第二十一章 一元二次方程 整合与提升(讲本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

元；(2)设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为元.根据题： 例题导学 意，得(m-40)[140-2(m-50)]=3200.整理，得m2一 【例1】解：①②③是二次函数，④⑤不是二次函数.①化简 160m十6400=0.解得1=m2=80.答：当乙种品牌的洗 后为y=x2-5x十2，二次项系数为1，一次项系数为-5，常 衣液每瓶的售价为80元时，销售乙种品牌的洗衣液每天的 数项为2：②二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为0： 利润可达到3200元.2.解：(1)设车厘子的原进价为每 ③二次项系数为一3，一次项系数为0，常数项为1. 斤x元，则实际进价为每斤0.8x元.根据题意，得10000- 【例2】解：(1)由题意，得y=x(20-2x)=-2x2+20x(0< z<10):(2)当x=3时，y=-2×3+20X3=42.故当x= 10000-100.解得x=25.经检验，x=25是原分式方程的 0.8x 3时，矩形花圃的面积为42m. 解，且符合题意.0.8x=0.8×25=20.答：车厘子的实际进 变式练习 价为每斤20元；(2)设售价定为元时，可使促销部分的 1.D2.m≠13.y=-6x2+7x-27-24.-√5 车厘子获利4500元.根据题意，得(m-20)[200十20(40一 5.解：(1)y与x之间的函数解析式为y=·x=(10x十 m)]=4500.整理，得m2-70m十1225=0.解得m1=2= 90)x=10x2+90x(x为正整数)：(2)令y=1620,即10x 35,答：当售价定为35元时，可使促销部分的车厘子获利 十90x=1620.解得x1=9,x2=一18（不合题意，舍去）.答： 4500元. 前9个月的利润和等于1620万元. 第二十一章整合与提升 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 考点突破 知识梳理 【例1】(1)D(2)A(3)2022【例2】解：(1)移项，得(2x 2.越小y轴 -3)2=64.直接开平方，得2x-3=士8..2x-3=8,或2x 例题导学 -3=-8.解得x1=5.5,x2=一2.5；(2)移项，得x(x十1) 【例1】解：(1)表格从上到下依次填：一8一20 -2 -3(x十1)=0.因式分解，得(x十1)(x-3)=0.于是得x十 一882028(2)如图所示. 8时 =2x 1=0,或x-3=0.x1=-1,x2=3;(3)移项，得2x2-4x= 5.二次项系数化为1，得x2-2x= 配方，得-2a+ 2 号+1，(x-10=子由此可得x-1=士√a=1 7 3-223 +四=1-少，(0移项，得2-9-2=0.因武分 2 2 3 -4 -2x 解，得(x-11)(x十2)=0.于是得x-11=0,或x十2=0. x1=11,x2=一2.【例3】解：(1)根据题意，得△=[-(2m +2)]2-4m(m十1)≥0，且m≠0，解得m≥-1，且m≠0： -8 (2)根据题意，得a十g=2+2,ag=m+。+g=(a十 72 【例2】解：把点(1，)代入y=a,得a= B)2-2a8= 2m十212_2m十1D=1,整理，得m2十6m十4 m .D函数y=一之，其图象开口向下，图象关于y =0,解得m1=-3十√5,2=-3-√5，由(1)知m≥一1， 轴对称；在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y 且m≠0，∴.m的值为一3十√5.【例4】解：(1)设甲型智能 随x的增大而减小：当x=0时，y有最大值0：(2)：x1> 设备的单价为x万元，则乙型智能设备的单价为(140一x) x>0,y1<y.【例3】解：(1)二次函数的解析式为y 万元根据题意，得0=”解得=60.经检验，一 x2;一次函数的解析式为y=-x十2：(2)△AOB的面积为 x 60是原方程的解，且符合题意.140-x=140-60=80.答： 变式练习 甲型智能设备的单价为60万元，乙型智能设备的单价为1，A2.D3.②③①4.B5.-3向上(0,0)y轴 80万元；(2)设每吨燃料棒在200元的基础上降价y元.根 0小0y1>y26.解：(1)-1(2)把点(1，-1)代入 据题意，得(200-y-100)(350+5y)=36080.整理，得y y=ax(a≠0)，得a=一1..抛物线的函数解析式为y= 一30y十216=0.解得y1=12,2=18.·售价在每吨200 一x2:(3)当x<0时，y随x的增大而增大；(4)设抛物线与 元的基础上降价幅度不超过8%，∴y≤200×86，即y≤ 直线y=一2的两个交点为A,B(点A在点B的左边).联 16..y=12,.200-y=200-12=188.答：每吨燃料棒的 售价应为188元. 立y二一2，解得工1一2”A(②，2)， y=-2,y%=-2. 第二十二章二次函数 B(√2，一2)，∴.AB=√2-(-√2)=2√2.又抛物线的顶点 22.1二次函数的图象和性质 为O(0,0),·所围成的三角形的底边AB上的高为2， 22.1.1二次函数 知识梳理 “5=号×2×2=2反，即所围成的三角形的面积 I.y=ax2+bx+c x a b c 为2E. 参考答案 第5页（共55页）第二十一章整合与提升 A 思维导图 概念：形如a.x2十bx十c=0(a≠0)的整式方程 (1)直接开平方法：x2=p或(mx十n)2=(p≥0) (2)配方法：配成完全平方形式 解法 元 (3)公式法：x=-b土4a匹(a≠0，A=6-4ac≥0) 2a 次 (4)因式分解法：若a·b=0,则a=0或b=0(a,b为两个一次式) 程 △>0台方程有两个不等的实数根 根的判别式 △=0台方程有两个相等的实数根 △=b2-4ac △<0台方程无实数根 应用 若x1,x2是一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两个根， 根与系数的关系 6 则x1十x2= 列一元二次方程解决实际问题的步骤：审、设、列、解、验、答 B考点突破 意根据二次项系数不为0对m值进行取舍； (3)把x=2代入方程求出2a一b的值，再利 考点① 一元二次方程的有关概念 用整体代入法求代数式的值， 【例1】(1)下列方程是一元二次方程的 是 考点2一元二次方程的解法 ( A.mx2+nx+k=0 【例2】解下列方程： B.x2-y=0 (1)(2x-3)2-64=0: C.x3-x=2 D.x2-3=0 (2)若关于x的一元二次方程(m一2)x2- 2x十m2-m=0有一个根是1，则m的值 是 A.-2 B.2 C.0 D.±2 (2)x(x+1)=3(x+1); (3)若x=2是关于x的方程ax2一bx=2的 解，则2025-6a+3b的值为 【方法点拨】(1)判断方程是一元二次方程， 要注意三个条件：①只有一个未知数；②最 高次数为2；③二次项系数不为0；(2)把x 1代入方程中进行计算可得m值，同时要注 ·27· (3)2x2-4x-5=0; 考点④一元二次方程的实际应用 【例4】某环保公司研发了甲、乙两种智能设 备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料.某垃 圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设 备若干，已知购买甲型智能设备花费了 360万元，购买乙型智能设备花费了480万 (4)x2-9x=22. 元，购买的两种设备数量相同，且两种智能 设备的单价和为140万元. (1)甲、乙两种智能设备的单价各为多少 万元？ (2)垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒， 并将产品出售，已知每吨燃料棒的成本 为100元.调查发现，若燃料棒的售价为 【方法点拨】灵活选用适当的方法解方程是 每吨200元，平均每天可售出350t,而 解决本题的关键， 当销售价格每降低1元，平均每天可多 考点3 一元二次方程根的判别式及 售出5t.若垃圾处理厂想使这种燃料棒 根与系数的关系 的销售利润平均每天达到36080元，且 【例3】已知关于x的一元二次方程mx2- 保证售价在每吨200元的基础上降价幅 (2m十2)x十(m十1)=0有两个实数根. 度不超过8%，则每吨燃料棒的售价应 (1)求m的取值范围； 为多少元？ (2)若方程的两个实数根为a,B,且α2+g= 1,求m的值. 【方法点拨】(1)根据题意可得△≥0，解不等 式即可；(2)根据根与系数的关系得α十B和 a3的值，然后将原代数式转化成关于m的 方程求解即可. ·28·