21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(讲本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 A知识梳理 (2)已知x=2是关于x的一元二次方程 1.一元二次方程的根与系数的关系（韦达 x2+3x+m一2=0的一个根.求m的值 定理) 及方程的另一个根. 若x1,x2是一元二次方程ax2十bx十c=0 (a≠0)的两个根，则x1十x2= x1x2= 2.常见的关于两根代数式的变形 (1)x7+x2=(x1十x2)2-2x1x2; (2)(十a)(x2十a)=c1x2十(0+x2)a十a2; 【方法点拨】(1)利用两根代数式的变形，代 (3)9+2=十立_（十）2-242 入即可求值；(2)利用两根之和为一3可求 T1X2 出另一个根和m的值， (4)xx2十x1x2=x1x2(x1十x2); 【变式练习】 (5)|x1-x2|=√/(x1-x2)2 1.已知a,b是方程x2十x一3=0的两个实 √(x1+x2)2-4.x1x2. 数根，则a2-b十2025的值是() 点拨：根与系数的关系成立的两个重要前 A.2026 B.2027 提：①一般式；②判别式△=b-4ac≥0： C.2028 D.2029 B例题导学 【变式】设a,b是方程x2十x一2025=0的 两个实数根，则(a一1)(b一1)的值为 知识点① 利用根与系数的关系求相 关代数式的值 2.已知关于x的一元二次方程kx2一2x十 【例1】(1)若x1,2是一元二次方程x2-8.x十 3=0(k≠0)有两个不相等的实数根x1 7=0的两个根，不解方程，求下列式子 和x2. 的值. (1)求k的取值范围； + (2)试说明上+1的值与k无关 T? ②x1+x; ·11 知识点2利用根与系数的关系求方 【变式练习】 3.已知关于x的方程x2+(2k一1)x十 程中的参数值 1=0有两个实数根x1,x2.若x1,x2满足 【例2】(1)已知关于x的一元二次方程x2+ x1x2十x1十x2=3,则k的值为( (m+3)x+m十1=0的两个实数根为x1, A.-1 B.3 x2.若x十x号=4，则m的值为 C.-1或3 D.-1±√3 (2)已知关于x的一元二次方程x2一4x十m 【变式】已知x1,x2是关于x的一元二次 1=0的实数根x1,x2满足3x1x2一x1 x2>2,则m的取值范围是 方程x2-(2k十3)x十2=0的两个根，且 (3)已知关于x的方程x2一2x+m=0有两 1+1=1,则k的值为 个不相等的实数根x1,x2. 4.已知关于x的一元二次方程x2-6.x十2a十 ①求实数m的取值范围； 5=0有两个不相等的实数根x,x2. ②若x1一x2=2,求实数m的值. (1)求a的取值范围； 【方法点拨】(1).△=(m十3)2-4（十1）= (2)若x号十x-1x2≤30，且a为整数，求 (m十1)2十4>0，∴.这个方程有两个不相等 a的值. 的实数根x1,x2.利用根与系数的关系即可 求出m的值；(2)根据根的判别式△≥0、根 与系数的关系列出关于m的不等式组，通过 解该不等式组，即可求得m的取值范围； (3)利用根与系数的关系可求得m的值，但 要注意m的取值范围. ·12·21.2.2公式法 x2=4:(2)因式分解，得(x-4)(x十2)=0.于是得x-4= 知识梳理 0,或x十2=0，x1=4,x2=一2. 1.b一4acb-4ac2.(1)两个不等(2)两个相等 *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 (3)无3.(1)x=二b±B-4ac 知识梳理 2a 例题导学 1-台 【例1】A【例211B(2)m<号且m≠0(3)a≥-1 例题导学 【例1】解：(1)，x,x2是一元二次方程x2-8x十7=0的两 【例3】解：(1)方程化为x2-5x-1=0.a=1,b=-5,c= -1.△=b-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29>0.方程有 个根，十=8,1=7.①1十1=十型=8 7； 两个不等的实数根x=二b士V一4a匹 =二(-5)±29 ②x+x=(x1十x2)2-2x1x2=82-2X7=50;(2)x=2 2a 2×1 是关于x的一元二次方程x2十3x十m一2=0的一个根， =5±四，即1=5+四，，=5√四：(2方程化为 .4十6十m-2=0,∴m=一8.设方程的另一个根为x2,则 2 2 2 2十x2=一3，∴.x2=一5...m的值是一8，方程的另一个根 2y2-y+3=0.a=2,b=-1,c=3.△=b-4ac=(-1)2 是x=-5.【例2】解：(1)-1或-3(2)3<m≤5 4×2×3=一23<0.方程无实数根. (3)①由题意，得△=(-2)2-4×1×m=4-4m>0,解得 变式练习 m<1;②由根与系数的关系，得x1十x2=2,x1x2=m,则 1.B2.k≤号且k≠1【变式】m>2【变式2】-1 +=2解得巴=2 故m=x1x2=2X0=0. x1-x2=2, x2=0. 3.B4.1+3 2 5.解：(1)方程化为x2十2x=0.a=1,b 变式练习 =2,c=0.△=b2-4ac=22-4×1X0=4>0.方程有两个 1.D【变式】-20232.解：(1)：关于x的一元二次方程 x2一2x十3=0(k≠0)有两个不相等的实数根，∴.△=4-4 不等的实数根x=一士4ac=2±=一1士1，即 2a 2×1 ×kX3>0,解得长<号又：k≠0，k<号且k≠0： x1=0,x2=-2:(2)方程化为x2十4x-2=0.Q=1,b=4,c (2).关于x的一元二次方程kx2一2x十3=0(k≠0)有两 =-2.△=b2-4ac=42-4×1×(-2)=24>0.方程有两 个不相等的实数根和x十=右x1x=方： 2 3 个不等的实数根x=二b士F一4a:=一4±√2网 =-2士 2a 2×1 2 √6，即x1=-2十√6，x2=-2-√6. 1 号即子+的值与无关， =西+==2， 21.2.3因式分解法 xix2 1 2 k 知识梳理 3.A【变式】34.解：(1)：关于x的一元二次方程x2一 1.一次式0一次式0 6x十2a十5=0有两个不相等的实数根x1,x,∴.△= 例题导学 (-6)2-4(2a十5)>0，解得a<2;(2)由根与系数的关系， 【例1】解：移项，得(x十4)2-5(x十4)=0.因式分解，得(x 得x1十x2=6,x1x2=2a十5，：x1,x2满足xf十x号一x1x2 十4)(x十4-5)=0.于是得x十4=0，或x+4-5=0,x1= ≤30，.(x1十x2)2-3x1x2≤30，.62-3(2a十5)≤30，解 一4，x2=1.【例2】解：移项，得x2十6x十9=0.因式分解， 得a≥- 得(x十3)=0..x1=x2=-3.【例3】解：(1)因式分解， 受.a为整数，且a<2,a的值为-1或0或1， 得(x-4)(x十1)=0.于是得x-4=0,或x十1=0，x1=4, 专题突破（一）一元二次方程根的 x2=-1;(2)因式分解，得(x-6)(x-1)=0.于是得x-6 判别式及根与系数的关系 =0,或x-1=0,x1=6,x2=1:(3)因式分解，得(x十6)(x 例题导学 -1)=0.于是得x十6=0，或x-1=0,=-6,x2=1. 【例1】解：分两种情况：①若方程为一元一次方程，则m2一 变式练习 1=0,且一2(m十2)≠0，即m=士1时，方程为一元一次方 1,D2.C3.解：(1)移项，得x(x-2)-x=0.因式分解， 程，有实数根；②若方程为一元二次方程，则m2一1≠0，△ 得x(x-3)=0.于是得x=0,或x-3=0,x1=0,x2=3; (2)因式分解，得(x十3)(4x十3)=0.于是得x十3=0，或 4m十2)-4(m2-1)≥0，解得m≥-号且m≠士1.综上 4x十3=0，x1=-3,x2= 3 ·4.-3或45.解：(1)因 所述，m≥一是.【例2】解：方程有两个不等的实数根， 式分解，得(y十4)(y-4)=0.于是得y十4=0，或y-4= ÷4=2-4(2k-4)=20-86>0,解得k<号.：k为正整 0,y=一4，y2=4:(2)因式分解，得(3十m+1)(31- 1)=0,即(4+1)(2m-1)=0.于是得4m十1=0，或2n 数，∴.k=1或2.易得x=一1士√5-2.又，方程的根为 1=0,m=-子，m=子.6.D7.解：(1)因式分解，得 整数，5-2k为完全平方数.当k=1时，5-2k=3,不合 题意：当k=2时，5-2k=1,符合题意.k=2.【例3】 (x+5)(x-4)=0.于是得x十5=0，或x-4=0,x1=-5, 解：(1)由题意，得△=[-2(m-1)]2-4n2>0,解得m< 参考答案第2页（共55页）