABCDE沿虚 了一个长方形窗框ABCD, 线裁去一个角得到六边形 E,F,G,H分别是四条边上的 ABCDGF,则该六边形的周长 中点，为了使它稳固，需要在 一定比原五边形的周长 (选填“大” 窗框上钉一根木条，这根木条 或“小”)，理由： 不应钉在 4.(2024·南川区期中)已知△ABC的三边分 A.A,C两点之间 B.E,G两点之间 别为a,b,c,且a=4,b=6. C.B,F两点之间 D.G,H两点之间 (1)求c的取值范围； 8.若一个三角形的三边长分别是a,b,c,其中a (2)若c的长为小于8的偶数，求△ABC的 2a-3b=5 和b满足方程组 若这个三角形的 周长. jb-a=-3. 周长为整数，则这个三角形的周长为 9.如图，AB,BC,CD是三根长度分别为1cm, 2cm,5cm的木棒，它们之间连接处可以活动. 现在A,D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的 不稳定性思考：这根橡皮筋的最大长度为多少 厘米？最短长度为多少厘米？ 知识点2三角形的稳定性 5.下列图形中，具有稳定性的图形是( 第十三章三角形2 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 A基础过关 逐点击破⑦ 知识点3三角形的高 知识点1三角形的中线 6.(2024·巴南区校级期中)下列各组图形中， 1.如图，在△ABC中，点D,E分别是BC,AB BD是△ABC的高的图形是 的中点，连接AD,DE.若S△EA=3,则四边形 AEDC的面积为 ( A.3 B.6 C.9 D.12 B (第1题图) (第2题图)》 D 2.（教材P,练习T2变式)如图，AD是△ABC 7.如图，在△ABC中，ABLAC,AD是边BC上的 的中线，则点D是线段 的中点，BD 高.若∠B=36°，则∠DAC的度数为( =CD=1 ,S△ABD= A.36 B.46° C.54° D.64° 2 .若S△ABD=3,则S△ABC= 3.如图，已知AD为△ABC的中线，AB= (第7题图) (第8题图) 10cm,AC=7cm,△ACD的周长为20cm, 8.如图，AD是△ABC的边BC上的高，则AD 则△ABD的周长为 cm 与BC的位置关系是： ,∠ADB= ∠ ,S△ABC= 9.如图，AD是△ABC的高，已知AC=8, B (第3题图) (第4题图) BC=10,AD=4. 知识点2三角形的角平分线 (1)求△ABC的面积； 4.如图，BD是△ABC的角平分线.已知 (2)作△ABC的边AC上的高BE,并求出 ∠ABC=62°，则∠DBC的度数为 BE的长度 5.如图，CD是△ABC的角平分线，E是BC边 上的一点，且∠1=∠2.试判断DE与AC的 位置关系，并说明理由 3【数学[八年级上册 B能力提升 整合运用⑦ C思维拓展 学科素养。 10.(教材P,习题T4变式)(2024·重庆模拟) 14.通性通法面积法已知在△ABC中，AB= 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平 AC,D是BC边上任意一点，过点D分别 分线，AF是中线，则下列说法错误的 向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F 是 (1)当点D在BC的什么位置时（如图①）， A.BF=CF B.∠C+∠CAD=90° DE=DF?并证明； C.∠BAF=∠CAFD.S△ABC=2S△ABF (2)过点C作AB边上的高CG(如图②)， 试猜想DE,DF,CG的长之间存在怎样 的数量关系，并说明理由. (第10题图) (第11题图) 11.(2025·重庆八中期中)如图，AD,CE是 △ABC的中线.若四边形BEFD的面积为 图① 图② 1,则△AFC的面积为 12.数学思想分类讨论在△ABC中，AD为边BC 上的高，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则 ∠BAC的度数为 13.新视角条件开放题如图，AD是∠CAB的平 分线，DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点 O,请问： (1)DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请 给予证明；如果不是，请说明理由； (2)若将“DO是∠EDF的平分线”与“AD 是∠CAB的平分线”，“DE∥AB” “DF∥AC”中的任一条件交换，所得命 题正确吗？若正确，请选择一个证明， 【延伸设问】如图，已知等边三 角形ABC的高为7cm,P为 △ABC内一点，PD⊥AB于 点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F, 则PD十PE+PF= cm 【规律总结】①等腰三角形底边上任意一点 到两腰的距离之和 腰上的高； ②等边三角形内一点到各边的距离之和 任意一边上的高 第十三章三角形4练本答案 ∴AB.CG=合AB·DE+AC·DF.:AB=AC, 第十三章三角形 .CG=DE十DF.【延伸设问】7【规律总结】①等于 13.1三角形的概念 ②等于 基础过关 13.3三角形的内角与外角 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD 13.3.1三角形的内角 (2)∠DCD(3)BC(4)ABBE3.B4.35.41 第1课时三角形的内角 能力提升 基础过关 6.B7.解：(1)图中共有5个三角形；(2)△ACE,△DCE, △BCE:(3)△DBE与△CBE,△BAC与△CBE,△DBE与 1.C2.100°3.解：(1)两直线平行，同位角相等等量 代换 (2)如答图， -D过点A作AD∥BC, △BAC.8.解：(1)3610152128(2)共连接了 8个点：3)2(n+1)(a+2) 13.2与三角形有关的线段 答图 13.2.1三角形的边 ∴∠DAC=∠C(两直线平行，内错角相等)，∠BAD十∠B 基础过关 =180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠BAC十∠DAC十 1.B2.A3.小EF+EG>FG4.解：(1)a=4,b= ∠B=180°.∴.∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）. 6,∴.2<c<10:(2):c的长为小于8的偶数，∴c=4,或c= 4.A5.A6.C7.160° 6.当c=4时，△ABC的周长为4十4十6=14：当c=6时， 能力提升 △ABC的周长为6十4+6=16.综上所述，△ABC的周长 8.D9.C10.解：(1)AB∥DE,.∠BAC=∠1.∠1 为14或16.5.A6.D =∠2，.∠BAC=∠2.∠DAE=∠BAC,.∠DAE= 能力提升 ∠2，.AD∥BC:(2)AD∥BC,·∠C=∠DAC=40 7.B8.99.解：由于B,C两处可以转动，当A,B,C,D '∠DAE=∠BAC,即∠DAC+∠EAC=∠BAE+ 形成一条线段时，AD最长，它等于AB十BC+CD=1+2 ∠EAC,∴.∠DAC=∠BAE.AE平分∠BAC,∠EAC 十5=8(cm);当A,B,C拉直，B,A落在CD上时，AD最 =∠BAE=∠DAC=40°，.∠BAD=∠BAE+∠EAC+ 短，它等于CD-AB-BC=5-1-2=2(cm).答：这根橡皮 ∠DAC=120°. 筋的最大长度为8cm,最短长度为2cm. 思维拓展 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 11.解：(1)90°40°(2)：（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP 基础过关 +∠ACP)+∠A=180°，.90°+（∠ABP+∠ACP)+∠A 1.C2.BCBC S△cDS△Ax63.234.31 =180°，∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A;(3)设AB交PC 5.解：DE∥AC.理由如下：CD是△ABC的角平分线， 于点O.:∠AOC=∠POB,∠ACO+∠A+∠AOC=∠P ∴∠ACD=∠1.：∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，.DE∥AC +∠PBO+∠POB=180°，∴.∠ACO+∠A=∠P+ ∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,.∠ACP 6.B 7.A 8.ADLBC ADC 90BC AD 9.解： ∠ABP=90°-∠A. (①S=之BC·AD=令X10X4=20:(2)作图如图。 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 由1知Sx=20.又Sae=号AC· 1.A2.C3.140°4.C5.证明：：AB⊥BD,ED⊥BD, .∠ABC=∠CDE=90°，.∠ACB+∠BAC=90°，∠CED +∠DCE=90°.：∠ACB=∠CED,∴.∠BAC=∠DCE, ∴∠ACB+∠DCE=90°，∴.∠ACE=180°-（∠ACB+ ∠DCE)=180°-90°=90°，∴△ACE是直角三角形. BE20..BE-5. 能力提升 能力提升 6.C7.50°或130°8.解：(1)∠1=∠2.理由如下：CE 10.C11.112.40°或80°13.解：(1)是.证明如下： ⊥AB,AD⊥BC,∴∠CEB=∠ADB=90°，.∠2+∠B= DE∥AB,DF∥AC,∴.∠EDA=∠DAB,∠EAD= 90°，∠1十∠B=90°，∴.∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成 ∠ADF.AD是∠CAB的平分线，∠EAD=∠DAB, 立.理由如下：，AD⊥BC,CE⊥AB,∴.∠D=∠E=90°， .∠EDA=∠ADF,.DO是∠EDF的平分线：(2)正确 ∴∠2+∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°，又：∠ABD= 选择命题：若DO是∠EDF的平分线，DE∥AB,DF∥AC, ∠CBE,∴.∠1=∠2. 则AD是∠CAB的平分线.证明：：DE∥AB,DF∥AC, 13.3.2三角形的外角 ∴∠EDA=∠DAB,∠EAD=∠ADF.IDO是∠EDF的 基础过关 平分线，∠EDA=∠ADF,∠EAD=∠DAB,.AD是 1.D2.∠ACD3.D4.B5.C6.A7.608.解： ∠CAB的平分线.（命题及其证明不唯一） :AE∥BD,.∠ADB=∠1=95.又∠ADB=∠C+ 思维拓展 ∠2，∴∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°.9.解：DF 14.解：(1)当点D是BC的中点时，DE=DF.证明如下：连 ⊥AB,∠BFD=∠AFE=90°，.∠B=90°-∠D=35°， ∴.∠ACD=∠B+∠A=35°+30°=65°，∠FEC=∠A+ 接AD.:点D为BC的巾点San=Sam,即子AB: ∠AFE=30°+90°=120 能力提升 DE-AC.DF.AB-AC,DE-DF:(2)CG-DE+ 10.D11.解：(1)C(2)∠1+∠2=∠A+180°.理由如 DF.理由如下：连接AD.:S△Ax=SADB十SAAD, 下：·'∠1=∠A+∠AEF,∠2=∠A+∠AFE,.∠1+ 参芳答案 第18页（共47页）