21.1 一元二次方程(讲本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 A知识梳理 得；(2)根据一元一次方程和一元二次方程 1.一元二次方程的概念 的概念列方程求解即可；(3)在判断一元二 等号两边都是 ,只含有 次方程的各项系数时，一定要将方程化为一 个 未知数（一元），并且未知数的最高次数是 般形式，然后再判断，但要注意：①判断各项 (二次)的方程，叫做一元二次 及系数时，一定要包括前面的符号；②二次 方程. 项系数一定不能为零 2.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 (a ).其中， 是二次项， 是二次项系数； 是一次 项， 是一次项系数； 是常 数项. 3.一元二次方程的解（根）》 使方程左右两边 的未知数的值就 是这个一元二次方程的解，一元二次方程 的解也叫做一元二次方程的根. B例题导学 知识点① 一元二次方程的概念及一 【变式练习】 般形式 1.下列方程是一元二次方程的共有( 【例1】(1)下列方程是关于x的一元二次方 ①x2-3x-1=0;②ax2+bx十c=0:③1+ 程的是 5x-4=0;④-x2=0;⑤(x-3)2+y2= A.x2-4x+5=0 B.x2+x+1=y 8:⑥(x-1)(x-3)=x2. C+8x-5=0 D.(x-1)2+y2=3 A.1个 B.2个 (2)当m为何值时，关于x的方程(m一 C.3个 D.4个 3)xm-?+(m十3)x十4=0，①是一元一 2.若关于x的一元二次方程(m一1)x2+ 次方程？②是一元二次方程？ 3x十m2一1=0的常数项为0，则m的 (3)将下列关于x的方程化为一般形式，并 值等于 ) 写出二次项系数、一次项系数和常数项. A.±1 B.1 C.-1 D.0 ①(2x+1)2=x(3x+4): 3.若关于x的一元二次方程(m-3)x2十 ②(2√3+x)(2√3-x)=x-3. m2x=9x+5化为一般形式后不含一次 【方法点拨】(1)根据一元二次方程的概念可 项，则m的值为 知识点2一元二次方程的根 知识点3用一元二次方程刻画实际 【例2】(1)若x=一1是关于x的一元二次方 问题中的数量关系 程ax2十bx十1=0(a≠0)的一个根，则 【例3】某水果批发商场经销一种高档水果， 2025-3a+3b的值为 如果每千克盈利10元，每天可售出500kg. A.2025 B.2026 经市场调查发现，在进货价不变的情况下， C.2027 D.2028 若每千克涨价1元，日销售量将减少20kg. 现该商场想要每天盈利6000元，那么每千 (2)已知关于x的一元二次方程(a十√3)x2 克应涨价多少元？根据题意，列出方程，化 2x十a2一3=0有一个根为x=0,则a的 为一元二次方程的一般形式，并指出它的二 值为 次项系数、一次项系数和常数项. (3)已知m为方程x2十3x-2025=0的根， 【方法点拨】一元二次方程是刻画现实世界 那么m3+2m2-2028m+2025的值为 的一个有效数学模型.常用一元二次方程建 模的问题有图形面积问题、增长率问题、营 【方法点拨】已知含字母的方程的根，可根据 销问题、行程问题、工程问题等 方程的根的定义将其直接代入方程，得到一 个关于参数的新方程，解这个新方程从而确 定参数的值，或者利用整体思想求代数式的 值，但要注意一元二次方程二次项的系数不 能为0. 【变式练习】 【变式练习】 4.若关于x的方程x2+2a.x十4a=0有一个 8.小区新增了一家快递店，第一天揽件200 根为一3，则a的值是 件，第三天揽件242件.设该快递店揽件 A.9 B.4.5 日平均增长率为x.根据题意，下面所列 C.3 D.-3 方程正确的是 5.关于x的一元二次方程(m一4)x2+m2x+ A.200(1+x)2=242 2m2一32=0有一个根为0，则m的值为 B.200(1-x)2=242 C.200(1+2x)=242 D.200(1-2x)=242 6.已知m是关于x的一元二次方程2x2 9.如图，在一块长12m, 5.x-2025=0的一个根，则代数式10m 宽8m的矩形空地上， 4m2-2025的值为 修建同样宽的两条互相 7.若a十b十c=0(a≠0)，则关于x的一元二 12m 垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边 次方程ax2十bx十c=0有一个根为 平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的 【变式】若a一b十c=0(a≠0)，则关于x的 面积为77m.设道路的宽为xm,则根据 元二次方程ax2十bx十c=0有一个根 题意，可列方程为 (化 为 为一般形式) 2讲本答案 1)2=25(x十1)2，直接开平方，得2(2x-1)=±5(x十1). 第二十一章 一元二次方程 .2(2x-1)=5(x十1)，或2(2x-1)=-5(x十1).解得x 21.1一元二次方程 =-1,=-子，4.A5解：1)原方程可化为x十3) 知识梳理 =7.直接开平方，得x十3=±√7..x十3=√7，或x十3= 1.整式一22.a.x2十bx十c=0≠0a.x2abx 一√7.解得x1=-3十√7，x2=-3-√7；(2)原方程可化为 bc3.相等 (x十2)2=(3-2x)2.直接开平方，得x+2=士(3-2x). 例题导学 【例1】解：(1)A(2)①由题意知I.m2-7=1,解得m= x十2=3-2x,或x十2=-（3-2).解得=子4 士2√2；Ⅱ.m2-7=0,解得m=士√7；Ⅲ.m-3=0,解得 5. 6.解：(1)观察解题过程可知，从第三步开始出现错误， =3.综上所述，当m为士2√2或士√7或3时，原方程为一 错误的原因是方程两边同时开方时，方程右边没有进行开 元一次方程；②由题意，得m一7=2且m一3≠0，解得m= 方；(2)4(2x-1)2=36.(2x-1)2=9.2x-1=±3,2x-1 一3.故当m=一3时，原方程为一元二次方程；(3)①x2十1 =3,或2x-1=-3.解得x1=2,x2=-1. =0;二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为1：②x2十 第2课时用配方法解一元二次方程 x一15=0：二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为 知识梳理 -15.【例2】(1)D(2)3(3)0【例3】解：设每千克 1.完全平方 应涨价x元.根据题意，得(500一20x)(10十x)=6000.化 例题导学 为一般形式为x一15x十50=0.其中二次项系数为1，一次 【例1】解：(1)移项，得x2十6x=-5.配方，得x2+6x+3 项系数为-15，常数项为50. =-5十32，(x十3)2=4.由此可得x十3=士2，x1=-1,x2 变式练习 =一5；(2)移项，得x2十4x=5.配方，得x2十4x十22=5十 1.B2.C3.-34.B5.-46.-60757.1 2,(x十2)2=9.由此可得x十2=±3，x1=1,x2=-5. 【变式】-18.A9.x2-20x十19=0 【例2】解：移项，得3x2十5x=2.二次项系数化为1，得x2十 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 号x号配方得+号中（高）号+（）（ 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 知识梳理 )-铝由此可得x十号= 6 6x1= 3 ,x2=一2 1.平方根直接开平方3.一元一次方程解一元一次方程 【例3证明：5-6x+1=5(-号x）+11=5( 例题导学 【例1】解：(1)直接开平方，得x=士4..x1=4,x2=4: 号)-5x号+1=(-)广+想5(-哥)≥0， (2)移项，得x2=49.直接开平方，得x=士7.x1=7,x2= -7. 【例2】解：(1)直接开平方，得4x一2=士8.∴.4x一2 )”+>0.即代数式5以-6x+1的值位大 5(x-) =8或4一2=-8解得=号=一号：(2)直接开平 于0. 方，得x-4=士(5-2x)..x-4=5-2x,或x-4=-(5 变式练习 -2x).解得x1=3,2=1:(3)移项，得3(x-1)=9.方程 1A2.1)255(2)令(3)元号3解： 两边同时除以3，得(x-1)2=3.直接开平方，得x一1= (1)移项，得x2-2x=3.配方，得x2-2x十12=3十1，(x 土√5.x-1=3,或x-1=-√5.解得x1=3+1,x2= 1)2=4.由此可得x-1=士2，x1=3,x2=-1;(2)化简，得 一√3+1.【例3】解：(1)原方程可化为(x-2)2=16.直接 x2-6x=16.配方，得x2-6x十32=16十32，(x-3)2=25. 开平方，得x一2=士4，.x一2=4，或x-2=一4.解得x 由此可得x-3=士5，x1=8,x2=-2.4.解：移项，得2x =6,x2=一2；(2)原方程可化为(x-3)=(1-2x).直接 开平方，得x-3=士（1-2x).x-3=1-2x,或x-3= -4x=3.二次项系数化为1，得x2-2红=三，配方，得2 1-2x).解得x= 3x2=-2. 2x+1=是+1，-102=号由此可得x-1=±， 2 变式练习 1.解：(1)移项、合并同类项，得x2=25.直接开平方，得x= =1+四，=1- 2 2 。5.P<Q6.解：(1)m2+m 土5，∴1=5，=-5：(2)移项，得9x2=16.方程两边同 时除以9，得产=号直接开平方，得x=士专山=专 +1=m+m++子=(m+)+“(m+)≥ x=一3,2.D3.解：1)方程两边同时除以2，得(x十 0.(+号)+>≥是m+m十1的最小值是， (2)4-x2+2x=-x2+2x-1+5=-(x-1)2+5.-(x 5)=直接开平方，得x十5=士合十5=之或x 1 -1)20,.-(x-1)2十55，.4-x2十2x的最大值是 十5=一号解得=一号=号：(2)移项，得4(2 5;(3)a2+6a+12=a2+6a十9+3=(a+3)+3.(a+ 3)≥0，.(a十3)2+3≥3，.a2+6a十12的值一定是正数. 参考答案第1页（共55页）