13.3 三角形的内角与外角(讲本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 重庆专版）

13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时 三角形的内角 知识梳理 (3)在△ABC中，若∠B-∠A=5°，∠C 三角形的内角和定理：三角形的内角和 ∠B=20°，则∠A=·∠B= 等于 ,∠C= B例题导学 知识点2三角形内角和定理与三角 形的角平分线、平行线的综合 知识点① 三角形内角和定理 【例2】如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是 【例1】在△ABC中，如果∠A= 2∠B= ∠ACB的平分线，点B,C,D在同一条直线 上，FD∥EC,∠D=42°，求∠B的度数. 吉∠C,那么△ABC是什么三角形9 【方法点拨】本题运用了综合法和转化思想， 【方法点拨】已知三角形的三个内角之间的 借助平行线把与△ABC无关的已知角转化 关系求内角的度数，可利用方程思想来解 为△ABC中的∠BCE,再结合角平分线就能 决，其中三角形内角和为180°就是等量关系. 进一步运用三角形的内角和定理解决问题. 【变式练习】 1.如图，在△ABC中，∠A=25°，∠B=55°，CD 平分∠ACB,则∠ADC的度数是 A.80° B.90° C.105° D.110° 【例3】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ 2.(1)在△ABC中，∠A-∠B=∠B ∠F的度数为 ∠C=15°，则∠A=,∠B= ∠C= (2)在△ABC中，若∠A：∠B:∠C= 2:3：4,则∠A= ’∠B= 【方法点拨】利用三角形内角和定理、对顶角 ,∠C= 相等和整体思想进行求解 ·5· 【变式练习】 4.如图，已知O是△ABC内一点，且BO, 3.如图，A处在C处的北偏西30°方向，B处 CO分别平分∠ABC,∠ACB, 在C处的北偏东45°方向，A处在B处的 (1)若∠A=46°，求∠BOC的度数； 北偏西70°方向，求∠BAC的度数. (2)若∠A=n°，求∠BOC的度数； (3)若∠BOC=148°，利用第(2)题的结论 ↑E 求∠A的度数. 10 第2课时 直角三角形中两个锐角的关系 A知识梳理 【方法点拨】利用MN∥EF,得出∠2+ ∠ABE=180°，进一步求出∠ABC即可得 1.直角三角形的两个锐角 2.有两个角互余的三角形是 三 出∠A的大小. 【变式练习】 角形 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=44°，则 B例题导学 ∠A的度数是 知识点①) 直角三角形的两个锐角互余 A.66 B.36° 【例1】如图，直线MN∥EF,Rt△ABC的直 C.56 D.46 角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF 2.如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， 上，AB交MN于点D,∠1=40°，∠2=70°， CD⊥AB,则与∠1互余的角为 求∠A的度数 A.∠B B.∠A C.∠BCD和∠A D.∠BCD 【变式】上题中，若∠1=35°，则∠B的度数 为 ▣6· 知识点2有两个角互余的三角形是 【变式练习】 直角三角形 3.下列条件中，能确定△ABC是直角三角 【例2】如图，已知D是线段BC延长线上一 形的有 点，∠ACD=∠ACB,∠COD=∠B. ①∠A+∠B=∠C; 求证：△AOE是直角三角形， ②∠A:∠B:∠C=1:2：3; 【方法点拨】由∠ACD=∠ACB,可知 ③∠A=90°-∠B: ∠ACB=∠ACD=90°，即△ACB和△COD 都是直角三角形.由∠COD=∠B,可得 ④∠A=∠B=3∠C /AEO=90°，即得证. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，直线AB∥CD,EF分别交AB,CD于 点E,F,∠BEF与∠DFE的平分线交于点 M,则△EFM的形状是 13.3.2三角形的外角 A知识梳理 点D在线段AC上，则下列说法正确的 1.三角形外角的概念 是 三角形的一边与另一边的 组成 的角，叫作三角形的外角. BG C E 2.三角形外角的性质 A.∠ABF是△ADB的外角 (1)三角形的一个外角与它相邻的内角 B.∠ABF是△BDG的外角 互补； C.∠ADG是△CDG的外角 (2)三角形的外角等于与它 的两 个内角的和； D.∠ABF是△BCD的外角 (3)三角形的一个外角大于与它不相邻的 【变式练习】 任何一个内角。 1.如图，△ACD的外角是 3.三角形的外角和等于360°. A.∠EAD B例题导学 B.∠BAC 知识点1三角形外角的定义 C.∠ACB 【例1】如图，点B,G,C在直线FE上， D.∠CAE ·7· 知识点2三角形外角的性质 外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC: 【例2】如图，AD是△ABC的角平分线，若 ②∠DAC=2∠ADB;③∠ADC=90° ∠ADB=98°，∠C=70°，求∠B的度数. ∠ABD;④DB平分∠ADC.其中，正确的 【方法点拨】在三角形中求一个角时，不仅要 结论是 .(填序号) 用三角形内角、外角的关系，还要结合角平 4.如图，BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD, 分线、补（余）角、对顶角及平行线的“三线八 它们交于点P 角”的关系来计算. 求证：∠BPC=2(∠A+∠BDC). 【变式练习】 2.∠A,∠C与△ABC的一个外角度数如图 所示，则x的值是 ( A.80 B.70 C.65 D.60 (x-5)° (x+65)° B C万 (第2题图) (第3题图) 3.如图，∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD分 别平分△ABC的外角∠EAC,内角∠ABC, 专题突破（一） 探究与三角形角平分线相关的结论 A专题概述 ∠C=50°，AE是BC边上的高，AD是 三角形角平分线定义：三角形一个内角 ∠BAC的平分线，求∠DAE的度数： 的平分线与这个内角的对边交于一点，则这 【方法点拨】本题主要考查了三角形内角和 个内角的顶点与所交的点间的线段叫作三 定理、角平分线的定义和直角三角形两锐角 角形的角平分线， 互余，熟知相关知识是解题的关键， 主要考查了三角形的内角和定理以及 角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形 的内角和定理以及角平分线的性质是解题 的关键. B例题导学 类型1单角平分线 【例1】如图，已知在△ABC中，∠B=25°， ·8·讲本答案 13.3三角形的内角与外角 第十三章三角形 13.3.1三角形的内角 13.1三角形的概念 第1课时三角形的内角 知识梳理 知识梳理 L.(1)不在同一条直线上首尾(2)三角形的边三角形 180° 例题导学 的顶点三角形的内角2.(1)锐角直角钝角(2)底 边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 【例】解：∠A=∠B=寸∠C可设∠A=,则∠B 例题导学 =2x°，∠C=3x°.由三角形内角和定理，得x十2x十3x= 【例1】解：(1)图中共有5个三角形，分别是△ABC, 180.解得x=30.∴.∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， △ABD,△ADC,△ABE,△BED;(2)△ABD的顶点：点 ∴.△ABC是直角三角形.【例2】解：，FD∥EC,∴∠BCE A,点B,点D:边：AB,BD,AD;(3)△ABC,△ADC: =∠D=42°.：CE是∠ACB的平分线，.∠ACB= (4)△ABE,△ABD:(5)∠DAC,∠ADC,∠C;(6)BE. 2∠BCE=84°.：∠A=46°，∴.∠B=180°-∠A-∠ACB 【例2】C =1809 46°-84°=50.【例3】360°解析：如图， 变式练习 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180 1.D2.8△ABC,△ADC,△ABE,△BDC,△BCE, △BOC,△BOD,△COE BC,BE,CD∠CBD,∠A3.B 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 ∠1+180°-∠2+180°-∠3=540°-（∠1+∠2+∠3） 知识梳理 由对顶角相等，易得∠1十∠2+∠3=180°，∴∠A十∠B十 1.(1)大于 小于2.(1)稳定性(2)三角形 ∠C+∠D+∠E+∠F=540°-180°=360°. 例题导学 变式练习 【例1】解：(1)6-4<c<6十4，∴.2<c<10.又△ABC 1.C2.(1)75°60°45°(2)40°60°80°(3)50° 55°75°3.解：BE∥CF,∴∠EBC+∠BCF=180°，即 的周长是大于14的偶数，即4十6+c>14,.c>4,.4<c ∠EBA+∠ABC+∠BCF=180°.∠EBA=70°，∠BCE 10,且c为偶数，∴.c=6或8：(2)当c=6时，b=c=6,此 =45°，∴·∠ABC=180°-∠EBA-∠BCF=180°-70° 时△ABC为等腰三角形.当c=8时，a,b,c三边都不相等， 45°=65°.∠ACF=30°，.∠ACB=∠ACF+∠BCF= 此时△ABC为三边都不相等的三角形.【例2】三角形具 30°+45°=75°，.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=1809 有稳定性 -65°-75°=40°.4.解：(1)∠A=46°，∴.∠ABC+ 变式练习 ∠ACB=180°-∠A=180°-46°=134°.：B0,C0分别平 1.A2.解：(1).(a-b)2十(b-c)2=0,(a-b)2≥0， (b-c)2≥0，.a-b=0,b-c=0,.a=b=c,.△ABC是 分∠ABC,∠ACB,·∠OBC=合∠ABC.∠OCB- 等边三角形：(2)：a=5,b=2,∴.5-2<c<5十2，即3<c< 7.c为整数，c=4,5,6.当c=6时，△ABC的周长最 ∠ACB.∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)= 2 大，最大值为5十2十6=13.当c=4时，△ABC的周长最 2×134=67,:∠B0C=180-(∠0BC+∠0CB)- 小，最小值为5+2+4=11.3.C 180°-67°=113°：(2)根据(1)中步骤，同理可得∠BOC= 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识梳理 90+号；(3)由(2)，得∠B0C=90+号∠A.∠A= L,三角形的重心3.三角形的高内部两条直角边 2(∠B0℃-90)=2×(148°-90)=116. 外部 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 例题导学 知识梳理 【例1】解：(1)，AD是BC边上的中线，∴.BD=CD, 1.互余2.直角 ∴△ABD的周长-△ADC的周长=(AB+AD+BD) 例题导学 (AC+AD+CD)=AB-AC=2,..AC=AB-2.1.AB 【例1】解：：MN∥EF,.∠2+∠ABE=180°.又：∠2= 十AC=10,将①式代入，得AB+AB-2=10,∴.2AB=12, 70°，.∠ABE=110°.：∠1=40°，.∠ABC=∠ABE ∴AB=6,AC=4;(2):AB=6,AC=4,6-4<BC<6+ ∠1=110°-40°=70°.：∠ACB=90°，.∠A=90 4,即2<BC<10:(3)S=S.【例2】解：DF∥AB.理由 ∠ABC=90°-70°=20°.【例2】证明：：∠ACD= 如下：DE∥AC,∴.∠1=∠DAF.·AD是△ABC的角平 ∠ACB,∠ACD+∠ACB=180°，.∠ACD=∠ACB=90° 分线，.∠EAD=∠DAF,∴.∠1=∠EAD.又∠1=∠2， 又：∠COD=∠B,∠AOE=∠COD,.∠AOE=∠B. .∠2=∠EAD,DF∥AB.【例3】C :∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-90°=90°，∴.∠A+ 变式练习 ∠AOE=90°，∴.∠AE0=180°-（∠A十∠AOE)=180° 1.(1)△ABH△AGF(2)AEBF1:21:12.4 90°=90°，∴.△AOE是直角三角形. 3.25°4.(1)AD(2)AE(3)BF5.解：(1)如图： 变式练习 1.D2.C【变式】35°3.D4.直角三角形 (2)rSa=ACBC=合ABCD, 2 13.3.2三角形的外角 知识梳理 1.延长线2.不相邻 例题导学 ·2 ×8×6= ×10CD,.CD=4.8. 【例1】C【例2】解：：∠ADB=∠C+∠CAD,∴.∠CAD= 参考答案 第1页（共47页） ∠ADB-∠C=98°-70°=28°.又AD是△ABC的角平 .∠DAC=90°-∠C=90°-40°=50°，∴.∠DAE=∠DAC 分线，.∠BAD=∠CAD=28°，.∠B=180°-∠BAD- ∠EAC=50°-30°=20°；(2)补全图形如图. ∠ADB=180°-28°-98°=54. EF⊥AE,∴∠AEF=90°，∴.∠AED+ 变式练习 1.C2.B3.①②③4.证明：如图 延长BP DE ∠FEC=90.:∠DAE+∠AED=90°，.∠DAE= ∠FEC,由(1)知∠DAE=20°，∴∠FEC=20°，3.解：连 交AC于点E,连接PD,并延长，·BP,CP分别平分 接BC.:∠BDC=140°，∴.∠DBC+∠DCB=180°- ∠ABD,∠ACD,∠PBA=∠PBD-G∠ABD,∠PCA ∠BDC=180°-140°=40°.又.∠BGC=110°，.∠GBC+ ∠GCB=180°-∠BGC=180°-110°=70°，.∠GBD+ =∠PCD=合∠ACD.可设∠PBA=∠PBD=x ∠GCD=70°-40°=30°.：BE,CF分别是∠ABD,∠ACD 的平分线，∴∠ABD=2∠GBD,∠ACD=2∠GCD. ∠PCA=∠PCD=y,∴.∠BEC=∠PBA+∠A=x+∠A, .∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=2X30°=60°. .∠BPC=∠BEC+∠PCA=x+∠A+y,.x+y= .∠A=180°-（∠ABD+∠ACD)-(∠DBC+∠DCB)= ∠BPC-∠A.同理可得∠BDC=x十y十∠BPC=∠BPC 180°-60°-40°=80°.4.解：(1)：AB∥CD,.∠BCD= -∠A+∠BPC=2∠BPC-∠A,.2∠BPC=∠A+ ∠B=30°，∠BAD=∠D=40°.：CE平分∠BCD,AE平分 ∠BDC,∠BPC=号（∠A+∠BDC. ∠BAD,∠DCE=∠BCD=2X30=15,∠DAE= 专题突破（一）探究与三角形角平分线相关的结论 例题导学 号∠BAD=之×40°=20.由三角形外角性质可知∠D+ 【例1】解：：∠B=25°，∠C=50°，∠BAC=180°-∠B ∠DCE=∠E+∠DAE,即40°+15°=∠E+20°，.∠E= ∠C=180°-25°-50°=105°.AD是∠BAC的平分线， 35°；(2)：CE平分∠BCD,AE平分∠BAD,∴.∠ECD= ·∠BAD=号∠BAC=号X105=52.5.:AE是BC边 ∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=号∠BAD.由三角 上的高，.∠AEB=90°，∴.∠BAE=90°-∠B=90°-25 形外角性质可知，∠D十∠ECD=∠E十∠EAD,①∠B =65°，.∠DAE=∠BAE-∠BAD=65°-52.5°=12.5°. +∠EAB=∠E+∠ECB.②①十②，得∠D+∠ECD+ 【例2】证明：：BP,CP是△ABC的内角平分线，∴.∠ABC ∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB,∴.∠D+∠B =2∠PBC,∠ACB=2∠BCP.:∠ABC+∠ACB+∠A= 180°，.2∠PBC+2∠BCP+∠A=180°，∴.∠PBC+ =2∠E,∠E=合(ZD+∠B.:∠D=m,∠B=, ∠BCP=号(180-∠A)=90°-2∠A.又：∠PBC+ ∠E=”产，5解：I:AD平分∠EAC,∠EAC ∠BCP+∠BPC=180,∠BPC=180°-(90°-2∠A） =2∠EAD.∠EAC=∠ABC+∠C,又，'∠ABC=∠C, .∠EAC=2∠ABC,.∠EAD=∠ABC,∴.AD∥BC: =90+∠A.【例3】解：△ABC的内角平分线BP与 (2)26°6.证明：：BM,CM是△ABC的外角平分线， .∠EBC=2∠MBC,∠FCB=2∠MCB,∴.∠ABC=180 外角平分线CP交于点P,“∠PBC=∠AC,∠PCD -∠EBC=180°-2∠MBC,∠ACB=180°-∠FCB=180° -2∠MCB,:∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴.∠A+ ∠ACD.'∠ACD=∠A+∠ABC,∠PCD=∠PBC+ (180°-2∠MBC)+(180°-2∠MCB)=180°，∴.∠MBC+ ∠P,∴∠P=∠PCD-∠PBC=号（∠ACD-∠ABC)= ∠MCB=90+号∠A.:∠MBC+∠MCB+∠M=18O, 之∠A,即∠P=号∠A.【例4)证明：BP,CP是 .∠M=180°-（∠MBC+∠MCB)=180° (90+号∠A)=90-∠A.易证∠P=90+号∠A, △ABC的外角平分线，.∠PBC= 号∠DBC=(∠A+ ∠ACB),∠PCB= 合∠BCB=(∠A+∠ABC.又 ∴∠M+∠P=90-号∠A+90+2∠A=180,7.解： (I)=理由如下：：∠DBC=∠A十∠ACB,∠ECB=∠A :∠PBC+∠PCB+∠P=180°，∴∠P=180°-（∠PBC +∠ABC,∠ABC+∠ACB+∠A=180°，.∠DBC+ +∠PCB)=180-2(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)= ∠ECB=∠ABC+∠ACB+∠A+∠A=180°+∠A: 180-2180+∠A)=90°-号∠A (2)5°(3)∠P=90-2∠A(0∠P=180-号（∠A 十∠D).理由如下：：∠EBC=180°-∠ABC,∠FCB= 变式练习 180°-∠BCD,BP平分∠EBC,CP平分∠FCB,∴.∠PBC 1.解：∠ACB=60°，∠ADB=85°，.∠CAD=∠ADB- ∠ACB=85°-60°=25°.：AD是△ABC的角平分线， =∠EBC=(180-∠ABC)=90-÷∠ABC, 1 ∴.∠CAB=2∠CAD=2X25°=50°.CE⊥AB,∴.∠AEC =90°，.∠ACE=90°-∠CAB=90°-50°=40°，.∠BCE ∠PCB=∠FCB=合(180-∠BCD)=90 =∠ACB-∠ACE=60°-40°=20°.2.解：(1)∠C= 40°，∠B=2∠C,∴.∠B=80°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C 号∠BCD,·∠PBC+∠PCB=90-号∠ABC+90° =180°-80°-40°=60°.：AE平分∠BAC,∴∠EAC= ∠BD=180-（∠ABC+∠BCD).:在四边形 1 7∠BAC=2X60°=30.：AD⊥BC,∠ADC=90, ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-（∠A十∠D).在 参芳答案 第2页（共47页）