八年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷（湘教版2024，举一反三）

八年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【湘教版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解答本题的关键．把变形得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的另一边长为， ∵， ∴剪下的正方形的最大面积是， 故选：． 4．计算：的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案． 【详解】解：原式= = = =． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，解三元一次方程组，解题的关键是正确化简分式． 先将化简计算得到，则得到方程组，即可求解，再代入求值． 【详解】解： ， ∵（A、B、C均为常数）的计算结果为， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．先计算，，根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：， ， ∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为， ∴，， ∴， 故选：B． 7．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”．例如，因为所以16是“和数”．结论①：2024是“和数”，2025不是“和数”；结论②：所有能被4整除的正数都是“和数”．对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①和②都对 B．①和②都不对 C．①对②不对 D．①不对②对 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，设两个连续奇数分别是和，，可得和数是8的倍数，2024是8的倍数，是和数，2025不是8的正整数倍，不是和数；能被4整除的数如4，，0.5不是整数，所以4不是和数，据此判断． 【详解】解：设两个连续奇数分别是和（n为正整数），则 ， 即和数是8的倍数， 因为， 所以2024是“和数”， 因为， 所以2025不是“和数”， 4能被4整除， ， 0.5不是整数， 所以4不是和数， 所以所有能被4整除的正数不一定是“和数”． 故选：C． 8．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 9．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先计算不等式的解集，再解分式方程，联合确定a的值，最后求和． 【详解】因为中第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为，且不等式组的解集为， 所以， 解得； 因为， 解得， 因为关于的分式方程有非正整数解，且方程有增根， 所以且， 解得且， 所以且， 因为非正整数解， 所以a的值为， 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握解不等式组，解分式方程是解题的关键． 10．（24-25八年级下·重庆大足·期末）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式变形求值，二次根式的混合运算，是解题的关键．判断四个结论的正确性，逐一分析每个结论的解题过程． ①的小数部分．得，结论①正确． ② ，结论②错误． ③可得，，得，结论③错误． ④由已知得，得，由，得，得，得．结论④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴小数部分． ∴． ∴①正确． ②∵ ， ∴②错误． ③∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴③错误． ④：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴④正确． 综上，正确结论为①和④，共2个． 选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）已知分式的值是正整数，则整数的值为 ． 【答案】或0或1 【分析】本题考查了分式的值为整数问题，将分式化为，根据分式的值是正整数，是整数进行求解即可． 【详解】解： ， 分式的值是正整数，是整数， 或， 解得：或1或0， 故答案为：或0或1． 13．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，且，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查完全平方公式的应用，整式减法运算，因式分解等．根据题意利用完全平方公式得到，继而得到，再将提公因式，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴，整理得：， ∴， 故答案为：5． 14．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如果，那么 ． 【答案】或6 【分析】本题考查了分式方程与绝对值的综合运用，解题的关键是分情况讨论绝对值内式子的正负，同时要注意分式分母不能为0． 分和两种情况讨论，结合分式分母不为0的条件，求解的值． 【详解】情况—：时： 由可得或， 当时，原分式方程的分母，分式无意义，所以舍去， 当时，代入原方程左边，右边，左边等于右边； 情况二：时： 要使分式，则分子且分母． 由得，此时分母，满足条件， 把代入原方程左边，右边，左边等于右边， 故方程的解为：或． 故答案为：或6． 15．（24-25七年级下·广东湛江·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得，即得，，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位密码是： ．（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 先利用提取公因式和平方差公式对进行因式分解，再进行代数式求值，即可写出密码． 【详解】解：， ∵，， ， ， ， ∴用上述方法产生的六位密码可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）化简求值： (1)先化简：，再请从中选择一个你喜欢的数代入求值． (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题综合考查分式与整式的运算知识点． ()原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． ()①根据完全平方公式，对两边平方可得； ②先求的倒数，即进行化简可得，即可解答； 【详解】（1）解： ， ∵原式分母不能为， ∴，即； ，即；； ∴当时，． （2）①∵， ∴ ② 由①知， ∴原式， 即， ∴， 18．（6分）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1)； (2)； (3)证明过程见解析． 【分析】本题考查换元法，完全平方公式，平方差公式． （1）用换元法设，将原式化为，由完全平方公式得出，再将还原即可； （2） 设，将原式化为，由平方差公式去括号，合并同类项，再将还原，用完全平方公式进一步分解因式即可； （3）先计算，把看成整体，根据完全平方公式分解因式，结合已知即可证得结论． 【详解】（1）解：设， ∴ ， ∴． （2）解：设， ∴ ， ∴． （3）证明： ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 19．（8分）（25-26八年级上·全国·阶段练习）嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知，若分式分子、分母都加上，所得分式的值增大了还是减小了？”． 嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路． 淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路． 两人的解题思路都正确． (1)请你任选一个思路说明． (2)当所加的这个数为时，所得分式的值_____填“增大了”或“减小了”． (3)当所加的这个数为时，你能得到什么结论？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)增大了 (3)所得分式的值增大了 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的基本性质和不等式的性质，掌握分式加减运算法则是解题的关键． （1）分别利用两人的解题思路求解即可； （2）选择嘉嘉的思路，把分子和分母加上2时再作差比较即可； （3）选择嘉嘉的思路，把分子和分母加上时再比较即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的思路：， ， ， ， ， ， 即所得分式的值增大了． 淇淇的思路：， ， ， ， ， 即：， 所以分式的值增大了． （2）解： ， ， ， ， ， 所以分式的值增大了， 故答案为：增大了． （3）解：当所加的这个数为时，所得分式的值增大了， 理由：， ，， ，， ， ， 即所得分式的值增大了． 20．（8分）（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 21．（10分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）阅读下列材料： ； ； ； 以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 回答下列问题： (1)将分母有理化后的结果为_____； (2)当为正整数时，_____； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）阅读材料，掌握分母有理化方法直接求解即可得到答案； （2）阅读材料，掌握分母有理化方法直接求解即可得到答案； （3）先由分母有理化的方法，再由有理数加减运算化简，最后由平方差公式及二次根式性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查分母有理化，涉及分母有理化、平方差公式、二次根式性质化简、二次根式加减运算等知识，理解材料中的分母有理化方法、掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． 22．（10分）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 23．（12分）（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图1，若干张边长、、…的正方形纸片，面积分为、、…，且有以下关系： ， ， ， (1)填空：_________，__________（用含正整数的式子表示）； (2)如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为，，重叠部分是一个面积为的正方形，求空白部分的面积； (3)如图3，有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为120，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的实际应用，算术平方根的实际应用： （1）根据已有等式进行推导即可得出结果； （2）根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去，减去，再加上，进行求解即可； （3）设长方形的长为，宽为，列出方程求出长和宽，比较宽与面积为的正方形的边长大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴，； （2）由（1）可得：，，， ∴， ∵ ∴大正方形的边长为：， ∴空白部分的面积； （3）正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： 设长方形的长为，宽为，则：， ∴， ∴长方形的宽为：， ∵， ∴， ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 24．（12分）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法． (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2)；；； (3) 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，利用完全平方公式变形求值，利用提公因式法分解因式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得； （2）分别表示出长方体的长宽高，从而根据长方体的体积公式分别表示出对应的体积，最后利用大正方体的体积减去小正方体的体积等于三个长方体的体积之和，并利用提公因式法因式分解即可； （3）由（）的结论结合完全平方公式因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为， 拼图前后图形的面积不变， ， 即因此可得一个多项式的因式分解为． 故答案为：． （2）解：如图所示，则得到的几何体的体积为：； ，，， 长方体的体积为， ，，， 长方体的体积为， ， 即可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为． 故答案为：；；；． （3）解：由（）可知，， ∵，， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中模拟卷·拔尖卷 【湘教版2024】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 因式分解~第3章 二次根式 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 2．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A． B． C． D． 4．计算：的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”．例如，因为所以16是“和数”．结论①：2024是“和数”，2025不是“和数”；结论②：所有能被4整除的正数都是“和数”．对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①和②都对 B．①和②都不对 C．①对②不对 D．①不对②对 8．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 9．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C．1 D． 10．（24-25八年级下·重庆大足·期末）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 12．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）已知分式的值是正整数，则整数的值为 ． 13．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，且，则的值为 ． 14．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如果，那么 ． 15．（24-25七年级下·广东湛江·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位密码是： ．（写出一个即可）． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）化简求值： (1)先化简：，再请从中选择一个你喜欢的数代入求值． (2)已知，求下列各式的值： ①； ②． 18．（6分）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 19．（8分）（25-26八年级上·全国·阶段练习）嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知，若分式分子、分母都加上，所得分式的值增大了还是减小了？”． 嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路． 淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路． 两人的解题思路都正确． (1)请你任选一个思路说明． (2)当所加的这个数为时，所得分式的值_____填“增大了”或“减小了”． (3)当所加的这个数为时，你能得到什么结论？请说明理由． 20．（8分）（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 21．（10分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）阅读下列材料： ； ； ； 以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 回答下列问题： (1)将分母有理化后的结果为_____； (2)当为正整数时，_____； (3)计算的值． 22．（10分）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 23．（12分）（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图1，若干张边长、、…的正方形纸片，面积分为、、…，且有以下关系： ， ， ， (1)填空：_________，__________（用含正整数的式子表示）； (2)如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为，，重叠部分是一个面积为的正方形，求空白部分的面积； (3)如图3，有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为120，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？ 24．（12分）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法． (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $