专题突破(三) 一元二次方程与分式方程的综合应用(练本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

10%,x2=1.9(不合题意，舍去).答：该商品每次降价的百： 子装所获利润为(10500÷105)×(130一105)=2500（元）， 分率是10%；(2)设第一次降价售出a件，则第二次降价售 2024年销售“幸福牌”亲子装所获利润为[9400÷(105 出(20一a)件.根据题意，得[60×(1-10%)一40]a十(48.6 11)]×[130-(105-11)]=3600(元).设年增长率是. -40)X(20-a)≥200.解得a≥5 品“a为非负整数，a 根据题意，得2500(m十1)=3600.解得m=号=20%， 的最小值是6.答：第一次降价至少售出6件后，方可进行 m2=- 第二次降价.5.解：(1)设每个玩具的售价为x元.根据 号（不合题意，合去）.答：年增长率是20%。 x60, 第二十一章整合与提升 题意，得 49(50-3×。50)≤686. 解得56≤x60.答： 高频考点突破 0.5 1.A2.B3.C4.45.解：(1)移项，得x2一2x=49.配 每个玩具售价的取值范围是56≤x≤60；(2)由(1)知每个 方，得x2一2x+12=49十12，(x-1)2=50.由此可得x-1 玩具的最低售价为56元，对应销售量为50-3×56-50 =士5√2，x1=1十5√2，x2=1-5√2；(2)a=1,b=-7,c= 0.5 14(个).根据题意，得[56(1十a%)一49]×14×(1-2a%) -1.△=b2-4ac=(-7)2-4×1×(-1)=53>0.方程有 =147,令t=a%,整理，得322-121十1=0.解得4= 1 两个不等的实数根x=一b士Y-4a:-二(-7)土V因 2a 2×1 h=日，即a%=子，或a%-日a=25,或a=12.5, -7±屈，即=十屈，=7二屈：(3)移项整理， 2 2 2 专题突破（三）一元二次方程与 得2(y十5)2-(y十5)(y-5)=0.因式分解，得(y十5)[2(y 分式方程的综合应用 +5)-(y-5)]=0,(y+5)(y+15)=0.于是得y十5=0， 1,解：(1)设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份x元， 或y+15=0,y=-5,2=-15.6.C7.D8.-1 则第二次购进毛肚的进价为每份(x一5)元.根据题意，得 9.3010.解：(1)-1(2)对于方程x2一(2m-3)x十m 15000=12000.解得x=25.经检验，x=25是原方程的 -4m-5=0,△=[-(2m-3)]2-4(m2-4-5)=4m十 x x-5 29.该方程为“快乐方程”，.4m十29为完全平方数，又 解，且符合题意.答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每 5m22,∴.49<4m十29117..4m十29=64或81或 份25元；(2)设降价元，该店毛肚每日销售额为15000 10.当4m十29=64时，解得m=空当m十29=81时，解 元，则降价后每份毛肚的实际售价为(40一m)元，每日销量 为(480+2m)份.根据题意，得(40一)(480+2)= 得m=13.当4m十29=100时，解得m=只.：m为整数， 15000.整理，得m2十200m-2100=0.解得m1=10,= .m=13..原方程为x2-23x十112=0，其根为x1=7,x2 一210（不合题意，舍去）.40-m=40-10=30.答：降价后 =16,符合题意.其“快乐数”为F(1,一23,112)= 每份毛肚的实际售价为30元.2.解：(1)设敖丙手办的单 4×1×112-(-23)2-=_81 价为x元，则哪吒手办的单价为1.3x元.根据题意，得 4×1 Γ4.1L,1十x十x2=73 2210-1000=14.解得x=50.经检验，x=50是原方程的 12.解：(1)设每件甲款羊毛衫的进价为x元，则每件乙款羊 1.3x 解，且符合题意.1.3x=1.3X50=65(元).答：哪吒手办的 毛衫的进价为(x十40)元.根据题意，得s0地=士.解 单价为65元，敖丙手办的单价为50元：(2)由(1)可得计划 得x=320.经检验，x=320是原方程的解，且符合题意.x 购买教丙手办10=20（个），哪E手办20+14=34（个）。 十40=320十40=360.答：每件甲款羊毛衫的进价为320 元，每件乙款羊毛衫的进价为360元；(2)设每件甲款羊毛 根据题意，得(65一3m)(34十2m)+(50一m)(20+2)= 衫的售价为m元.根据题意，得（一320）[30十2(370 2210十1000十100.解得m=1,m2=0(不合题意，舍去). m)]十15×(420-360)=3000.整理，得m2-705n十 答：m的值为1,3.解：(1)设甲队计划x天到达目的地， 124250=0,解得1=355，m2=350,为更大程度让利顾 则乙队计划(x一2)天到达目的地，根据题意，得1200=号 客，∴.m=350.答：每件甲款羊毛衫的售价为350元时，商 家日盈利可达到3000元. x2.解得x=6.经检验，x=6是原方程的解，且符合题 常考题型演练 意.x-2=6-2=4.答：甲队计划6天到达目的地，乙队计 1.C2.D3.C4.500(1-x)2=4055.解：(1)p1 划4天到达目的地：(2)根据题意，得135×4×(8+m)十 (300-30m)×6×(8十m)=18720.整理，得2-5m=0. (2):m十=p,x=1,+1=4十2== 解得m1=5,m2=0(不合题意，舍去)，答：m的值为5， :关于x的一元二次方程x2一px十1=0(p为常数)有两 4.解：(1)设2022年每套“幸福牌”亲子装的进价为x元，则 个不相等的实数根x和x2,x-px1十1=0，·x一p十 2024年每套“幸福牌”亲子装的进价为(x一11)元.根据题 0,即，士三p:3)由根雪系数的关系，得十 公 意，得0500=9400.解得x=105.经检验，x=105是原 p,x1x2=1.x7十x=2p十1，.(xm十x2)2-2x1x2=2p 分式方程的解，且符合题意.答：2022年每套“幸福牌”亲子 十1，∴.p2-2=2p+1,解得1=3，p2=-1.当p=3时，4 装的进价为105元：(2)由(1)可得2022年销售“幸福牌”亲：=p2-4=32-4=9-4=5>0.当p=-1时，4=p2-4= 参考答案第26页（共55页）专题突破（三）一元二次方程与分式方程的综合应用 1.本土文化重庆火锅)重庆火锅，源于明末清初 2.(2025·南开中学月考)小果等同学打算团 的重庆嘉陵江畔、朝天门等码头船工纤夫的 购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后 粗放餐饮方式，后随着社会的发展，历史的 得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的 变迁，重庆火锅的独特风味渐渐受人们的喜 1.3倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比 爱，每逢假期，全国各地有大量游客来到重庆 敖丙手办的数量多14个，购买哪吒手办共 品尝地道美味的火锅.据了解，某火锅店里主 需2210元，敖丙手办共需1000元. 营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元 (1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多 购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完 少元； 于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的 (2)经小果的争取，商家同意哪吒手办的单 进价比第一次少了5元，所购数量与第一次 价降低3m元，敖丙手办的单价降低m 购进数量相同. 元，结果购买哪吒手办的数量比原计划 (1)该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份 增加了2m个，购买敖丙手办的数量比原 多少元？ 计划增加了2个，最终总费用比原计划 (2)后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚 多了100元，求m的值. 的进价持续进货，每份标价40元出售， 每天能售出480份.为庆祝国庆节并吸 引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛 肚的售价，经研究发现，每份毛肚的售价 每下降1元，每天的销量就增加2份.降 价后，该店毛肚每日销售额为15000元， 求降价后每份毛肚的实际售价 第二十一章一元二次方程24 3.近日，气温骤降，阿坝结斯沟雪山迎来了第4.穿亲子装是近年来现代家庭中涌现出的一 一场雪，两队登山爱好者计划同一天出发， 种流行趋势，不仅能表达那份久违的童真， 沿不同的路线自行前往山顶的营地汇合.甲 过一把“孩童”瘾，同时也体现出“我们是亲 队走A路线，全程1200km,乙队走B路线， 密的一家人”的浓浓亲情.某商店抓住商机， 全程1600km,由于A路线的路况没有B路 在2022年至2024年这三年每年都销售“幸 线好，甲队每天行驶的路程是乙队的与，这样 福牌”亲子装.2022年该商店用10500元购 进了一批“幸福牌”亲子装并全部售完.2024 甲队比乙队晚2天到达营地 年每套“幸福牌”亲子装的进价比2022年下 (1)甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？ 降了11元，该商店用9400元购进了与2022 (2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的 年相同数量的“幸福牌”亲子装，也全部售 平均花费都为135元.甲队最开始计划 完.已知每套“幸福牌”亲子装的售价均为 有8个人同行，计划每人每天花费300 130元. 元，后来又有m个人加入队伍，经过计 (1)2022年每套“幸福牌”亲子装的进价为多 算，甲队实际每增加1人时，每人每天的 少元？ 平均花费将减少30元.若最终甲、乙两 (2)若该商店每年销售“幸福牌”亲子装所获利 队一起旅行的人数相同，且旅行天数与 润的年增长率相同，则年增长率是多少？ 各自原计划天数一致，两队共需花费 18720元，求m的值. 25精英新课堂·数学I九年级·上册