12.4 分式方程-【夺冠百分百】2025-2026学年新教材八年级上册数学新导学课时练（冀教版2024）

证明：左边=（2m十1)-(2m-1)2 (2n)2-1 (2m)2一1=右边. (原我+2+1·有 x 河北常考专题集训一分式的化简求值 =（x+1)2 x x 1.解：原式=-2+3.（x-2)2=x+1.(x-2) x+1=x+1. 、x-2x+1x-2x+=x-2, x十1≠0，且x≠0，∴.x≠一1,0. 当x=3时，原式=3-2=1. 当x=-3时，原式=一3+1=-2 2.解：原式=z(x一y)十型.（红-y)(x十y)1 12.4分式方程 x-y x 【知识梳理·自主学习】 =x.xy)x+2L=+y-1=x+y-1 1.分母相等2.公分母00 x-y x x 【知识要点·多维突破】 当x=1,y=2时，原式=2. 1.D2.73.A4.7 3解：式=（怎）（兮）-号产 xy xy 5解：①)3=2 xx十1’ ” xy 1 方程两边同乘x(x十1)，得3(x十1)=2x, xy y·+y)(x-y+y 解得x=一3，检验：当x=一3时，x(x+1)≠0， “x=2-yx十y=2原式=1=1 所以原分式方程的解是x=一3； x+y 2 4麟：原式-[气D]·2 「(x+3)(x-1)_x27 得3(x-2)+(x十2)(x一2)=x(x+2), -9xD时]'22a 解得x=10,检验：当x=10时，(x十2)(x一2)≠0， x2+2x-3-x2 1 故原分式方程的解为x=10, x(x-1)2‘2x-3x2-2x+1' 【阶梯训练·知能检测】 :x2-2x-1=0,x2-2x=1,原式=1十12 11 1.D2.A3.A4.D5.C6.B7.18.-2 9.解：1)62+1-1， 5锅：原或-（号）。品 x-33-x 方程两边同乘(x一3)，得6一(x一1)=x一3， =（a+2)(a-2).a-1a-2 解得x=5,检验：当x=5时，x一3≠0， a-1-(a+2)2-a+2' 所以x=5是原分式方程的解. 由题意，得a≠1且a≠-2， m (2)设▲=m2-3十3-元=1， 当a=0时，原式=0十2 0-2 -1; 方程两边同乘(x一3)，得m一(x一1)=x一3， 2-2 当a=2时，原式=2十20， 把x=3代入m-(x-1)=x-3, 得m一2=0，解得m=2, (a-2)2a],a+2 6.解：原式=a-2)a+2a+2a 所以原分式方程中“▲”代表的数为2. 10.B11.C12.0 2 3.解：①方程11=十一1两边同时乘(z十1D, -2,a+2_2 a+2a-1--a-1' 得1=2-(x+1),.x=0, a≤2的非负整数解有0，l,2, 经检验x=0是原方程的解， 又a≠1,2，.当a=0时，原式=2. 故答案为0. 厂x3+x2 7.解：原式=Lx+1D(x-D(x+1)(x-①J 7.(x-1)2 ②才程2二4 x(x-1) 里+十一1两边同时乘(x+1), (x-1)2x2 得2=4-(x+1), (x+1)(x-1D'x(x-1Dx+1' ∴.x=1,经检验x=1是原方程的解， x-3(x-2)≤4， 故答案为1. 解不等式组2x-35-x得1≤x<3, 3 6 32 ③方程z十1z十-1两边同时乘(x+1), 则不等式组的整数解为1,2，又x≠士1且x≠0， 得3=6-(x+1), 224 ∴x=2,经检验x=2是原方程的解， x=2,原式=2十1=3 故答案为2. 8.解：(1)-5☆3=2×(-5)+32=-10+9=-1. (1)观察发现第4个方程为4二8 (2)z☆1=号-8，则2x十1=号-3，解得x=-3 的中+11， 其解为3， 27 故答案为4三8 x+1x+1-1,x=3. 由题意可知，A方案完成施工任务所需的时间为 18,1818(m+n) (2)第n个方程为一1， 2n t1= m n mn B方案完成施工任务所需的时间为，= 36 72 方程两边同时乘(x十1)，得n=2n一(x十1)， 解得x=n一1，经检验x=n一1是原方程的解， 2(m+n) m十n ∴.原方程的解为x=n一1. b1-t2= 18(m+n)7218(m+n)2-72mm 14.解：探究1方程两边同乘(x-3),得3x十5(x一3)=一m. mn m+n mn(m+n) ,原方程有增根，.最简公分母x一3=0，解得x=3,当 .18(m-n)2 mn(m+n)' x=3时，m=一9，故m的值是一9. :m≠n,.mn(m十n)>0,(m-n)2>0, 探究2：方程两边同乘(x一3)，得3x十5(x一3)=一m. ,原方程的根为x=一1，.m=23. 18(m-n) 'mn(mn)0tt: m,得x= 探究3：解方程3十5-之 5一m,设方程的三 ,乙工程队应采取B方案 8 个对应根为a,b,c,则对应的m分别为 第2课时销售问题与行程问题 m1=15-8a,m2=15-8b,m3=15-8c 【知识梳理·自主学习】 .当三个根分别为一1,1,0时，对应的m的值分别为23 1,Q售价(2)成不×100%(3)1+利润率) 7,15(答案不唯一). 探究4：m,=m1+m2-15. 2.(2)+ 【知识要点·多维突破】 12.5分式方程的应用 1.A 第1课时工程问题与工作量问题 2.解：设每件服装的原价是x元.由题意，得1900_10000 0.85x 工 【知识梳理·自主学习】 1.方程符合2.工作时间×工作效率 20,解得x=200.经检验，x=200是分式方程的解，且符合 【知识要点·多维突破】 题意. 答：每件服装的原价是200元. 1c2a%2后×+)+13c48 3.A4.4 5.解：设规定日期为x天 5.解：(1)环湖公路全长10km,小嘉走过的路程为6km, 则3十x ,.小淇走过的路程为10一6=4(km). xT+61, '小嘉的速度比小淇的速度快1km/h,且小嘉的速度为 解得x=6,经检验，x=6是原方程的解，且符合题意. xkm/h,.小淇的速度为(x一1)km/小h. 答：书店采购这批挂历的规定期限是6天。 故答案为4，x一1. 【阶梯训练·知能检测】 1.B2.A3.B4.D5.A6.120-120=1 （四张带美意，得青 x1.5x 解得x一3，经检验，x一3是分式方程的解，且符合题意. 7.解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智 答：小嘉的速度为3km/h. 能手机(1+50%)x万部， 【阶梯训练·知能检测】 根据题意，得300、300 工(1+50%)z=2,解得x=50, 1.C2.D3.D4.D5.22006.20 7.解：(1)甲同学所列方程中的x表示汽车原计划行驶的时 经检验，x=50是分式方程的解，且符合题意， 间；乙同学所列方程中的y表示汽车实际行驶的时间， 则(1+50%)x=1.5×50=75. 故答案为汽车原计划行驶的时间：汽车实际行驶的时间， 答：实际每月生产智能手机75万部」 (2)选择乙同学的方法， 8.C 设汽车实际行驶的时间为yh,则原计划行驶的时间 9.解：(1)由题意，得36-3=2+36-2x 为(y+1)h, 2x 解得x=9, ，经检整，=号是分式方程的解，且#合题意， 由题意，得500 y+·(1+20%)=500 y 解得y=5,经检验，y=5是原分式方程的解，且符合题意. “甲工程队单独完成花工任务需要的天数为2+36一2江=2 答：汽车实际行驶的时间为5h. 2x 9 8.D 36-2×2 9.解：(1)设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为 2x号 =5. (1+50%)x元/件， 7200 答：甲工程队单独完成施工任务需要5天 _3200=40,解得x=40. 根据题意，得1+50%)x工 (2)乙工程队应采取B方案，理由如下： 经检验，x=40是分式方程的解，且符合题意. 28已新导学课时练 数学·八年级上·J订 12.4分式方程 名师点睛… A 知识梳理·自主学习 分式方程与整式方程的区别：分式方程 1.分式方程的概念 的分母中含有未知数，而整式方程的分母中 中含有未知数的方程，叫作分 不含有未知数或方程中无分母. 式方程.使得分式方程等号两端 的 知识点二分式方程的解法 未知数的值，叫作分式方程的解（也叫作分式 3.(山东济宁中考)解分式方程1一3x一= 1 方程的根) 【概念剖析】分式方程必须满足的条件：(1)是 5 2-62时，去分母变形正确的是 () 方程；(2)含分母(3)分母中含有未知数，三者 缺一不可. A.2-6x+2=-5B.6x-2-2=-5 2.分式方程的检验与增根 C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5 在解分式方程时，首先通过去分母将分 4.当x= 时，分式与3的值 式方程转化为整式方程，并解这个整式方 程，然后将整式方程的解代入分式方程（或 相等. )中检验.当分式方程左右两 5.解方程：(1)（江苏镇江中考）3-2 xx+li 边相等（或公分母不等于0）时，这个整式方 程的解就是分式方程的解；当分式方程中某 2)(福建中考)z十2十1=2 x-21 个分式的分母的值等于 (或公分 母等于 )时，分式方程无解，我们把 这样的根叫作分式方程的增根。 B 知识要点·多维突破 ◆◆● 知识点一 分式方程的概念 1.下列方程，属于分式方程的是 名师点睛 3 解分式方程的一般步骤： B.2x-3 1.变形：方程两边都乘最简公分母，把分式 54 方程化为整式方程 c-停- 2.解整式方程：去括号、移项、合并同类 项等 1 D.=1 3.检验：将整式方程的解代入最简公分母， 2.(秦皇岛青龙县期中)已知分式方程 5 若最简公分母的值不为0，则整式方程的 +2+ 解就是原分式方程的解；否则，这个解不 1-2的解为x=3,则a的值为 是原分式方程的解 16 第十二章分式和分式方程 新导学课时练。 人◆◆◆ 阶梯训练·知能检测 6,关于x的方程 x-3 二3的解是负数， =2+ 【基础过关】 则的取值范围是 () 1.下面是分式方程的是 ( A.k<6且k≠3 B.k>6 1 4 B.2x+15x-6 C.k≠3 D.k<6 A2x-3x+9 7 3 2 7若分式的值比分式，2的值大3，则红 (x-6)D. 3 3 x-1f2x+1=1 的值为 2.(唐山迁安市二模)嘉淇准备完成题目：解方 1 8若关于上的方起，己。=1”写无解，则 程号十十2三0.发现分母的位置印刷不 m= 清，查阅答案后发现标准答案是x=一1，请 9.已知分式方程▲。十二1-1，由于印刷同 你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是 生x-33-x ( ) 题，有一个数“▲”看不清楚， A.x-1 (1)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解. B.-x-1 D.x2-1 (2)小华说：“我看到答案是原分式方程无 C.x+1 解.”请你求出原分式方程中“▲”代表的数 3如果分式2 二1与2的值相等，那么x的 值是 C A.9 B.7 C.5 D.3 3.6 4.解分式方程，十十一17一下列四步 解题过程，错误的是 ( ) A.方程的最简公分母是x2一1 B.方程两边同乘(x2一1)，得整式方程 2(x-1)+3(x+1)=6 【素养闯关】 C.解B项中整式方程得x=1 10.(邢台襄都区月考)如图，甲、乙两位同学玩 D.原分式方程的解为x=1 数字游戏，甲同学提供m和n两个数值， 5.(新定义)对于实数a,b,定义一种新运算：a 乙同学根据m,n的情况求出x的值，由图 可知本轮游戏x的值为 ( 0=。6例如：1安3=1己=一8则 1 当m≤n时， 2=n 方程工女(-2》=21的解是《 m=3, x+mx十n n=1 2 当m>n时， =m-n A.x=7 B.x=6 x-n C.x=5 D.x=4 A.1 B.2 C.3 D.4 17● 心新导学课时练 数学·八年级上·J订 11.(石家庄新华区月考)已知关于x的方程 14.(探究题)增根是在分式方程转化为整式方 3x一6=1，下列说法错误的是 mx 程的过程中产生的，分式方程的增根不是 ( 分式方程的根，而是该分式方程化成的整 A.当m=1时，x=3 式方程的根，所以涉及分式方程的增根问 B.当m=3时，原方程无解 题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方 C.当x为正数时，m<3 程为整式方程；②将增根代入整式方程中， D.当x为负整数时，m有4个整数值 求出方程中字母系数的值。 12.(邢台襄都区月考)由下表数据可知，a+ 阅读以上材料后，完成下列探究： b= 探究1：m为何值时，方程3x。 m x-1 3+5=3 代数式 2 x+2 x 有增根？ 值 a 6 2 13.阅读下列过程，回答问题： 探究2m为何值时，方程“g十5”的 解方程： 根是一1？ 1 心、2 探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程 十1c千71的解为x= 3的三个根中肉个根之和等 ②、2 4 x+1x+1 一1的解为x= 于第三个根， ③3 、6 探究4：你发现满足“探究3”条件的m1, 十十11的解为x m2,m3的关系是 (1)根据你发现的规律直接写出第4个方 程及它的解： (2)请你用一个含正整数n的式子表示上 述规律，并求出它的解.（写出解答过程） 218