期中综合评价-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

期中综合评价 宝 (时间：120分钟满分：150分) 有电 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案， 其中只有一个是正确的》 洲 1.一元二次方程x2一6.x一5=0配方可变形为 苏 A.(x-3)2=14 B.(x-3)2=4 C.(x十3)2=14 D.(x+3)2=4 2.一元二次方程x2+3x+7=0的根的情况是 ( A.无实数根 B.有一个实数根 C有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 3.一元二次方程x2十mx十n=0的两根为一1和3，则n的值是 ( A.-3 B.3 C.-2 D.2 4.在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x一1)2十1的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 弥 所得函数的解析式为 A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+3 C.y=x2+1 D.y=x2-1 5.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB,则 ∠BAE的度数为 A.30° B.40 C.50° D.60° (第5题图) (第6题图) (第7题图) (第8题图) 6.如图，在一幅长为60m,宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图.若要使整 个挂图的面积是3500cm,设纸边的宽为xcm,则x满足的方程是 ( ) A.(60+x)(40+x)=3500 B.(60+2x)(40+2x)=3500 C.(60-x)(40-x)=3500 D.(60-2x)(40-2x)=3500 7.已知y=ax2十bx十c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是 A.abc0 B.b=2a C.3a-c=0 D.4a-2b+c<0 8.如图，在四边形ABCD中，AD=CD,∠ADC=120°，∠CBA=60°，BC=2,AB=5,则对角线BD的长是( 线 取 c29 9 9.将二次函数y=一x2+2x十3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如 的 图所示.当直线y=x十b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为 ( 或-3 A.- 8 c或-3 n或-3 10.定义[a,b,c]为函数y=a.x2十bx十c的特征数，下面给出特征数为[2m,1一m,一1一m]的函数的一些结论： 洲 ①当时=一3，函数图象的顶点坐标是(3，)：②当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于号， 提 ③当<0时，函数在>时，y随x的增大而减小.其中，正确的结论有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 第1页（共6页） 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分） 11.方程4x2=x的根是 12.已知点A(4,y1),B(一2,2)都在二次函数y=(x一2)2一1的图象上，则y1,y2的大小关系是 13.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,当水面宽度为4√5m时，水面下降了 m. 4m (第13题图) (第15题图) 14.关于x的二次函数y=一3x2+(2一a)x十5，其图象在y轴左侧部分，y随x的增大而增大，则使得关于y 的分式方程十24_8-3y=2有非负数解的所有整数4的值之和为 y-11y 15.如图，△ABC和△AGF是等腰直角三角形，∠BAC=∠G=90°，△AGF的边AF,AG交边BC于点D,E. 若BD=3,CE=4,则AD的值是 16.对于一个四位自然数M,如果满足各数位上的数字均不为零且千位上的数字与个位上的数字之和等于百 位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“九龙和谐数”.例如，M=4253,因为4十3=2十5，所 以4253是“九龙和谐数”，则最小的“九龙和谐数”是 ;已知“九龙和谐数”M=1000a+100b+ 10c+d,其中a,b,c,d均为不大于9的正整数，若二次函数y=a.x2十(b+c)x十d与x轴有且只有一个交 点，且满足18≤a+b十c十d≤34，则满足条件的M的最大值与最小值的差为 三、解答题（本大题8个小题，每小题10分，共80分） 17.用适当的方法解下列方程： (1)x2-6.x-11=0; (2)2(2.x-1)2=6x-3. 第2页（共6页） 18.如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A,B,C的坐标分别为（一2,4），（一2,0），（一4， 1),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)画出△ABC关于原点O对称的△ABC1; (2)平移△ABC,使点A移到点A2(0,2),画出平移后的△A2B,C2,并写出点B2,C2的坐标； (3)在△ABC,△A1B1C,△A2B2C2中，△A2B2C2与 成中心对称，其对称中心的坐标为 ↑y 19.已知关于x的方程x2一2kx十k=9. (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为2，试求3k2一12k+2025的值. 20.某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场 调查发现，该文具每天的销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x之间的函数解析式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 第3页（共6页） 21.如图，抛物线y=一x2十(m一1)x+m与y轴交于点(0,3). (1)求出m的值及抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点和顶点坐标； (3)当x取什么值时，抛物线在x轴上方？ (4)当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ 22.如图①，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,动点P从点B出发，沿着折线B→C→D方向运动，到达点D时 停止运动，设点P运动的路程为x(其中0<x<6),连接BD,PD.记△BDP的面积为y1,请解答下列问题： (1)直接写出y1与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)已知函数y2=一(x一3)2+6的图象如图②所示，结合你所画的函数图象，直接估计当y>y2时x的取 值范围： .(结果保留一位小数，误差不超过0.2) 2 OT12345678x 图① 图② 第4页（共6页） 23.【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是正方形ABCD内一点，PA=1,PB=2,PC=3, 你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A,连接PP',求出∠APB的度数； 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B,连接PP',求出∠APB的度数. 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程； 【类比探究】 如图②，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3,PB=1,PC=√11，求∠APB的度数， 图① 图② 第5页（共6页） 24.如图，抛物线)=一2十a十c经过A,B两点，与x轴的另外一个交点为C,已知点A(4,0),点B(0,3》. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥y轴交AB于点D,在y轴上点B下方取一点 E,使得DE-DB,求PD十2BE的最大值及此时点P的坐标； (3)在点P运动过程中，连接PC,当PC的中点恰好落在y轴上时，连接AP,在抛物线y=一2+bx十c 上是否存在点Q,使得∠PAB=∠QPA,如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请 说明理由. 图① 图② 第6页（共6页）∠BCF=∠ACG+∠BCF=90°，∴.∠CBF=∠ACG, 连接AG.易证△DAG≌△BAF(SAS),∴.∠DAG= .△BCD≌△CAH(ASA),∴AH=CD=CE,BD=CH. ∠BAF,AG=AF,∴.∠BAF+∠GAB=∠DAG+∠GAB 又：AH∥CE,∴.四边形ACEH是平行四边形，∴.CH= =60°，∴.△GAF是等边三角形，GF=AF.DF=DG+ 2CG,∴.BD=2CG.23.解：(1)∠CEC=2∠ACC GF,.DF=BF+AF:(3)如答图①和②，将△PBC绕点C (2)仍然成立.理由如下：由旋转性质可知CE=CE, 顺时针旋转60°，得到△GHC,.PC=GC,GH=PB, ∠ECC=∠ECC.:四边形ABCD是正方形，∠ABC ∠PCG=60°，△PGC是等边三角形，PG=PC,.PA =90,AB=BC,∠ACB=∠BAC=45°，∴.∠CBE=90° +PB+PC=PA十PG十GH.当点A,P,G,H四点共线时， :BE=AB,∴.BE=BC,∴.∠BEC=∠BCE=45°， PA+PB+PC的和最小，此时PA+PB+PC=AH. ∴.∠ACE=∠ECB+∠ACB=90°.设∠CEC=x, :∠GPC=60°，∴∠APC=180°-∠GPC=120°，即当点P ∠ECC=∠BCC=180g=90-,∠AcC'= 满足PA十PB+PC的和最小时，∠APC=120°. 2 ∠ACE-∠EBC'=90°-(90-x=x,即∠ACC= ∠CEC,∴∠C'-2∠AcC:(3)CF的长为2-5或 答图① 答图② 2十√3.[解析：①如答图①，当点C在AB上方时，连接BD 期中综合评价 交AC于点O.:四边形ABCD是正方形，.AC⊥BD,OC 1.A 2.A3.A4.D5.C6.B7.C8.A9.A =OA=号AC,∠ABC=90,AB=BC=VE,·AC= 10.C11.1=0,x9=4 12.y1<y213.414.-9 √AB+BC=√/(W2)2+(W2)2=2,∠COB=90°，.OC= 15.3√516.1111378317.解：(1)移项，得x2-6x= OA=2AC=1.“AC=CC,点C在AC垂直平分线 11,配方，得x2-6x十32=32十11，(x-3)2=20.由此可得 上，即点C在BD上.由旋转性质可知CE=CE.设∠CEC x-3=士2V5,x1=3+2V5,x2=3-25:(2)2(2x-1)2 =B,由(2)，得∠CEC=2∠ACC',.∠ECC=∠ECC= 3(2x-1)=0.因式分解，得(2x-1)[2(2x-1)-3]=0, 180g3=90-A,∠AcC'-合∠CBC'=A.:CF1 (2x-1)(4x-5)=0.于是得2x-1=0或4x-5=0,x1= 2 2,= 4 18.解：(1)如图，△ABC即为所求； CE,∴.∠CFC=∠COB=90°，.∠CCF=90°-∠ECC =90-18o2-8=∠AcC.cC'=CC,△CFC (2)如图，△A2B2C即为所求：由 2 ≌△COC(AAS),.CF=OC=1.BE=AB=√2，∠EBC =90°，∴.EC=√EB+BC=√(W2)2+(W2)2=2,∴.EC =EC=2.在Rt△ECF中，由勾股定理，得EF= √EC-CF=√2-1F=3,∴.CF=EC'-EF=2-√3； ②如答图②，当C在AB下方时.同理，得CE=CE=2, AC=2,△CFC≌△COC(AAS),∴.CF=CO=1.在 图可知B2(0,-2),C2(-2,-1);(3)△A1B1C1(1,-1) 19,解：(1)x2-2kx十k=9.整理，得x2-2kx十k-9=0, Rt△ECF中，由勾股定理，得EF=√EC一CF= .△=(-2k)2-4(k2一9)=36>0，∴.此方程有两个不相等 √22-1=3，∴.CF=EC+EF=2十√3.综上所述，CF 的实数根：(2)把x=2代入方程，得4一4k十2=9..k2 的长为2-√3或2+√3] 4k=5,.3k2-12k+2025=3(k2-4k)+2025=2040. 20.解：(1)y与x之间的函数解析式为y=一2x十60(10 x≤19)；(2)根据题意，得(x-10)(-2x十60)=192，整理， 得x2-40x+396=0,解得x1=18,x2=22.又10≤x≤ 19,∴x=18.答：销售单价为18元；(3)根据题意，得0=(x -10)(-2x+60)=-2x2+80x-600=-2(x-20)2十 200.:-2<0,.此抛物线开口向下.：抛物线的对称轴为 直线x=20,.当10≤x≤19时，w随x的增大而增大， 答图① 答图② .当x=19时，®有最大值，0敏大=198.答：当销售单价为 24.解：(1)连接BE.:∠ABC=90°，∴∠CBD=90°.：点 19元时，每天获利最大，最大利润是198元.21.解： E为CD的中点，∴BE=CE=CD.:EF1CBCF (1)抛物线y=一x2十(m-1)x十m与y轴交于点(0， 3),.m=3,y=-x2+2x+3;(2)在y=-x2+2x+3 BF:(2):△ABD和△ACE都是等边三角形，.AD=AB, 中，令y=0,得-x2十2x十3=0，解得x1=一1,22=3，故抛 AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°，∴.∠DAB+∠BAC= 物线与x轴的交点坐标为(-1,0)，(3,0).：y=一x2十2x ∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE,∴.△DAC≌△BAE 十3=-(x-1)2十4，∴.顶点坐标为(1,4)：(3)当-1<x<3 (SAS),∴∠ADC=∠ABE.在DC上取点G,使DG=BF,: 时，抛物线在x轴上方；(4)当x>1时，y的值随x的增大 参芳答案 第50页（共55页） x(0<x4), 而减小.22.解：(1)y1= (2)如图 -2x+12(4≤x<6); 在轴上，设P(p,-子82++3）=0，解得 所示； 性质：当0<x≤4时，y随x的增 p=1,P(1,号)如图②，作PM/AB,交抛物线于Q, “∠PAB=∠QPA.设PM的解析式为y=-子+d.将 OT12345678x P(1,号)代入y=-是x+d,得-是+d=号，解得d= 大而增大；当4≤x<6时，y随x的增大而减小：(3)0<x< 头，PM的解析式为y=-x+头，联立 0.7或5<x<623.解：【问题解决】思路一：如图①.将 △BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A,连接PP, 3 21 4x十4， x=1, ∠PBP'=90°，BP'=BP=2,AP'=CP=3.在Rt△PBP 解得9或=3Q(3, 中，BP=BP=2,∴∠BPP=45.由勾股定理，得PP y-- Γ2，y=3, =√BP+BPr=√/22+22=2√2.：AP=1,∴.AP2+ 3):如图②，在AB上取点N,连接PN,交抛物线于Q2,使 PP'=1十8=9.AP2=32=9,Ap2+PP2=AP2, ∠NPA=∠PAB,∴.∠PAB=∠QPA,∴.PN=AN,设 △APP是直角三角形，且∠APP=90°，∴.∠APB= ∠APP+∠BPP'=90°+45°=135°；思路二，求解过程略； N,-子+3）则pN=a-1+(子a+3-号)： 【类比探究】如图②，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到 △BP'A,连接PP',∠PBP=90°，BP'=BP=1,AP'= AN=a-4+(-a+3)n-1+(-+3- CP=√T,∴∠BPP'=45°.在Rt△BPP中，由勾股定理， =-4)+(-兰+3)，解得m=器N(器。 3 得PP'=√BP+BPT=√+1下=√2.AP=3,∴AP +Pp2=9+2=11.AP'=(√T)2=11,AP+PP 品)，同，直线PN的解析式为y=一得+需，联立 =AP2,.△APP是直角三角形，且∠APP=90°， + x=1, x29 .∠APB=∠APP-∠BPP'=90°-45=45 Γ4 解得 9或 +是x+3, 9 y 2 y=-1287 64 Q(哭，-1 64 .综上所述，所有符合条件的点Q的坐 标为(3,3)或( 29 1287 图① 图② 64 3 24.解：(1)将点A(4,0),点B(0,3)代入y=一 x2+bx十 4 c,得/0=-12+46+c 9 解得6 4’∴抛物线的解析式为 3=c, c=3, y=- +是x+3:(2)点A(4,0),点B0,3),设直 图① 图② 线AB的解析式为y=kx十t,则 0=4k十”解得 第二十四章综合评价 3=t, 1.A2.D3.C4.B5.B6.C7.C8.D9.B 3 k=- 10.A11.1012.40°13.2xcm14.30°15.4或8 车'“直线AB的解析式为y=-子x十3.设P(p, 3 16.2√6-√217.解：(1)△OA'B如图； t=3, 是+是p+3)则D(p,-子p+3）PD=-子心 +号p+3-(-子p+3)=-子p+3A.如图@，作DH 上y轴于点H,DE=DB,“点E,B关于直线y=一三 其中A'(4,3),B(3,0):(2)由勾股定理，得OA=√32+4 +3对称BE=23-(+)门=PD+ =5,∴点A在旋转过程中所走过的路径长为90：r·5= 180 号BE=-是+3p+号×号=-是+只p 5 2π. 18.解：(1)如图； (2)OA⊥AP ()广+得：易得当D=号时，PD+支BE的 最大值为得此时P(号，器)：(3)今-子+是x+3 垂径定理∠AOP=∠BOP SAS⊙O的半径19.解： 0,解得x=-1或x=4,∴.C(-1,0).PC的中点恰好落 (1).r=20cm,h=20/15cm..由勾股定理，得母线l= 参考答案第51页（共55页）