专题突破(三) 一元二次方程与分式方程的综合应用(讲本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

x2=9.当x=10时，38-2x=18;当x=9时，38-2x=20 180..B款礼盒的售价不能低于150元，.y=180.答：B >19,不合题意，舍去，答：自行车车棚的长和宽分别为 款礼盒的促销价应定为180元.2.解：(1)设第一批购入甲 18m,10m;(2)不能围成面积为200m的自行车车棚.理 由如下：设AB=ym,则BC=(38-2y)m.根据题意，得 种树苗x棵，乙种树苗y棵.根据题意，得工十=250， 20z+30y=6000. y(38-2y)=200.整理，得y2-19y+100=0.△=(-19)2-4 解得：二150·答：第一托购人甲种树苗150棵，乙种树苗 ×100×1=一39<0，∴.此方程没有实数根..不能围成面 1y=100. 积为200m的自行车车棚.2.D3.解：设彩色纸带的 100棵；(2)设甲树苗的单价上涨a元.根据题意，得(20+ 宽度为xcm.根据题意，得(100-5x)(40一2x)=640×4. a)(150-号×10）+30×100×80%=6000×(1-8%). 整理，得x2-40x十144=0.解得x1=4,x2=36(不符合题 意，舍去).答：彩色纸带的宽度为4cm.4,解： 整理，得a2-10a十24=0.解得a1=4,a2=6..最后数量 (1)1cm或7cm(2)四边形PQCR的面积能为16cm. 不超过第一批甲树苗的80%，∴.150-5a≤150×80%.解得 理由如下：设AP=xcm.根据题意，得x(8一x)=16.整理， a≥6..a=6.150-5×6+100×80%=120+80=200(棵). 得x2-8x十16=0.解得x1=x2=4..PA的长为4cm 答：第二批购买树苗总共200棵.3.解：(1)设每件小商品 时，四边形PQCR的面积为16cm;四边形PQCR的面积： 的售价应定为x元.根据题意，得(60×10+20)(x 5 不能为20cm.理由如下：根据题意，得x(8-x)=20.整 40)=(60-40)×20.整理，得x2-110x+3000=0.解得 理，得x2-8x+20=0.,△=(-8)2-4×1×20=-16< x1=50,x2=60(不合题意，舍去)，答：每件小商品的售价应 0,.该方程无实数根，.四边形PQCR的面积不能为20cm. 专题突破（二）一元二次方程与方程（组）、 定为50元，(2)设该商品需打m折，根据题意，得62.5×0 不等式的综合应用 ≤50.解得m≤8.m为非负整数，∴.m的最大值为8.答： 例题导学 该商品至少需打八折销售， 【例1】解：(1)设去年椒农张大爷售出A种花椒xkg,则售 专题突破（三） 一元二次方程 出B种花椒(900一x)kg.根据题意，得6x十8(900一x)= 与分式方程的综合应用 6000.解得x=600.900一x=900一600=300.答：去年椒 例题导学 农张大爷售出A种花椒600kg,售出B种花椒300kg 【例1】解：(1)设每台B款电器的售价为x元，则每台A款 (2)根据题意，得(6-克0）×2×600+(8+务0)×(300 1 电器的售价为x元.根据题意，得200-1200-1.解得 5 5 -3a)=6000(1十606).整理，得a2-30a=0.解得a1=0 (不合题意，舍去)，a2=30.答：a的值为30，【例2】解： x=240.经检验，x=240是原分式方程的解，且符合题意。 (1)设A网店每箱“爱媛”的售价是x元，每箱“沃柑”的售 答：每台B款电器的售价为240元；(2)设每台A款电器应 价是y元.根据题意，得 /2+)=10解得=30答：A x+2y=130. 1y=50. 降价a元.根据题意，得(100-a)(100+号×20）= 网店每箱“爱媛”的售价是30元，每箱“沃柑”的售价是50 10800.整理，得a2-50a十400=0.解得a1=10,a2=40. 元；(2)设每箱“沃柑”的售价降低了a元.根据题意，得30× 要尽快减少库存，.a=40.答：每台A款电器应降价40 60%×(100+4×号)十1-606(10+4×号)50-a 元.【例2】解：(1)设学校购买绿萝的单价为x元，则购买 =4080.整理，得a2-45a十350=0.解得a1=10,a2=35. 红年的单价为一1)元，根据题意，得10×号- x “沃柑”的单价不低于“爱媛”的单价，.50-a≥30，解得 解得x=16.经检验，x=16是原分式方程的解，且符合题 a≤20.∴a=10.答：每箱“沃柑”的售价降低了10元. 意.x一1=16-1=15.答：学校购买绿萝的单价为16元，红 【例3】解：(1)设第一次购进玫瑰x株，则购进“肉肉”(500 掌的单价为15元：(2)由(1)可知，学校购买绿萝的数量为 一x)株.根据题意，得5x十8(500一x)≤3160.解得x≥ 1600÷16=100(盆)，红掌的数量为900÷15=60（盆）.根 280.x为非负整数，.x的最小值为280.答：玫瑰至少购 进280株；(2)根据题意，得(280+8m)(10十m一5)十300X 据题意，得100(16+是a）+(60+a)(15+是a） (1-5%)×10-300×8=2522.整理，得m2十40m-84= 1600十900十124a.整理，得a2-8a=0.解得a1=8,a2=0 0.解得m1=2,=-42(不合题意，舍去)，答：m的值为2. (不合题意，舍去).答：a的值为8. 变式练习 变式练习 1.解：(1)设该超市9月26日A款礼盒销售了x盒，则B 1.解：(1)设甲种品牌的洗衣液每瓶的进价为x元，则乙种 款礼盒销售了(350-x)盒.根据题意，得100x十200(350一 x)=50000.解得x=200.350-x=350-200=150.答：该 品牌的洗衣液每瓶的进价为(x十10)元.根据题意，得5000 超市9月26日A款礼盒销售了200盒，B款礼盒销售了 150盒；(2)设B款礼盒的促销价定为y元.根据题意，得 =00解得x=30.经检验，z=30是原分式方程的解， 100×0.8×200×(1+50%)+y[150+5(200-y)]= 且符合题意.x十10=30十10=40.答：甲种品牌的洗衣液 69000.整理，得y2-230y十9000=0.解得y1=50,= 每瓶的进价为30元，乙种品牌的洗衣液每瓶的进价为40 参芳答案 第4页（共55页） 元；(2)设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为元.根据题： 例题导学 意，得(m-40)[140-2(m-50)]=3200.整理，得m2一 【例1】解：①②③是二次函数，④⑤不是二次函数.①化简 160m十6400=0.解得1=m2=80.答：当乙种品牌的洗 后为y=x2-5x十2，二次项系数为1，一次项系数为-5，常 衣液每瓶的售价为80元时，销售乙种品牌的洗衣液每天的 数项为2：②二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为0： 利润可达到3200元.2.解：(1)设车厘子的原进价为每 ③二次项系数为一3，一次项系数为0，常数项为1. 斤x元，则实际进价为每斤0.8x元.根据题意，得10000- 【例2】解：(1)由题意，得y=x(20-2x)=-2x2+20x(0< z<10):(2)当x=3时，y=-2×3+20X3=42.故当x= 10000-100.解得x=25.经检验，x=25是原分式方程的 0.8x 3时，矩形花圃的面积为42m. 解，且符合题意.0.8x=0.8×25=20.答：车厘子的实际进 变式练习 价为每斤20元；(2)设售价定为元时，可使促销部分的 1.D2.m≠13.y=-6x2+7x-27-24.-√5 车厘子获利4500元.根据题意，得(m-20)[200十20(40一 5.解：(1)y与x之间的函数解析式为y=·x=(10x十 m)]=4500.整理，得m2-70m十1225=0.解得m1=2= 90)x=10x2+90x(x为正整数)：(2)令y=1620,即10x 35,答：当售价定为35元时，可使促销部分的车厘子获利 十90x=1620.解得x1=9,x2=一18（不合题意，舍去）.答： 4500元. 前9个月的利润和等于1620万元. 第二十一章整合与提升 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 考点突破 知识梳理 【例1】(1)D(2)A(3)2022【例2】解：(1)移项，得(2x 2.越小y轴 -3)2=64.直接开平方，得2x-3=士8..2x-3=8,或2x 例题导学 -3=-8.解得x1=5.5,x2=一2.5；(2)移项，得x(x十1) 【例1】解：(1)表格从上到下依次填：一8一20 -2 -3(x十1)=0.因式分解，得(x十1)(x-3)=0.于是得x十 一882028(2)如图所示. 8时 =2x 1=0,或x-3=0.x1=-1,x2=3;(3)移项，得2x2-4x= 5.二次项系数化为1，得x2-2x= 配方，得-2a+ 2 号+1，(x-10=子由此可得x-1=士√a=1 7 3-223 +四=1-少，(0移项，得2-9-2=0.因武分 2 2 3 -4 -2x 解，得(x-11)(x十2)=0.于是得x-11=0,或x十2=0. x1=11,x2=一2.【例3】解：(1)根据题意，得△=[-(2m +2)]2-4m(m十1)≥0，且m≠0，解得m≥-1，且m≠0： -8 (2)根据题意，得a十g=2+2,ag=m+。+g=(a十 72 【例2】解：把点(1，)代入y=a,得a= B)2-2a8= 2m十212_2m十1D=1,整理，得m2十6m十4 m .D函数y=一之，其图象开口向下，图象关于y =0,解得m1=-3十√5,2=-3-√5，由(1)知m≥一1， 轴对称；在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y 且m≠0，∴.m的值为一3十√5.【例4】解：(1)设甲型智能 随x的增大而减小：当x=0时，y有最大值0：(2)：x1> 设备的单价为x万元，则乙型智能设备的单价为(140一x) x>0,y1<y.【例3】解：(1)二次函数的解析式为y 万元根据题意，得0=”解得=60.经检验，一 x2;一次函数的解析式为y=-x十2：(2)△AOB的面积为 x 60是原方程的解，且符合题意.140-x=140-60=80.答： 变式练习 甲型智能设备的单价为60万元，乙型智能设备的单价为1，A2.D3.②③①4.B5.-3向上(0,0)y轴 80万元；(2)设每吨燃料棒在200元的基础上降价y元.根 0小0y1>y26.解：(1)-1(2)把点(1，-1)代入 据题意，得(200-y-100)(350+5y)=36080.整理，得y y=ax(a≠0)，得a=一1..抛物线的函数解析式为y= 一30y十216=0.解得y1=12,2=18.·售价在每吨200 一x2:(3)当x<0时，y随x的增大而增大；(4)设抛物线与 元的基础上降价幅度不超过8%，∴y≤200×86，即y≤ 直线y=一2的两个交点为A,B(点A在点B的左边).联 16..y=12,.200-y=200-12=188.答：每吨燃料棒的 售价应为188元. 立y二一2，解得工1一2”A(②，2)， y=-2,y%=-2. 第二十二章二次函数 B(√2，一2)，∴.AB=√2-(-√2)=2√2.又抛物线的顶点 22.1二次函数的图象和性质 为O(0,0),·所围成的三角形的底边AB上的高为2， 22.1.1二次函数 知识梳理 “5=号×2×2=2反，即所围成的三角形的面积 I.y=ax2+bx+c x a b c 为2E. 参考答案 第5页（共55页）专题突破（三） 一元二次方程与分式方程的综合应用 A专题概述 【变式练习】 一元二次方程和分式方程应用题是重 1.在刚刚过去的“十一”假期中，某超市为迎 庆最近几年中考试题的高频考题，解决这类 接“十一”小长假购物高潮，经销甲、乙两 问题的主要步骤：(1)梳理关键信息；(2)找 种品牌的洗衣液.市场上甲种品牌洗衣液 的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便 等量关系；(3)根据数量关系，列出所需的代 宜10元，该超市用6000元购进的甲种品 数式，从而列出方程；(4)解方程，求出未知 牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗 数的解，检验，结合题意和实际情况进行合 衣液的瓶数相同 理的取舍. (1)甲、乙两种品牌的洗衣液每瓶的进价 B例题导学 各为多少元？ 【例1】重百商场有A,B两款电器，已知每台 (2)在销售中调查发现，乙种品牌的洗衣 A款电器的售价是每台B款电器售价的 54 液每瓶售价为50元时，每天可售出 140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每 倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比 瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗 用1200元购买B款电器的数量少1台. 衣液每天就会少售出2瓶.当乙种品 (1)每台B款电器的售价为多少元？ 牌的洗衣液每瓶的售价为多少元时， (2)经统计，商场每月卖出A款电器100台， 销售乙种品牌的洗衣液每天的利润可 每台A款电器的利润为100元.为了尽 达到3200元？ 快减少库存，重百商场决定采取适当的 降价措施，调查发现，每台A款电器的售 价每降低10元，那么平均每月可多售出 20台，重百商场要想每月销售A款电器 的利润达到10800元，每台A款电器应 降价多少元？ ·25· 【例2】为给师生们创造温馨愉悦的学习场 【变式练习】 地，某校开展美化教室活动，用1600元购进 2.车厘子，含铁量是水果之首，营养丰富，深 一批绿萝，装饰完毕后由于太单调，又用900 受消费者喜爱.某超市准备花10000元购 元购进一些红掌，购进红掌的价格比绿萝每 进一批车厘子，实际购买时，由于在原进 盆便宜1元，所购红掌数量恰好是购进绿萝 价的基础上打了八折，结果用同样的钱比 数最的是 预期多购进了100斤. (1)车厘子的实际进价为每斤多少元？ (1)学校购买绿萝和红掌的单价分别为多 (2)若该品种的车厘子市场售价为40元/斤， 少元？ 可售出200斤，根据销售经验，降低售 (2)装扮教室后，同学们的精神面貌发生了 价会促进销量的增加，即售价每斤降 较大的改变，随后学校决定再次购买绿 价1元，销量相应增加20斤，超市决 萝和红掌美化过道，购买绿萝的数量与 定将部分车厘子降价促销，当售价定 第一次相同，购买红掌的数量比第一次 为多少元时，可使促销部分的车厘子 多α盆，此时绿萝与红掌双双涨价，绿萝 获利4500元？ 的价格比第一次购买时的价格高子a元， 红掌的价格比第一次购买时高a元，最 终发现第二次购买绿萝和红掌的总价比 第一次购买绿萝和红掌的总价高124a 元，求a的值. ·26·