13.1 三角形的概念&13.2 与三角形有关的线段(讲本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 重庆专版）

第十三章三角形 13.1三角形的概念 A知识梳理 图中的某一条边开始沿着一定方向去数； (4)先固定一个顶点，然后按照一定顺序不 1.三角形的有关概念 (1)由 的三条线段 断变换另外两个顶点去数 顺次相接所组成的图形叫作 三角形； (2)组成三角形的线段叫作 相邻两边的公共端点叫作 相邻两边所组成的角叫作 简称三角形的角， 2.三角形的分类 【变式练习】 (1)按角可以分为三类： 三角形、1.一位同学用三根木棒拼成的图形如下，其 三角形和 三角形； 中符合三角形概念的是 (2)按边的相等关系分类如下： 三边都不相等的三角形 X八△ 角 等腰 三角形 2.如图，图中共有 B例题导学 三角形，分别是 知识点1 三角形的有关概念 【例1】如图，在△ABC中， ∠A的对边是 ;边CD所对 D是BC边上的点，连接 的角是 AD,E是线段AD上的点，B 知识点2 三角形的分类 连接BE. 【例2】有下列说法：①三角形按边分类可分 (1)图中共有几个三角形？把它们表示 为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等 出来 边三角形；②等边三角形一定是等腰三角 (2)请指出△ABD的顶点和边； 形；③有两边相等的三角形一定是等腰三角 (3)AC是哪些三角形的边？ 形.其中，正确的有 ( ) (4)∠BAD是哪些三角形的内角？ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 (5)△ADC的三个内角是什么？ 【变式练习】 (6)在△ABE中，∠BAE的对边是什么？ 3.如果一个三角形的三个内角的度数分别为 【方法点拨】在复杂图形中数三角形个数常 40°，60°，80°，那么这个三角形是( 采用按序计数法，如：(1)按图形形成的过程 A.直角三角形 B.锐角三角形 去数；(2)按三角形的大小顺序去数；(3)从 C.钝角三角形 D.等边三角形 。1· 13.2与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 A 知识梳理 【变式练习】 1.三角形的三边关系 1.下列长度的三条线段，不能构成三角形的 是 (1)文字语言：三角形两边的和 第 第 A.1,2,3 B.2,2,3 三边；三角形两边的差 C.2,3,4 D.3,4,6 三边； (2)符号语言：设三角形两边长分别为a, 2.已知△ABC的三边长分别为a,b,c. b,则第三边边长x的取值范围是|a (1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0, b<x<a+b. 试判断△ABC的形状； 2.三角形的稳定性 (2)若a=5,b=2,且c为整数，求△ABC 的周长的最大值及最小值， (1)由于构成三角形的三边的长固定时， 三角形的形状和大小不会发生变化， 所以三角形具有 ,而四边形 不具有稳定性； (2)通过添加适当的线段，可以将多边形 转化为由若干个 组成的图 形，使不具有稳定性的多边形转化为 具有稳定性的多个三角形， B例题导学 知识点1)三角形的三边关系 【例1】已知a,b,c是△ABC的三边，a=4, b=6,且三角形的周长是大于14的偶数. (1)求c的值； 知识点2 三角形的稳定性 (2)判断△ABC的形状. 【例2】如图，木工师傅做长 【方法点拨】根据三角形的三边关系求出c 方形门框时，会在门上斜着 的取值范围是关键. 钉两条木板，使其不变形， 这样做的数学原理是 【变式练习】 3.将几根木条用钉子钉成如下的模型，其中 在同一平面内不具有稳定性的是( 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 A 知识梳理 1.三角形的中线 如图①，连接△ABC的顶点A和它 图① 图② 图③ 所对的边BC的中点D,所得线段AD叫 注意：三角形的中线、角平分线和高都是线 作△ABC的边BC上的中线， 段，不是直线 B例题导学 知识点1 三角形的中线 图① 图② 【例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的 一个三角形有三条中线，这三条中线 中线，△ABD的周长比△ACD的周长大2， 相交于一点（如图②）.三角形三条中线的 且AB与AC的和为10. 交点叫作 (1)求AB,AC的长； 2.三角形的角平分线 (2)求BC边长度的取值范围： 如图①，画△ABC的∠A的平分线 (3)设△ABD的面积为S1,△ACD的面积 AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线 为S2,试比较S1与S2的大小. 段AD叫作△ABC的角平分线.三角形 【方法点拨】(1)由AD是中线，可知△ABD 的三条角平分线相交于一点（如图②）. 的周长比△ACD的周长大2，就是AB比 AC大2；(2)可依据三角形三边关系求出； (3)三角形的任意一条中线将三角形分成面 图① 图② 积相等的两部分. 3.三角形的高 如图，从△ABC的顶 点A向它所对的边BC所B 在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD 叫作△ABC的边BC上的高线.三角形的 高线简称 锐角三角形的三条高都在三角形的 (如图①)；直角三角形有两条高 恰好是它的 (如图②)；钝角 三角形有两条高在三角形的 ,两 个垂足落在边的延长线上（如图③）. ·3· 【变式练习】 知识点③三角形的高 1.如图 【例3】如图，ACLBC,CD⊥AB,DE⊥BC, (1)若BG=GH=HF,则AG是 垂足分别为C,D,E.下列说法不正确的 的中线，AH是 的中线； 是 (2)若AF=FC,BE=CE,则△ABC的中 A.AC是△ABC的高 线是 和 ,S△ABF·S△ABC= B.DE是△BCD的高 ,S△AHF：S△BHE= C.DE是△ABE的高 D.AD是△ACD的高 【方法点拨】根据线段所在的三角形和高的 定义来判断 D B D (第1题图) (第2题图) 【变式练习】 2.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的 4.如图. 中点，连接BE,CE.若△ABC的面积是 8,则阴影部分的面积为 知识点2三角形的角平分线 【例2】如图，AD是△ABC的角平分线， (1)在△ABC中，BC边上的高是 DE∥AC交AB于点E,∠1=∠2，则DF (2)在△AEC中，CE边上的高是 与AB有什么位置关系？请说明理由. (3)在△BCF中，BC边上的高是 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°. (1)画出AB边上的高CD; (2)若AB=10,AC=8,BC=6,求CD的长， 【变式练习】 3.如图，AD是△ABC 的角平分线，AE是 △ACD的角平分线，B ∠BAC=100°，则∠DAE的度数是 4·讲本答案 13.3三角形的内角与外角 第十三章三角形 13.3.1三角形的内角 13.1三角形的概念 第1课时三角形的内角 知识梳理 知识梳理 L.(1)不在同一条直线上首尾(2)三角形的边三角形 180° 例题导学 的顶点三角形的内角2.(1)锐角直角钝角(2)底 边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 【例】解：∠A=∠B=寸∠C可设∠A=,则∠B 例题导学 =2x°，∠C=3x°.由三角形内角和定理，得x十2x十3x= 【例1】解：(1)图中共有5个三角形，分别是△ABC, 180.解得x=30.∴.∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， △ABD,△ADC,△ABE,△BED;(2)△ABD的顶点：点 ∴.△ABC是直角三角形.【例2】解：，FD∥EC,∴∠BCE A,点B,点D:边：AB,BD,AD;(3)△ABC,△ADC: =∠D=42°.：CE是∠ACB的平分线，.∠ACB= (4)△ABE,△ABD:(5)∠DAC,∠ADC,∠C;(6)BE. 2∠BCE=84°.：∠A=46°，∴.∠B=180°-∠A-∠ACB 【例2】C =1809 46°-84°=50.【例3】360°解析：如图， 变式练习 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180 1.D2.8△ABC,△ADC,△ABE,△BDC,△BCE, △BOC,△BOD,△COE BC,BE,CD∠CBD,∠A3.B 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 ∠1+180°-∠2+180°-∠3=540°-（∠1+∠2+∠3） 知识梳理 由对顶角相等，易得∠1十∠2+∠3=180°，∴∠A十∠B十 1.(1)大于 小于2.(1)稳定性(2)三角形 ∠C+∠D+∠E+∠F=540°-180°=360°. 例题导学 变式练习 【例1】解：(1)6-4<c<6十4，∴.2<c<10.又△ABC 1.C2.(1)75°60°45°(2)40°60°80°(3)50° 55°75°3.解：BE∥CF,∴∠EBC+∠BCF=180°，即 的周长是大于14的偶数，即4十6+c>14,.c>4,.4<c ∠EBA+∠ABC+∠BCF=180°.∠EBA=70°，∠BCE 10,且c为偶数，∴.c=6或8：(2)当c=6时，b=c=6,此 =45°，∴·∠ABC=180°-∠EBA-∠BCF=180°-70° 时△ABC为等腰三角形.当c=8时，a,b,c三边都不相等， 45°=65°.∠ACF=30°，.∠ACB=∠ACF+∠BCF= 此时△ABC为三边都不相等的三角形.【例2】三角形具 30°+45°=75°，.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=1809 有稳定性 -65°-75°=40°.4.解：(1)∠A=46°，∴.∠ABC+ 变式练习 ∠ACB=180°-∠A=180°-46°=134°.：B0,C0分别平 1.A2.解：(1).(a-b)2十(b-c)2=0,(a-b)2≥0， (b-c)2≥0，.a-b=0,b-c=0,.a=b=c,.△ABC是 分∠ABC,∠ACB,·∠OBC=合∠ABC.∠OCB- 等边三角形：(2)：a=5,b=2,∴.5-2<c<5十2，即3<c< 7.c为整数，c=4,5,6.当c=6时，△ABC的周长最 ∠ACB.∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)= 2 大，最大值为5十2十6=13.当c=4时，△ABC的周长最 2×134=67,:∠B0C=180-(∠0BC+∠0CB)- 小，最小值为5+2+4=11.3.C 180°-67°=113°：(2)根据(1)中步骤，同理可得∠BOC= 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识梳理 90+号；(3)由(2)，得∠B0C=90+号∠A.∠A= L,三角形的重心3.三角形的高内部两条直角边 2(∠B0℃-90)=2×(148°-90)=116. 外部 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 例题导学 知识梳理 【例1】解：(1)，AD是BC边上的中线，∴.BD=CD, 1.互余2.直角 ∴△ABD的周长-△ADC的周长=(AB+AD+BD) 例题导学 (AC+AD+CD)=AB-AC=2,..AC=AB-2.1.AB 【例1】解：：MN∥EF,.∠2+∠ABE=180°.又：∠2= 十AC=10,将①式代入，得AB+AB-2=10,∴.2AB=12, 70°，.∠ABE=110°.：∠1=40°，.∠ABC=∠ABE ∴AB=6,AC=4;(2):AB=6,AC=4,6-4<BC<6+ ∠1=110°-40°=70°.：∠ACB=90°，.∠A=90 4,即2<BC<10:(3)S=S.【例2】解：DF∥AB.理由 ∠ABC=90°-70°=20°.【例2】证明：：∠ACD= 如下：DE∥AC,∴.∠1=∠DAF.·AD是△ABC的角平 ∠ACB,∠ACD+∠ACB=180°，.∠ACD=∠ACB=90° 分线，.∠EAD=∠DAF,∴.∠1=∠EAD.又∠1=∠2， 又：∠COD=∠B,∠AOE=∠COD,.∠AOE=∠B. .∠2=∠EAD,DF∥AB.【例3】C :∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-90°=90°，∴.∠A+ 变式练习 ∠AOE=90°，∴.∠AE0=180°-（∠A十∠AOE)=180° 1.(1)△ABH△AGF(2)AEBF1:21:12.4 90°=90°，∴.△AOE是直角三角形. 3.25°4.(1)AD(2)AE(3)BF5.解：(1)如图： 变式练习 1.D2.C【变式】35°3.D4.直角三角形 (2)rSa=ACBC=合ABCD, 2 13.3.2三角形的外角 知识梳理 1.延长线2.不相邻 例题导学 ·2 ×8×6= ×10CD,.CD=4.8. 【例1】C【例2】解：：∠ADB=∠C+∠CAD,∴.∠CAD= 参考答案 第1页（共47页）